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第二十二章《二次函数》单元检测试卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B A A D B D B D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x（x﹣3）
C． D．y＝（x﹣2）2﹣x2
【思路点拔】根据二次函数的定义“形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数”，逐一分析四个选项即可得出结论．
【解答】解：根据二次函数定义逐项分析判断如下：
A、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故选项A不符合题意；
B、y＝2x（x﹣3）＝2x2﹣6x，是二次函数，故选项B符合题意；
C、不是二次函数，故选项C不符合题意；
D、y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4，不是二次函数，故选项D不符合题意；
故选：B．
2．（3分）与抛物线y＝﹣5x2﹣1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数是（ ）
A．y＝﹣5x2﹣1 B．y＝5x2﹣1 C．y＝﹣5x2+1 D．y＝5x2+1
【思路点拔】与抛物线y＝﹣5x2﹣1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y＝﹣5x2﹣1只有二次项系数不同．
【解答】解：与抛物线y＝﹣5x2﹣1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y＝﹣5x2﹣1只有二次项系数不同．
即y＝5x2﹣1，
故选：B．
3．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x+1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
【思路点拔】根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+3．
故选：B．
4．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2的顶点坐标为（ ）
A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
【思路点拔】根据二次函数的顶点式解答即可．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2的顶点坐标为（3，0），
故选：A．
5．（3分）如图，抛物线的顶点坐标为P（2，5），则函数y随x的增大而减小时x的取值范围为（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞6 D．x＜6
【思路点拔】利用数形结合思想求值即可．
【解答】解：根据图象可知，函数y随x的增大而减小时x的取值范围为x＞2，
故选：A．
6．（3分）一次函数y＝ax+b，若a+b＝1，则它的图象必经过点（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（1，1）
【思路点拔】x＝1时，ax+b＝a+b＝1，依此求出一次函数y＝ax+b的图象必经过点的坐标．
【解答】解：一次函数y＝ax+b只有当x＝1，y＝1时才会出现a+b＝1，
∴它的图象必经过点（1，1）．
故选：D．
7．（3分）若抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．﹣2
【思路点拔】根据抛物线的顶点在x轴上，顶点的纵坐标为0，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线的顶点在x轴上，
∴c0，
解得：c＝﹣4，
故选：B．
8．（3分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m＞0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
【思路点拔】由y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m且m＞0，可得出抛物线的对称轴为直线x＝1且开口向上，利用二次函数的性质，可得出“距离对称轴越远的点，其函数值的绝对值越大”，再结合各点的横坐标，即可得出y2＜y3＜y1．
【解答】解：∵y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m，m＞0，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴距离对称轴越远的点，其函数值越大．
∵|﹣2﹣1|＝3，|1﹣1|＝0，|3﹣1|＝2，0＜2＜3，
∴y2＜y3＜y1．
故选：D．
9．（3分）根据表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣1 ﹣2 …
A．只有一个交点
B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C．有两个交点，且它们均在y轴同侧
D．无交点
【思路点拔】利用二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值．
【解答】解：根据表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可以发现当x＝0，x＝2时，y的值都等于0，
又根据二次函数的图象对称性可得：直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴，此时y有最小值﹣2，
因此判断该二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴异侧．
故选：B．
10．（3分）小明从右边的二次函数y＝ax2+bx+c图象中，观察得出了下面的五条信息：①a＜0，②c＝0，③函数的最小值为﹣3，④当x＜0时，y＞0，⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1＞y2，⑥对称轴是直线x＝2．你认为其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拔】根据抛物线开口向上得到a大于0，由抛物线过原点，得到c＝0，观察图象得到顶点坐标确定出函数最小值，利用函数的增减性做出判断．
