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第二十一章《一元二次方程》单元检测试卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A C D C C C A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2xy+y2＝0 B．x（x+3）＝x2﹣1
C．x2﹣2x＝3 D．
【思路点拔】根据一元二次方程的概念“等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程”依次进行判断即可得．
【解答】解：A、x2﹣2xy+y2＝0，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
B、x（x+3）＝x2﹣1化简为3x+1＝0，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
C、x2﹣2x＝3，是一元二次方程，选项说法正确，符合题意；
D、，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
2．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．3 B．﹣1 C．0 D．﹣3
【思路点拔】把x＝2代入x2+mx+2＝0得4+2m+2＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝2代入x2+mx+2＝0得4+2m+2＝0，解得m＝﹣3．
故选：D．
3．（3分）设m，n是方程x2+3x﹣2023＝0的两个不相等实数根，则m+n的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2023 D．﹣2023
【思路点拔】根据根与系数的关系，可知两根之和等于，即可求出m+n的值．
【解答】解：∵m，n是方程x2+3x﹣2023＝0的两个不相等实数根，
∴m+n＝﹣3．
故选：B．
4．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
【思路点拔】把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方．
【解答】解：由原方程，得
x2+2x＝5，
x2+2x+1＝5+1，
（x+1）2＝6．
故选：A．
5．（3分）方程3x2+4x+2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【思路点拔】根据根的判别式求解即可．
【解答】解：Δ＝42﹣4×3×2＝16﹣24＝﹣8＜0，
∴原方程没有实数根，
故选：C．
6．（3分）以为根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0 D．x2﹣bx﹣c＝0
【思路点拔】利用公式法对所给选项的根依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
方程x2+bx+c＝0的根为．
故A选项不符合题意．
方程x2+bx﹣c＝0的根为x．
故B选项不符合题意．
方程x2﹣bx+c＝0的根为x．
故C选项不符合题意．
方程x2﹣bx﹣c＝0的根为x．
故D选项符合题意．
故选：D．
7．（3分）流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（ ）
A．x2+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64
【思路点拔】根据题意设出未知数，用含x的式子表示出两轮传染后患病人数，列出方程即可求解．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后有（1+x）人患流感，第二轮后有（1+x）+x（1+x）＝（1+x）2人患流感，
由题意得（1+x）2＝64．
故选：C．
8．（3分）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定
【思路点拔】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：解方程x2﹣9x+18＝0，得x1＝6，x2＝3
∵当底为6，腰为3时，由于3+3＝6，不符合三角形三边关系
∴等腰三角形的腰为6，底为3
∴周长为6+6+3＝15
故选：C．
9．（3分）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【思路点拔】设这个小组的人数为x个，则每个人要送其他（x﹣1）个人贺卡，则共有（x﹣1）x张贺卡，等于72张，由此可列方程．
【解答】解：设这个小组有x人，
则根据题意可列方程为：（x﹣1）x＝72，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（舍去）．
故选：C．
10．（3分）如图，等腰直角△ACB，AC＝BC，点P在△ACB内，PC＝2，PA＝3，∠PAD＝∠ACP，则PB的长为（ ）
A． B． C．5 D．5
【思路点拔】先利用等腰直角△ACB，AC＝BC得到∠CAB＝45°，再证明∠APD＝45°，接着把△CBP绕点C顺时针旋转90°得到△CAE，连接PE，根据旋转的性质得到CE＝PC＝2，AE＝BP，∠PCE＝90°，则可判断△CPE为等腰直角三角形，所以PEPC＝2，∠CPE＝45°，然后计算∠APE＝90°，从而利用勾股定理计算出AE即可．
【解答】解：∵等腰直角△ACB，AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∵∠PAD＝∠ACP，
∴∠APD＝∠ACP+∠PAC＝∠PAD+∠PAC＝∠DAC＝45°，
把△CBP绕点C顺时针旋转90°得到△CAE，连接PE，
∴CE＝PC＝2，AE＝BP，∠PCE＝90°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PEPC＝2，∠CPE＝45°，
∵∠APE＝180°﹣∠APD﹣∠CPE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴AE，
∴PB．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）关于x的方程x2＝2x的解为 x1＝0，x2＝2 ．
