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第二十三章《旋转》单元检测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）数学有很多寓意美好的线或图，下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．笛卡尔心形线 B．科克曲线
C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图
2．（3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）
A．30° B．45° C．90° D．135°
3．（3分）平面直角坐标系内一点P（﹣6，5）关于原点对称点的坐标是（ ）
A．（6，﹣5） B．（﹣6，﹣5） C．（5，﹣6） D．（6，5）
4．（3分）如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是（ ）
A．30° B．60° C．72° D．90°
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝32°，则∠BCA＝（ ）
A．13° B．28° C．32° D．45°
6．（3分）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）
7．（3分）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2024次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO两边与坐标轴重合，OA＝2，OC＝1．将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，2）
9．（3分）已知点P（a+1，2a﹣3）关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a C．a＜1 D．a
10．（3分）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A．④ B．③ C．② D．①
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（0，2）．将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为 ．
12．（3分）第一象限的点（a，b）绕（0，﹣1）旋转180°后所得点的坐标为 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为 ．
14．（3分）如图所示，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC延长线上的D点处，则∠CAE＝ 度．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在斜边AB上，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∠DCE的平分线交AB于点F，连接BE，若BE＝4，BF＝3，则CD的长为 ．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）在如图的网格中有△ABC和点O，将△ABC以O为旋转中心逆时针分别旋转90°得到△A1B1C1，旋转180°得到△A2B2C2，请画出旋转后的图形．
17．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，点D在边BC上，将△ABC经过旋转后与△ADE重合．
（1）这一旋转的旋转中心是点 ；
（2）旋转角是多少度？
18．（6分）如图．网格中的四边形ABCD中，A（﹣4，0），B（0，2），C（﹣3，4），D（﹣5，3）
（1）将四边形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到四边形A1B1C1D1，在图中画出四边形A1B1C1D1；
（2）把四边形ABCD绕点B旋转180°得到四边形A2B2C2D2，在图中画出四边形A2B2C2D2，并直接写出A2、C2、D2的坐标．
19．（8分）（1）解方程：x2﹣5x+6＝0；
（2）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到ΔOA1B1．
①线段OA1的长是 ，∠AOB1的度数是 ；
②连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．
20．（8分）如图，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（0，1）．
（1）画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C；
（3）四边形BCB1C1的面积为 ．
21．（8分）如图，将正方形ABCD绕点C顺时针旋转30°得到正方形FECG，EF交AD于点P．
（1）求证：PE＝PD；
（2）若，求PA的长．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝42°．求∠BAF的度数；
（2）若AC＝4，BC＝3，求AF的长．
23．（11分）将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．
（1）连接BD．
①如图①，若α＝80°，则∠BDC的度数为 ；
②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．
（2）如图②．以AB为斜边作Rt△ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE．且CE⊥DE．试猜想线段AB，CD之间的数量关系，写出结论并给予证明．
24．（12分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D在边CA的延长线上，E在边AB上，AD＝AE，连接DE．