【解答】解：①由抛物线开口向上，得到a＞0，本选项错误；
②由抛物线过原点，得到c＝0，本选项正确；
③当x＝3时，函数的最小值为﹣3，本选项正确；
④由函数图象得：当x＜0时，y＞0，本选项正确；
⑤当0＜x1＜x2＜2时，函数为减函数，得到y1＞y2，本选项正确；
⑥对称轴是直线x＝2，本选项正确，
则其中正确的个数为5．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知抛物线的表达式为，则抛物线的顶点坐标是 ．
【思路点拔】抛物线的表达式已经是顶点式的形式，直接写出顶点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线的表达式是，
∴它的顶点坐标是，
故答案为：．
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），则此抛物线的对称轴是直线x＝ 2 ．
【思路点拔】抛物线过点A（1，0），B（3，0），纵坐标相等，它们是抛物线上的对称点，其对称轴是两点横坐标的平均数．
【解答】解：∵点A（1，0），B（3，0）的纵坐标相等，
∴A、B两点是抛物线上的两个对称点，
∴对称轴是直线x2．
13．（3分）若把代数式x2+2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k＝ ﹣5 ．
【思路点拔】根据配方法的步骤把x2+2x﹣3变形为（x+1）2﹣4，得出m＝﹣1．k＝﹣4，则m+k＝﹣5．
【解答】解：∵x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4，
∴m＝﹣1，k＝﹣4，
∴m+k＝﹣5．
故答案为：﹣5．
14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
则二次函数y＝ax2+bx+c在x＝2时，y＝ ﹣8 ．
【思路点拔】观察表中的对应值得到x＝﹣3和x＝5时，函数值都是7，则根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x＝1，所以x＝0和x＝2时的函数值相等，
【解答】解：∵x＝﹣3时，y＝7；x＝5时，y＝7，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝1，
∴x＝0和x＝2时的函数值相等，
∴x＝2时，y＝﹣8．
故答案为﹣8．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（2，0），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p≥0）有整数根，则p的值有 3 个．
【思路点拔】抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝1，得到，解得b＝﹣2a．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点为（2，0）．得到c＝0．则y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，对称轴x＝1，最大值k＝﹣a，得到顶点坐标为（1，﹣a），则当a＜0时，抛物线始终与x轴交于（0，0）与（2，0），ax2+bx+c＝p（p≥0）有整数根，以及常函数直线y＝p，p≥0，结合图象进行分析即可得到答案．
【解答】解：已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝1，
∴，
解得b＝﹣2a，
又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点为（2，0），将（2，0）代入得：
0＝4a﹣4a+c，
解得c＝0，
∴y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，
对称轴为直线x＝1，最大值k＝﹣a，
如图，顶点坐标为（1，﹣a），
，
∴另一个交点为（0，0），
∴当a＜0时，抛物线始终与x轴交于（0，0）与（2，0），
∵ax2+bx+c＝p（p≥0）有整数根，以及常函数直线y＝p，p≥0，
∴0＜y≤﹣a，
由图象得当0＜y≤﹣a时，0＜x＜2，
其中x为整数时，x＝1或2或0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝p（p≥0）的整数解有3个．
故答案为：3．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）已知抛物线yx2﹣3x
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
（3）画出草图；
（4）观察草图，指出x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0．
【思路点拔】（1）利用配方法将二次函数的解析式化为顶点式后即可确定对称轴及顶点坐标；
（2）分别令x＝0和y＝0即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标；
（3）根据确定的抛物线与坐标轴的交点坐标即可做出草图；
（4）直接观察图象即可确定有关的不等式的解集．
【解答】解：（1）∵yx2﹣3x（x2+6x+5）（x2+6x+9﹣4）（x+3）2+2，
∴开口向下，对称轴为x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，2）；
（2）∵令x＝0，得：y，
∴抛物线与y轴的交点坐标为：（0，）；
令y＝0，得到x2﹣3x0，
解得：x＝﹣1或x＝﹣5，
故抛物线与x轴的交点坐标为：（﹣1，0）和（﹣5，0）；
（3）草图为：
（4）根据草图知：当x＝﹣1或x＝﹣5时，y＝0，
当﹣5＜x＜﹣1时y＞0，
当x＜﹣5或x＞﹣1时y＜0．
17．（6分）根据条件求二次函数的解析式：
（1）抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），且与y轴交点的纵坐标为﹣3
（2）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，﹣2）．