【思路点拔】首先移项，再提取公因式，即可将一元二次方程因式分解，即可得出方程的解．
【解答】解：∵x2＝2x
∴x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
12．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣15＝0的两根分别为m，n，则mn﹣m﹣n的值是 ﹣18 ．
【思路点拔】利用根与系数关系解决问题即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣15＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝3，mn＝﹣15，
∴mn﹣m﹣n＝﹣15﹣3＝﹣18．
故答案为：﹣18．
13．（3分）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上拋，那么物体经过xs离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2．根据物理学规律，物体经过 2.04 s落回地面．（结果保留小数后两位）
【思路点拔】根据物体回落到地面，即10x﹣4.9x2＝0，求解即可．
【解答】解：根据物体落回地面，可得10x﹣4.9x2＝0，
解得：x1＝0（舍），，
因此物体经过2.04s落回地面．
故答案为：2.04．
14．（3分）现定义运算“ ”，对于任意实数a、b，都有a b＝a2﹣3a+b；如：3 5＝32﹣3×3+5，若x 2＝6，则实数x的值是 4或﹣1 ．
【思路点拔】根据新定义型运算法则即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x2﹣3x+2＝6，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
∴（x﹣4）（x+1）＝0，
∴x＝4或x＝﹣1．
故答案为：4或﹣1．
15．（3分）已知m是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则 2025 ．
【思路点拔】根据一元二次方程的解的定义，得出m2+1＝2024m，m2﹣2024m＝﹣1，代入代数式，即可求解．
【解答】解：依题意，m2﹣2024m+1＝0，
∴m2+1＝2024m，m2﹣2024m＝﹣1，
∴m2﹣2023m＝m2﹣2024m+m＝﹣1+m，，
∴，
故答案为：2025．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0．
【思路点拔】（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
，
解得：；
（2）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2x）＝0，
（x﹣3）（﹣3﹣x）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣3．
17．（6分）解一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0时，两位同学的解法如下：
解法一： x2﹣2x＝3 x（x﹣2）＝3 x＝1或x﹣2＝3 ∴x1＝1或x2＝5 解法二： a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 b2﹣4ac＝4﹣12＝﹣8 ∵b2﹣4ac＜0 ∴此方程无实数根．
（1）判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”．
（2）请选择合适的方法求解此方程．
【思路点拔】（1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据配方法可判断解法二进行判断；
（2）利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程．
【解答】解：（1）两位同学的解题过程都不正确．
（2）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1．
18．（6分）求证：不论x，y为何实数，代数式x2+2y2+2xy﹣4y+6的值均不小于2．
【思路点拔】首先将代数式x2+2y2+2xy﹣4y+6转化为x2+y2+2xy+y2﹣4y+4+2，然后再利用完全平方公式得（x+y）2+（y﹣2）2+2，最后再根据非负数的性质及不等式的基本性质即可得出结论．
【解答】证明：∵x2+2y2+2xy﹣4y+6
＝x2+y2+2xy+y2﹣4y+4+2
＝（x+y）2+（y﹣2）2+2，
又∵（x+y）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+y）2+（y﹣2）2≥0，
∴（x+y）2+（y﹣2）2+2≥2，
故代数式x2+2y2+2xy﹣4y+6的值均不小于2．
19．（8分）关于x的方程．
（1）当m＝ 0或﹣1 时，此方程是一元一次方程；
（2）若此方程是一元二次方程，求m的值，并解此方程．
【思路点拔】（1）根据一元一次方程的定义列出方程和不等式求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义列出不等式求解出m的值，再解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）∵m2+1≥1，
①当m+1＝0且m﹣2≠0时，方程是一元一次方程，
解得m＝﹣1且m≠2，
∴m＝﹣1；
②当m+1≠0且m2+1＝1时，方程是一元一次方程，
解得m≠﹣1且m＝0，
∴m＝0；
综上，m的值为0或﹣1，方程是一元一次方程．
故答案为：0或﹣1；
（2）由题意得：，
∴m＝1，
当m＝1，方程为2x2﹣x﹣1＝0，
因式分解得（x﹣1）（2x+1）＝0，
∴x﹣1＝0或2x+1＝0，
∴x1＝1，．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k2＝0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝1，试求出方程的两个实数根和k的值．