观察与思考：如图1，连接BD，CE，△ABD可以由△ACE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
迁移与运用：将图1中的△ADE绕点A旋转，当直线DE经过BC的中点F时，连接BD，如图2，求证：BD∥AE．
操作与拓展：将图1中的△ADE绕点A旋转，当B，D，E三点在同一条直线上，且该直线恰好经过AC的中点，直接写出的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第二十三章《旋转》单元检测试卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A C A B D D B C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）数学有很多寓意美好的线或图，下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．笛卡尔心形线 B．科克曲线
C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图
【思路点拔】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）
A．30° B．45° C．90° D．135°
【思路点拔】△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，由图可知，∠AOC为旋转角，可利用△AOC的三边关系解答．
【解答】解：如图，设小方格的边长为1，得，
OC，AO，AC＝4，
∵OC2+AO216，
AC2＝42＝16，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC＝90°．
故选：C．
3．（3分）平面直角坐标系内一点P（﹣6，5）关于原点对称点的坐标是（ ）
A．（6，﹣5） B．（﹣6，﹣5） C．（5，﹣6） D．（6，5）
【思路点拔】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：点P（﹣6，5）关于原点对称点的坐标是（6，﹣5），
故选：A．
4．（3分）如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是（ ）
A．30° B．60° C．72° D．90°
【思路点拔】紫荆花图案是一个旋转不变图形，根据这个图形可以分成几个全等的部分，即可计算出旋转的角度．
【解答】解：紫荆花图案可以被中心发出的射线分成5个全等的部分，因而旋转的角度是360÷5＝72度，
故选：C．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝32°，则∠BCA＝（ ）
A．13° B．28° C．32° D．45°
【思路点拔】由题意可得AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠AB'C'＝∠B，可得∠ACC'＝45°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求∠AB'C'＝∠B＝∠ACC'+∠CC'B'＝77°，即可得∠BCA的度数．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′，
∴AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠AB'C'＝∠B，
∴∠ACC'＝45°，
∵∠AB'C'＝∠ACC'+∠CC'B'，
∴∠AB'C'＝45°+32°＝77°，
∴∠B＝77°，
∴∠BCA＝13°，
故选：A．
6．（3分）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）
【思路点拔】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AA′的垂直平分线，也在线段BB′的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心．
【解答】解：∵△ABC绕P点顺时针旋转90°得到△A′B′C′，
∴点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，
作线段AA′和CC′的垂直平分线，它们的交点为P（1，2），
∴旋转中心的坐标为（1，2）．
故选：B．
7．（3分）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2024次旋转后得到的图形与图①﹣④中相同的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【思路点拔】由于每经过4次旋转后两矩形重合，而2024＝4×506，所以第2024次旋转后得到的图形与图④相同．
【解答】解：∵2024＝4×506，
∴第2024次旋转后得到的图形与图④相同．
故选：D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO两边与坐标轴重合，OA＝2，OC＝1．将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，2）
【思路点拔】先根据矩形的性质可知B（2，1），再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可．
【解答】解：∵OA＝2，OC＝1，
∴B（2，1）．
将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，如图：
可知：B1（﹣1，2），B2（﹣2，﹣1），B3（1，﹣2），B4（2，1），…，
则：每旋转4次则回到原位置，
∵2025÷4＝506 1，
即：第2025次旋转结束时，完成了506次循环，与B1（﹣1，2）的位置相同，
∴B2025的坐标为（﹣1，2）．
故选：D．