【思路点拔】应用待定系数法，求出每个二次函数的解析式各是多少即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2﹣1，
∵抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝a（0+1）2﹣1，
解得a＝﹣2．
∴抛物线的解析式是y＝﹣2（x+1）2﹣1，
即y＝﹣2x2﹣4x﹣3．
（2）∵抛物线的顶点坐标是（3，﹣2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∵抛物线在x轴上截得的线段长为4，
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0），（5，0），
设抛物线的解析式为y＝k（x﹣1）（x﹣5），
则﹣2＝k（3﹣1）（3﹣5）
解得k，
∴抛物线解析式为y（x﹣1）（x﹣5），
即yx2﹣3x．
18．（6分）已知抛物线y＝x2﹣ax+2（a﹣3）．
（1）求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点；
（2）如果有一交点坐标为（3，0），求a的值．
【思路点拔】（1）证明判别式Δ＞0即可判断；
（2）把（3，0）代入即可求得a的值．
【解答】解：（1）△＝a2﹣8（a﹣3）＝a2﹣8a+24＝a2﹣8a+16+8＝（a﹣4）2+8＞0，
则不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点；
（2）把（3，0）代入抛物线得9﹣3a+2（a﹣3）＝0，
解得：a＝3．
19．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+4）x+3经过点（3，m）．
（1）若m＝﹣3，
①求此抛物线的对称轴；
②当1＜x＜5时，直接写出y的取值范围；
（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在此抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0，且3x1+3x2≥13，比较y1，y2的大小，并说明理由．
【思路点拔】（1）①将（3，﹣3）代入解析式求解即可；
②将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解；
（2）由m＞0，抛物线经过（3，m）可得a得取值范围，从而得到抛物线对称轴，由3x1+3x2≥13可得点到对称轴的距离，即可求解．
【解答】解：（1）①将（3，﹣3）代入y＝ax2﹣（a+4）x+3，
得﹣3＝9a﹣3（a+4）+3，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣5x+3；
②∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
将x＝5代入y＝x2﹣5x+3得y＝3，
∴1＜x＜5时，；
（2）将（3，m）代入y＝ax2﹣（a+4）x+3，得m＝9a﹣3（a+4）+3＝6a﹣9，
∵m＝6a﹣9＞0，
∴，
∵y＝ax2﹣（a+4）x+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵3x1+3x2≥13，
∴，
∴，
∵x1＜x2，
∴（x1，y1）到抛物线对称轴的距离小于（x2，y2）到抛物线对称轴的距离，
∴y1＜y2．
20．（8分）某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a的墙，另三边用总长为79米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD，并在BC边上留有一扇1米宽的门．设AD边的长为x米，矩形花圃的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式．
（2）若墙长a＝30米，求S的最大值．
【思路点拔】（1）设AD边的长为x米，则AB边长为（40x）米，然后利用矩形的面积公式列出函数关系式即可；
（2）利用二次函数的性质求最大值即可．
【解答】解：（1）设AD边的长为x米，则AB边长为（40x）米，
根据题意得：S＝（40x）xx2+40x，
∴S与x之间的函数关系式为Sx2+40x；
（2）由（1）知，Sx2+40x（x﹣40）2+800，
∵0，a＝30，
∴当x≤40时，S随x的增大而增大，
∴当x＝30时，S有最大值，最大值为750，
∴墙长a＝30米，S的最大值为750平方米．
21．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（2，﹣3），并且以x＝1为对称轴．
（1）求此函数的解析式；
（2）作出二次函数的大致图象；
（3）在对称轴x＝1上是否存在一点P，使△PAB中PA＝PB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
【思路点拔】（1）根据对称轴的公式x和函数的解析式，将x＝1和A（3，0），B（2，﹣3）代入公式，组成方程组解答；
（2）求出图象与坐标轴的交点坐标，描点即可；
（3）根据两点之间距离公式解答．
【解答】解：（1）把点A（3，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c依题意，
整理得，
解得，
∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）二次函数图象如右；
（3）存在．
作AB的垂直平分线交对称轴x＝1于点P，
连接PA、PB，则PA＝PB，
设P点坐标为（1，m），则22+m2＝（﹣3﹣m）2+1
解得m＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，﹣1）．
22．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B，与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣2，
（1）求抛物线的解析式；
（2）连BC，点P在直线BC上方的抛物线上，过P点作直线l，使l∥BC且点P到BC的距离最远，求直线l的解析式．
【思路点拔】（1）抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），故此c＝﹣3，然后根据对称轴为直线x＝﹣2可求得b＝﹣4；
