京改版九年级上册《21.5应用举例》教学设计

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课题：应用举例
教学目标:1.经历探索船是否有进入危险区的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题，并能对结果的意义进行说明.
教学重点：1.经历探索船是否有进入危险区的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力，培养学生的科学素养.
教学难点:
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.
教学设计：探索——发现法
教学过程：
一、问题导入：
例4．如图，一艘渔船正以30海里/小时的
( http: / / www.21cnjy.com )速度由西向东赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°.　40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°.以小岛C为中心周围12海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？21世纪教育网版权所有
分析：要判断渔船是否有进入危险区的可能，就要看船行至距离岛C最近的位置即图中D点时，CD的长度与12海里的大小关系．21cnjy.com
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提示：过C点作AB的垂线，垂足为D.　则
CBD=60，CAB=30，所以C=30，
AB=BC，再依据BC的长求出CD，从而进行判断.　
小结：解决此类题要掌握好方位角，要会将实际
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二、应用拓展：
变式练习1：
中考链接：
一艘渔船在A处观测到东北方向有
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解：过点B作BM⊥AH于M，∴BM∥AF.∴∠ABM=∠BAF=30°.
在△BAM中，AM=AB=5，BM=5.　
过点C作CN⊥AH于N，交BD于K.
在Rt△BCK中，∠CBK=90°-60°=30°
设CK=x，则BK=x.　
在Rt△ACN中，∵∠CAN=90°-45°=45°，∴AN=NC.∴AM+MN=CK+KN.　
又NM=BK，BM=KN.　
∴x+5=5+x.
解得x=5.
∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.　
答：这艘渔船没有进入养殖场危险.　
变式练习2：
如图，公路MN和公路PQ在
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【来源：21·世纪·教育·网】
解题点拨
（1）
作AB⊥MN于B，求出AB，若AB≤100米，则受影响，若AB>100米，则不受影响.2-1-c-n-j-y
解（1）作AB⊥MN，B为垂足.　
在Rt△ABP中
∵∠ABP=90°，∠APB=30°，
AP=160米，
∴AB=AP=80米
∴点A到直线MN的距离小于100米.　
∴这所中学会受到噪声的影响.　
解题点拨
（2）
既然受影响，怎样求受
( http: / / www.21cnjy.com )影响的时间呢？因拖拉机速度已知，故应求学校在受噪声影响时拖拉机行驶的路程，即以A为圆心，100米为半径画圆A，则⊙A交MN于C、D两点，弦CD的长为所求的路程，用垂径定理可求CD.　www-2-1-cnjy-com
（2）如图，如果以点A为圆心，10
( http: / / www.21cnjy.com )0米为半径画圆，那么圆A和直线MN有两个交点，设交点分别为C、D，连结AC、AD，那么AC=AD=100（米）.　【来源：21cnj
y.co
m】
根据勾股定理和垂径定理，CB=DB
==60（米），
∴CD=120（米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时=时=24秒.　
变式练习3：
为了申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.　在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区.　现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°.　问距离
B点8米远的保护物是否在危险区内？（）【出处：21教育名师】
解：过点C作CEAB于E.
在RtCBE中,tan30 =
BE=CE
tan30 =
在RtCAE中,tan60 =
AE=CE
tan60 =
AB=AE+EB=
6.92(米）
8(米）
距离
B点8米远的保护物不在危险区.
三、总结提高：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模型转化为数学问题.　
2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其是对于一些非直角三角形图形，必须添加
适当的辅助线，才能转化为直角三角形的问题来解决.　　　21
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四、拓展提高
中考链接：
1.为保卫祖国的海疆,我人民解放军海军在相距20海里的、两地设立观测站(海岸线是过、的直线).按国际惯例,海岸线以外12海里范围内均为我国领海,外国船只除特许外,不得私自进入我国领海.某日，观测员发现一外国船只行驶至处,在观测站测得,同时在观测站测得.问此时是否需要向此未经特许的船只发出警告,命令其退出我国领海 21教育网
(参考数据:)
解：作
　　在Rt△，
　　，
　　
　　在Rt△，，
　　
　　
　　
　　
　　需要向其发出警告．
2.气象台预报，一台风中心在位于某沿海城市的南偏东方向且距市300千米的海面处，正以20千米／时的速度沿正北方向移动（如图所示）．在离台风中心250千米的范围内将受台风影响．【版权所有：21教育】
（1）城市是否会遭受台风影响？
（2）若受影响，受影响的时间是多长？
答案：解：（1）过，垂足为
则
在距台风中心250千米的范围内将受影响．
城市要受台风影响．
（2）设城受影响时，台风中心为
在Rt△
受台风影响的持续时间为：
（小时）
3.如图，在某气象站附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于气象站的东偏南方向千米的海面处，并以千米／小时的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为千米，并以千米／小时的速度不断增大，已知，问：21·世纪
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（1）台风中心几小时移动到气象站正南处，此时气象站是否受台风侵袭？
（2）几小时后该气象站开始受台风的侵袭？
答案：解：（1）延长交于点．
在中，．
，
．
．
．
．
台风半径．
答：台风中心1小时移动到气象站正南处，此时气象站不受台风侵袭．
（2）设经小时后该气象站开始受台风侵袭，且此时台风中心为处．
连接，作，垂足分别为．
由题意知，．
．
．
由，得
．
整理，得．
解得（不合题意，舍去）．
答：4小时后该气象站开始受台风侵袭．
4.某船以每小时海里的速度向正东方向航行，在点测得某岛在北偏东方向上，航行半小时后到达点，测得该岛在北偏东方向上，已知该岛周围海里内有暗礁2·1·c·n·j·y
（1）试说明点是否在暗礁区域外？
（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
答案：（1）过点作，交于点　
（海里）　　
　　
又　　
即
点在暗礁区域外　　
（2）过点作，垂足为　　
在中，
令，则　　
在中，
　
，
解得　　
船继续向东航行有触礁的危险　
5.菏泽市在城市建设中，要折除旧烟囱（如图所示），在烟囱正西方向的楼的顶端，测得烟囱的顶端的仰角为，底端的俯角为，已量得．
（1）在原图上画出点望点的仰角和点望点的俯角，并分别标出仰角和俯角的大小．
（2）拆除时若让烟囱向正东倒下，试问：距离烟囱东方远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着？请说明理由．
解：（1）
（2）在中，．
，
在中，，
烟囱高，
，这棵大树不会被歪倒的烟囱砸着．
P
A
B
海岸线
P
A
B
海岸线
Ｃ
B
M
北
东
南
西
A
N
东
北
30
B
D
C
A
A
B
C
G
D
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