9．（3分）已知点P（a+1，2a﹣3）关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a C．a＜1 D．a
【思路点拔】直接利用关于原点对称点的性质得出P点位置，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（a+1，2a﹣3）关于原点的对称的点在第二象限，
∴点P在第四象限，
∴a+1＞0，2a﹣3＜0，
解得：﹣1＜a．
故选：B．
10．（3分）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A．④ B．③ C．② D．①
【思路点拔】根据中心对称图形的特点进行判断即可．
【解答】解：应该将②涂黑．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（0，2）．将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为 （3，1） ．
【思路点拔】过点C作CH⊥x轴于点H．证明△AOB≌△CHA（AAS），推出OA＝CH＝1，OB＝AH＝2，可得结论．
【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H．
∵A（1，0），B（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
∵∠AOB＝∠AHC＝∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAH＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠BAO＝∠ACH，
在△AOB和∠CHA中，
，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴OA＝CH＝1，OB＝AH＝2，
∴OH＝OA+AH＝1+2＝3，
∴C（3，1），
故答案为：（3，1）．
12．（3分）第一象限的点（a，b）绕（0，﹣1）旋转180°后所得点的坐标为 （﹣a，﹣2﹣b） ．
【思路点拔】设旋转后的点坐标为（x，y），然后根据点的中心对称列式计算即可得解．
【解答】解：设旋转后的点坐标为（x，y），
则0，1，
解得x＝﹣a，y＝﹣2﹣b，
所以，所得点的坐标为（﹣a，﹣2﹣b）．
故答案为：（﹣a，﹣2﹣b）．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为 60°， ．
【思路点拔】由旋转的性质，易得BC＝DC＝2，由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，即可求得∠B＝60°，即可判定△DBC是等边三角形，即可求得旋转角n的度数，易得△DFC是含30°角的直角三角形，则可求得DF与FC的长，继而求得阴影部分的面积．
【解答】解：∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，
∴BC＝DC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴n＝∠DCB＝60°，
∴∠DCA＝90°﹣∠DCB＝90°﹣60°＝30°，
∵BC＝2，
∴DC＝2，
∵∠FDC＝∠B＝60°，
∴∠DFC＝90°，
∴DFDC＝1，
∴FC，
∴S阴影＝S△DFCDF FC1．
故答案为：60°，．
14．（3分）如图所示，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC延长线上的D点处，则∠CAE＝ 100 度．
【思路点拔】根据旋转的性质得AB＝AD，∠BAD等于旋转角，再根据等腰三角形的性质得∠B＝∠ADB＝40°，然后根据三角形内角和定理计算∠BAD的度数．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC延长线上的D点处，
∴AB＝AD，∠BAD等于旋转角，
∴∠B＝∠ADB＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝100°．
故答案为100．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在斜边AB上，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∠DCE的平分线交AB于点F，连接BE，若BE＝4，BF＝3，则CD的长为 ．
【思路点拔】先证明△ACD≌△BCE，得到∠CBE＝∠A＝45°，BE＝AD，进而得到∠FBE＝90°，勾股定理算出EF，再证明△FCD≌△FCE，得出DF＝EF＝5，BD＝8，勾股定理算出DE，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解答．
【解答】解：如图，连接DE，EF，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
由题意可得：
∴CD＝CE，∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°﹣∠BCD，
∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠A＝45°，BE＝AD＝4，
∴∠FBE＝∠CBE+∠ABC＝90°，
∴，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCF＝∠ECF，
∵CF＝CF，∠DCF＝∠ECF，CD＝CE，
∴△FCD≌△FCE（SAS），
∴DF＝EF＝5，
∴BD＝DF+BF＝8，
∴，
∵CD2+CE2＝2CD2＝DE2，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）在如图的网格中有△ABC和点O，将△ABC以O为旋转中心逆时针分别旋转90°得到△A1B1C1，旋转180°得到△A2B2C2，请画出旋转后的图形．
【思路点拔】根据题意所述旋转三要素，依次找到各点对应点，然后顺次连接即可得出旋转后的图形．
【解答】解：旋转90°的图形如下：