（2）先求得BC的解析式，然后设出l的解析式，根据抛物线与直线l只有一个公共点可求得l的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣3），
∴C＝﹣3．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
∴2．
解得：b＝﹣4．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣3．
（2）令y＝0得：x2+4x+3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝﹣3．
∴点B的坐标为（﹣3，0）．
设BC的解析式为y＝kx﹣3，将点B的坐标代入得：k＝﹣1．
∵l∥BC，
∴l的解析式为y＝﹣x+b．
将y＝﹣x+b与y＝﹣x2﹣4x﹣3联立得：x2+4x+3＝x﹣b．
整理得：x2+3x+3+b＝0．
Δ＝32﹣4（3+b）＝0．
解得：b．
∴直线l的解析式为y＝﹣x．
23．（11分）燃放烟花是一种常见的喜庆活动．如图，小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间（单位：s）变化的规律如表：
飞行时间t/s 0 0.5 1 4.5 …
飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 …
（1）求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）
（2）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
【思路点拔】（1）相应的函数解析式为：h＝﹣2（t﹣3）2+19.8；
（2）花弹的爆炸高度符合安全要求．
【解答】解：（1）设其解析式为：h＝at2+bt+c，
把点（0，2），（0.5，9.5），（1，16）代入得：，
解得，
故相应的函数解析式为：h＝﹣2t2+16t+2；
（2）∵这种烟花每隔2s发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相同，小杰发射出的第一发花弹的函数表达式为h＝﹣2（t﹣4）2+34，
∴第二发花弹的函数表达式为h′＝﹣2（t﹣6）2+34．
皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，
则令h＝h′，得﹣2（t﹣4）2+34＝﹣2（t﹣6）2+34，
解得t＝5，此时h＝h′＝32＞30m，
故花弹的爆炸高度符合安全要求．
24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），直线CD：y＝2x﹣3与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为点P，交直线CD于点N．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）点M在运动过程中，能否使以C，N，M为顶点的三角形是以NM为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．
【思路点拔】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设P（p，0），且，求得M（p，p2﹣2p﹣3），N（p，2p﹣3），MN＝﹣p2+4p，利用三角形的面积公式列出关于p的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）当△CMN是以NM为腰的等腰直角三角形时，则有CM⊥MN，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），将点A，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）△CDM的面积存在最大值；理由如下：
如图，连接CM，MD，
∵直线CD：y＝2x﹣3与x轴交于点D，
当y＝0时，得：2x﹣3＝0，
解得：，
∴，
设P（p，0），且，
∴M（p，p2﹣2p﹣3），N（p，2p﹣3），
∴MN＝2p﹣3﹣（p2﹣2p﹣3）＝﹣p2+4p，
∴，
∵，对称轴为直线p＝2，
∴p≤2时，S△CDM的值随p的增大而增大，
∴当，S△CDM有最大值，最大值为；
（3）不能使以C，N，M为顶点的三角形是以NM为腰的等腰直角三角形；理由如下：
∵MP⊥x轴，
∴当△CMN是以NM为腰的等腰直角三角形时，则有CM⊥MN，
∴M点纵坐标为﹣3，
∴x2﹣2x﹣3＝﹣3，
解得x＝0或x＝2，
当x＝0时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
当x＝2时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
点M的坐标为（2，﹣3），点N的坐标为（2，1），
此时，CM＝2，MN＝1﹣（﹣3）＝4，
CM≠MN，则△CMN不是以NM为腰的等腰直角三角形，
∴不存在这样的点M，使以C，N，M为顶点的三角形是以NM为腰的等腰直角三角形．中小学教育资源及组卷应用平台
第二十二章《二次函数》单元检测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x（x﹣3）
C． D．y＝（x﹣2）2﹣x2
2．（3分）与抛物线y＝﹣5x2﹣1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数是（ ）
A．y＝﹣5x2﹣1 B．y＝5x2﹣1 C．y＝﹣5x2+1 D．y＝5x2+1
3．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x+1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
4．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2的顶点坐标为（ ）
A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（0，3） D．（0，﹣3）
5．（3分）如图，抛物线的顶点坐标为P（2，5），则函数y随x的增大而减小时x的取值范围为（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞6 D．x＜6