【思路点拔】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝4+4k2，则Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣k2，加上x1+2x2＝1，则解方程组求出x2＝﹣1，x1＝3，然后求出k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣k2）
＝4+4k2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣k2，
∵x1+2x2＝1，
∴x2＝﹣1，x1＝3，
∴﹣k2＝﹣1×3，
解得k＝±，
即方程的两个实数根为x1＝3，x2＝﹣1，k的值为±．
21．（8分）已知平行四边形ABCD的两邻边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
【思路点拔】（1）根据菱形的性质可得出AB＝AD，由根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；
（2）将x＝2代入一元二次方程可求出m的值，再根据根与系数的关系即可得出AB+AD的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形ABCD的周长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx0的两个实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4（）＝m2﹣2m+1＝0，
解得：m＝1．
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
（2）将x＝2代入x2﹣mx0中，得：4﹣2m0，
解得：m，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx0的两个实数根，
∴AB+AD＝m，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝25．
22．（10分）当阳的玉泉仙人掌茶是当地著名的土特产．友谊茶叶店购进一批玉泉仙人掌茶，已知第一次购进时，每千克茶叶的进价是m元，花费了30000元．第二次购进时，每千克茶叶的进价提高了20%，用同样多的钱购进的茶叶重量比第一次少了10千克．
（1）求m的值；
（2）该茶叶店以每千克800元的价格销售玉泉仙人掌茶，当销售了一部分后，剩下的茶叶按照售价的八折进行销售．若两次购进的茶叶全部售完后，总利润不低于20000元，求按八折销售的茶叶最多是多少千克？
（3）由于茶叶市场热度提升，该茶叶店打算再次购进玉泉仙人掌茶，准备在第一次进价基础上加价a%标价，再打九折出售，这样每千克仍可获利100元，求a的值．（a取整数）
【思路点拔】（1）用同样多的钱购进的茶叶重量比第一次少了10千克，据此列方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）先求出两次购进茶叶的数量，设按照售价的八折进行销售的茶叶是x千克，则按照原价销售的茶叶是（60+50﹣x）千克，总利润不低于20000，据此列不等式，解不等式即可得到答案；
（3）每千克仍可获利100元，据此列一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意列分式方程可得，
，
解得m＝500，
经检验，m＝500是分式方程的解，且符合题意；
答：m的值为500；
（2）第一次购进茶叶（千克），
第二次购进茶叶（千克），
设按照售价的八折进行销售的茶叶是x千克，则按照原价销售的茶叶是（60+50﹣x）千克，
根据题意列一元一次不等式可得，800（60+50﹣x）+800×0.8x﹣30000×2≥20000，
解得x≤50，
答：按照售价的八折进行销售的茶叶最多是50千克；
（3）根据题意列一元一次方程可得，500（1+a%）×0.9﹣500＝100，
整理得，4.5a＝150，
解得a≈33．
答：a的值为33．
23．（11分）社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10125元？
【思路点拔】（1）根据题意列出方程（52﹣2x）（28﹣2x）＝640解答即可；
（2）设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10125元，列出方程（200+a）（50）＝10125解答即可．
【解答】解；（1）根据道路的宽为x米，根据题意得，
（52﹣2x）（28﹣2x）＝640，
整理得：x2﹣40x+204＝0，
解得：x1＝34（舍去），x2＝6，
答：道路的宽为6米．
（2）设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10125元，
根据题意得：（200+a）（50）＝10125，
整理得：a2﹣50a+625＝0，
解得a＝25，
答：每个车位的月租金上涨25元时，停车场的月租金收入为10125元．
24．（12分）如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度做直线运动．已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．
（1）当AP＝1时，PQ＝ ；
（2）当AP的长为何值时，△PCQ与△ABC的面积相等？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？
证明你的结论．
【思路点拔】（1）根据勾股定理即可求出答案；
（2）先计算出△ABC的面积，△PCQ都是以CQ为底，PB为高，分两种情况进行讨论：①当P在线段AB上；②当P在AB延长线上．根据三角形的面积公式即可得出所求的AP的长．
（3）本题要分两种情况进行计算：①当P在线段AB上时，过P作PF∥QB交AC于F，那么不难得出△PFD≌△QCD，因此DF＝CD，而CF＝AC﹣2AE，因此根据DE＝EF+DF即可得出DE的长．②当P在线段AB延长线上时，DE＝EF﹣FD．然后比较①②的DE的长是否相等即可判断出线段DE的长度是否改变．
【解答】解：（1）∵AP＝CQ＝1，
∴PB＝2﹣1＝1，BQ＝2+1＝3，
在Rt△BPQ中，PQ，
故答案为：；
（2）S△ABC2×2＝2．
①当点P在线段AB上时（如图1），
设AP的长为x，则AP＝CQ＝x，PB＝2﹣x．
∴S△PCQx（2﹣x）（0＜x＜2），
令x（2﹣x）＝2，即x2﹣2x+4＝0，此方程无解；
②当点P在AB延长线上时（如图2），
S△PCQCQ PB．
∵AP＝CQ＝x，PB＝x﹣2．
∴S△PCQx（x﹣2）（x＞2），