；
旋转180°的图形如下：
．
17．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，点D在边BC上，将△ABC经过旋转后与△ADE重合．
（1）这一旋转的旋转中心是点 A ；
（2）旋转角是多少度？
【思路点拔】（1）根据旋转前后点A与自身重合可知点A为旋转中心；
（2）根据旋转的性质可得AB＝AD，再由等边对等角和三角形内角和定理可得∠BAD＝80°，据此可得答案．
【解答】解：（1）∵将△ABC经过旋转后与△ADE重合，
∴旋转中心即为点A，
故答案为：A；
（2）∵△ABC经过旋转后与△ADE重合，
∴AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠B＝50°，
∴∠ADB＝50°，
∴∠BAD＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴旋转角是80°．
18．（6分）如图．网格中的四边形ABCD中，A（﹣4，0），B（0，2），C（﹣3，4），D（﹣5，3）
（1）将四边形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到四边形A1B1C1D1，在图中画出四边形A1B1C1D1；
（2）把四边形ABCD绕点B旋转180°得到四边形A2B2C2D2，在图中画出四边形A2B2C2D2，并直接写出A2、C2、D2的坐标．
【思路点拔】（1）根据网格结构找出点A、B、C、D的对应点A1、B1、C1、D1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C、D的对应点A2、B2、C2、D2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出即可．
【解答】解：（1）四边形A1B1C1D1如图所示；
（2）四边形A2B2C2D2如图所示，
A2（4，4），C2（3，0），D2（5，1）．
19．（8分）（1）解方程：x2﹣5x+6＝0；
（2）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到ΔOA1B1．
①线段OA1的长是 6 ，∠AOB1的度数是 135° ；
②连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．
【思路点拔】（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）①图形在旋转过程中，边长和角的度数不变；
②可证明OA∥A1B1且相等，即可证明四边形OAA1B1是平行四边形．
【解答】（1）解：把方程左边分解因式得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
所以x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
（2）①解：∵∠OAB＝90°，OA＝AB，
∴△OAB为等腰直角三角形，即∠AOB＝45°，
根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，即OA1＝OA＝6，
对应角∠A1OB1＝∠AOB＝45°，旋转角∠AOA1＝90°，
∴∠AOB1的度数是90°+45°＝135°．
故答案为：6，135°；
②证明：∵∠AOA1＝∠OA1B1＝90°，
∴OA∥A1B1，
又OA＝AB＝A1B1，
∴四边形OAA1B1是平行四边形．
20．（8分）如图，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（0，1）．
（1）画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C；
（3）四边形BCB1C1的面积为 6 ．
【思路点拔】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）利用割补法求四边形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C即为所求．
（3）四边形BCB1C1的面积为6．
故答案为：6．
21．（8分）如图，将正方形ABCD绕点C顺时针旋转30°得到正方形FECG，EF交AD于点P．
（1）求证：PE＝PD；
（2）若，求PA的长．
【思路点拔】（1）连接PC，由题意易得CE＝CD，∠E＝∠D＝90°，然后可证△PEC≌△PDC（HL），进而问题可求解；
（2）由题意易得∠BCE＝30°，则有∠ECD＝60°，然后根据含30度直角三角形的性质可得PD＝1，进而问题可求解．
【解答】（1）证明：连接PC，如图所示：
∵正方形ABCD绕点C顺时针旋转30°得到正方形FECG，
∴CE＝CD，∠E＝∠D＝90°，
∴△PEC和△PDC是直角三角形，
在Rt△PEC≌Rt△PDC中，
，
∴Rt△PEC≌Rt△PDC（HL），
∴PE＝PD；
（2）解：∵正方形ABCD绕点C顺时针旋转30°得到正方形FECG，
∴∠BCE＝30°，，
∴∠ECD＝60°，
∵△PEC≌△PDC，
∴∠PCD＝∠PCE＝30°，
∴PC＝2PD，
∴，
∴PD＝1，
∴．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝42°．求∠BAF的度数；
（2）若AC＝4，BC＝3，求AF的长．
【思路点拔】（1）求出∠ABC，结合AB＝BF即可求解；
（2）求出AB，根据旋转得BE＝BC＝3，EF＝AC＝4，进而得AE＝5﹣3＝2，即可求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝42°，
∴∠ABC＝48°，
由旋转得，∠EBF＝∠ABC＝48°，
∴AB＝BF，
∴；
（2）在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴，
由旋转得，BE＝BC＝3，EF＝AC＝4，
∴AE＝5﹣3＝2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：．