6．（3分）一次函数y＝ax+b，若a+b＝1，则它的图象必经过点（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（1，1）
7．（3分）若抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．﹣2
8．（3分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m＞0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
9．（3分）根据表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣1 ﹣2 …
A．只有一个交点
B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C．有两个交点，且它们均在y轴同侧
D．无交点
10．（3分）小明从右边的二次函数y＝ax2+bx+c图象中，观察得出了下面的五条信息：①a＜0，②c＝0，③函数的最小值为﹣3，④当x＜0时，y＞0，⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1＞y2，⑥对称轴是直线x＝2．你认为其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知抛物线的表达式为，则抛物线的顶点坐标是 ．
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），则此抛物线的对称轴是直线x＝ ．
13．（3分）若把代数式x2+2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k＝ ．
14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
则二次函数y＝ax2+bx+c在x＝2时，y＝ ．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（2，0），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p≥0）有整数根，则p的值有 个．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）已知抛物线yx2﹣3x
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
（3）画出草图；
（4）观察草图，指出x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0．
17．（6分）根据条件求二次函数的解析式：
（1）抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），且与y轴交点的纵坐标为﹣3
（2）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，﹣2）．
18．（6分）已知抛物线y＝x2﹣ax+2（a﹣3）．
（1）求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点；
（2）如果有一交点坐标为（3，0），求a的值．
19．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+4）x+3经过点（3，m）．
（1）若m＝﹣3，
①求此抛物线的对称轴；
②当1＜x＜5时，直接写出y的取值范围；
（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在此抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0，且3x1+3x2≥13，比较y1，y2的大小，并说明理由．
20．（8分）某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a的墙，另三边用总长为79米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD，并在BC边上留有一扇1米宽的门．设AD边的长为x米，矩形花圃的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式．
（2）若墙长a＝30米，求S的最大值．
21．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（2，﹣3），并且以x＝1为对称轴．
（1）求此函数的解析式；
（2）作出二次函数的大致图象；
（3）在对称轴x＝1上是否存在一点P，使△PAB中PA＝PB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
22．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B，与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣2，
（1）求抛物线的解析式；
（2）连BC，点P在直线BC上方的抛物线上，过P点作直线l，使l∥BC且点P到BC的距离最远，求直线l的解析式．
23．（11分）燃放烟花是一种常见的喜庆活动．如图，小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间（单位：s）变化的规律如表：
飞行时间t/s 0 0.5 1 4.5 …
飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 …
（1）求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）
（2）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），直线CD：y＝2x﹣3与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为点P，交直线CD于点N．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）点M在运动过程中，能否使以C，N，M为顶点的三角形是以NM为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．