令x（x﹣2）＝2，即x2﹣2x﹣4＝0，解得x＝1±．
故当AP的长为1时，S△PCQ＝S△ABC；
（3）线段DE的长度不变，
理由如下：如图，当点P在线段AB上时，过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ACB＝∠QCM＝45°，
在△AEP和△CMQ中，
，
∴△AEP≌△CMQ（AAS），
∴AE＝CM，PE＝QM，
∴EM＝AC，
在△PDE和△QDM中，
，
∴△PDE≌△QDM（AAS），
∴DE＝DM，
∴DEEM，
当点P在线段AB的延长线上时，同理可得，DE，
综上所述：线段DE的长度不会改变，DE．中小学教育资源及组卷应用平台
第二十一章《一元二次方程》单元检测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2xy+y2＝0 B．x（x+3）＝x2﹣1
C．x2﹣2x＝3 D．
2．（3分）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．3 B．﹣1 C．0 D．﹣3
3．（3分）设m，n是方程x2+3x﹣2023＝0的两个不相等实数根，则m+n的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2023 D．﹣2023
4．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
5．（3分）方程3x2+4x+2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
6．（3分）以为根的一元二次方程可能是（ ）
A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0 D．x2﹣bx﹣c＝0
7．（3分）流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（ ）
A．x2+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64
8．（3分）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定
9．（3分）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（3分）如图，等腰直角△ACB，AC＝BC，点P在△ACB内，PC＝2，PA＝3，∠PAD＝∠ACP，则PB的长为（ ）
A． B． C．5 D．5
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）关于x的方程x2＝2x的解为 ．
12．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣15＝0的两根分别为m，n，则mn﹣m﹣n的值是 ．
13．（3分）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上拋，那么物体经过xs离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2．根据物理学规律，物体经过 s落回地面．（结果保留小数后两位）
14．（3分）现定义运算“ ”，对于任意实数a、b，都有a b＝a2﹣3a+b；如：3 5＝32﹣3×3+5，若x 2＝6，则实数x的值是 ．
15．（3分）已知m是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则 ．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0．
17．（6分）解一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0时，两位同学的解法如下：
解法一： x2﹣2x＝3 x（x﹣2）＝3 x＝1或x﹣2＝3 ∴x1＝1或x2＝5 解法二： a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 b2﹣4ac＝4﹣12＝﹣8 ∵b2﹣4ac＜0 ∴此方程无实数根．
（1）判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”．
（2）请选择合适的方法求解此方程．
18．（6分）求证：不论x，y为何实数，代数式x2+2y2+2xy﹣4y+6的值均不小于2．
19．（8分）关于x的方程．
（1）当m＝ 时，此方程是一元一次方程；
（2）若此方程是一元二次方程，求m的值，并解此方程．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k2＝0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝1，试求出方程的两个实数根和k的值．
21．（8分）已知平行四边形ABCD的两邻边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
22．（10分）当阳的玉泉仙人掌茶是当地著名的土特产．友谊茶叶店购进一批玉泉仙人掌茶，已知第一次购进时，每千克茶叶的进价是m元，花费了30000元．第二次购进时，每千克茶叶的进价提高了20%，用同样多的钱购进的茶叶重量比第一次少了10千克．
（1）求m的值；
（2）该茶叶店以每千克800元的价格销售玉泉仙人掌茶，当销售了一部分后，剩下的茶叶按照售价的八折进行销售．若两次购进的茶叶全部售完后，总利润不低于20000元，求按八折销售的茶叶最多是多少千克？
（3）由于茶叶市场热度提升，该茶叶店打算再次购进玉泉仙人掌茶，准备在第一次进价基础上加价a%标价，再打九折出售，这样每千克仍可获利100元，求a的值．（a取整数）
23．（11分）社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10125元？
24．（12分）如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度做直线运动．已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．
（1）当AP＝1时，PQ＝ ；
（2）当AP的长为何值时，△PCQ与△ABC的面积相等？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？
证明你的结论．