23．（11分）将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．
（1）连接BD．
①如图①，若α＝80°，则∠BDC的度数为 30° ；
②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．
（2）如图②．以AB为斜边作Rt△ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE．且CE⊥DE．试猜想线段AB，CD之间的数量关系，写出结论并给予证明．
【思路点拔】（1）①先推出∠ADC＝50°，在推出∠ADB＝20°，从而得出结果；
②同理①由AC＝AD推出∠ADC＝90°，由AB＝AD推出∠ADB＝60°，进而推出结果；
（2）作AF⊥CD于F，推出△ABE≌△ACF，进而得出△AEF是等边三角形，再推出△ABE是等腰直角三角形，进而得出关系．
【解答】解：（1）①∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠C
＝50°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B
＝20°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ABD
＝50°﹣20°
＝30°，
故答案是30°；
②不变，理由如下：
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠C
＝90°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B
＝60°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ABD
＝90°（60°）
＝30°，
（2）如图，
作AF⊥CD于F，
∵AC＝AD，
∴CF＝DF，
∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
∴EF＝CFCD，
∵AB＝AC，
∠B＝∠ACD，
∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴BE＝CF，AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，
∴∠CAF+∠CAE＝∠BAE+∠CAE
即∠EAF＝BAC＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴BE＝AE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ADF＝∠ACF＝∠B＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CDACAB．
24．（12分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D在边CA的延长线上，E在边AB上，AD＝AE，连接DE．
观察与思考：如图1，连接BD，CE，△ABD可以由△ACE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
迁移与运用：将图1中的△ADE绕点A旋转，当直线DE经过BC的中点F时，连接BD，如图2，求证：BD∥AE．
操作与拓展：将图1中的△ADE绕点A旋转，当B，D，E三点在同一条直线上，且该直线恰好经过AC的中点，直接写出的值．
【思路点拔】观察与思考：由∠BAC＝90°，AB＝AC，D在边CA的延长线上，得∠DAB＝∠EAC＝90°，而AD＝AE，可证明△ABD≌△ACE，则△ABD可以由△ACE绕点A逆时针旋转90°得到，所以旋转中心为点A，旋转方向为逆时针，旋转角为90°；
迁移与运用：取AB的中点O，连接AF、OF，由∠BAC＝90°，AB＝AC，F是BC的中点，得∠ABC＝∠C＝45°，∠AFB＝90°，则OF＝OA＝OB，以点O为圆心，以OF为半径作圆，则点A、B、F都在⊙O上，因为∠ADF＝∠ABF，所以点D在⊙O上，则∠ADB＝180°﹣∠AFB＝90°，所以∠ADB+∠DAE＝180°，则BD∥AE；
操作与拓展：当B，D，E三点在同一条直线上，设直线BE经过AC的中点G，作AH⊥BE于点H，则∠HAD＝∠HDA＝45°，所以AH＝DH，则ADAH，设AG＝CG＝m，则AB＝AC＝2m，根据勾股定理求得BGm，由m AHm×2m＝S△ABG，求得AHm，即可求得ADm，则．
【解答】观察与思考：解：旋转中心为点A，旋转方向为逆时针，旋转角为90°，
理由：如图1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D在边CA的延长线上，
∴∠DAB＝∠EAC＝90°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴△ABD可以由△ACE绕点A逆时针旋转90°得到，
∴旋转中心为点A，旋转方向为逆时针，旋转角为90°．
迁移与运用：证明：如图2，取AB的中点O，连接AF、OF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，F是BC的中点，
∴∠ABC＝∠C＝45°，AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°，
∴OF＝OA＝OB，
以点O为圆心，以OF为半径作圆，则点A、B、F都在⊙O上，
∵∠DAE＝90°，AD＝AE，AE经过点F，
∴∠ADF＝∠AED＝45°，
∴∠ADF＝∠ABF，
∴点D在⊙O上，
∴∠ADB＝180°﹣∠AFB＝90°，
∴∠ADB+∠DAE＝180°，
∴BD∥AE．
操作与拓展：解：的值为，
理由：如图3，B，D，E三点在同一条直线上，且直线BE经过AC的中点G，
作AH⊥BE于点H，则∠AHD＝90°，
∵∠ADE＝∠E＝45°，
∴∠HAD＝∠HDA＝45°，
∴AH＝DH，
∴ADAH，
设AG＝CG＝m，则AB＝AC＝2m，
∴BGm，
∵BG AHAG AB＝S△ABG，
∴m AHm×2m，
∴AHm，
∴ADmm，
∴，
∴的值为．
