(共13张PPT)
12.2 一次函数
第5课时 一次函数的应用——分段函数问题
知识点1 一次函数的简单应用
1.（2025·安徽模拟）某品牌鞋子的长度与鞋子的“码”数 之间满足一次函数关系.若
22码鞋子的长度为，44码鞋子的长度为 ，则42码鞋子的长度为( )
D
A. B. C. D.
2.（2024·铜陵月考）某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李.当行李
的质量超过规定时，需付的行李费（元）与行李质量 之间满足一次函数关系，
部分对应值如下表：
… 30 40 50 …
元 … 4 6 8 …
则旅客最多可免费携带行李的质量为____ .
10
知识点2 分段函数的应用
3.自来水公司采用分段收费的方法收取水费，每月收取水费
（元）与用水量 之间的函数关系如图所示.琪琪家5月份用水
,应交水费( )
C
A.22元 B.33元 C.39元 D.42元
4.（8分）某计算器每个定价80元，若购买不超过20个，则按原价付款；若一次购买超
过20个，则超过部分按七折付款.设一次购买数量为个，付款金额为 元.
（1）试求与 之间的函数表达式;
解：由题意，得与 之间的函数表达式为
（2）当， 时，付款金额分别为多少元？
解：当时，,当时， ,
所以当， 时，付款金额分别为480元和1 880元.
5.（10分） 某市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的
方法计算电费：每月用电不超过 时，按每千瓦时0.37元计费；每月用电超过
时，超过部分按每千瓦时0.5元计费.
（1）设每月用电时，应交电费元，当和时，分别写出关于
的关系式；
解：当时， ；
当时， .
（2）小张家一月份的用电量为 ，求小张家一月份的电费；
解：因为小张家一月份的用电量为，大于 ，所以
，所以小张家一月份的电费是47元.
（3）小王家一月份交纳电费76元，求小王家一月份的用电量.
解：当每月电费超过37元时，用电量超过，所以令 ，解得
，所以小王家一月份的用电量为 .
6.（10分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术，这种瓜苗早
期在农科所的温室中生长，长到大约 时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生
长.研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度（单位：）与生长时间 （单位：天）
之间的关系大致如图所示.
（1）求与 之间的函数解析式.
解：当时，设，则 ，
所以，所以 .
当时，设 ，
则
解得
所以 .
综上，
（2）当这种瓜苗长到大约 时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后，继续
生长大约多少天，开始开花结果.
解：由图象可知，当时， ，
所以，解得 .
因为 （天），
所以这种瓜苗移至大棚后，继续生长大约18天，开始开花结果.
7.（12分）（应用意识）某医院研究所研发了一种新药，在研究药效时发现：如果成人
按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量随时间 的变化情况如图所
示.如果每毫升血液中的含药量为 及以上时，治疗疾病有效，那么这个有效的时间
有多少小时？
解：设当时，正比例函数的表达式为.把代入,得 ，所以当
时，与之间的函数表达式是 .
设当时，一次函数的表达式为.因为点, 在函数图象上，所以
解得所以当时，与之间的函数表达式是 .
把代入,得；把代入，得 .所以有效的时间为
.
所以这个有效的时间有 .(共11张PPT)
12.3 一次函数与二元一次方程
第3课时 双一次函数的简单应用
知识点 双一次函数的简单应用
1. 某单位准备和甲、
乙两家出租公司中的一家签订租车合同.设汽
车每月行驶 ，每月应付给甲公司的费用
为元，应付给乙公司的费用为元， ，
与 的关系如图所示.若该单位每月行驶的路
B
A.甲公司 B.乙公司 C.甲、乙公司都一样 D.无法确定
程为 ，为了使费用最少，应选择 ( )
2.学校提倡“低碳环保，绿色出行”.小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各
自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，和 分别表示两人到小亮家
的距离和时间的关系，则出发_____ 后两人相遇．
0.35
3.安徽某文化旅游公司推出野外宿营活动，有两种优惠方案：方案一，以团队为单位办
理会员卡（会员卡花费 元），所有人都按半价优惠；方案二，所有人都按六折优
惠．某团队有人参加该活动，购票总花费为元，这两种方案中关于 的函数图象如
图所示，则下列说法不正确的是( )
D
A.
B.原票价为400元/人
C.方案二中关于的函数表达式为
D.若方案一比方案二更优惠，则
4.（2024·合肥月考）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚.某餐厅的机器人
聪聪和慧慧从厨房门口出发，准备给相距 的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且
速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍.设聪聪行走的时间为 ，
聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与 之间的函数图象如图所示，
则下列说法不正确的是( )
D
A.慧慧比聪聪晚出发
B.慧慧提速后的速度为
C.
D.从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大
值为
5.学校有一批复印任务，原来由甲复印公司承接，按
每100页40元收费.现乙复印公司表示：若学校先按月
付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费.两
家复印公司每月的收费情况如图所示.
（1）乙复印公司每月的承包费是_____元.
200
（2）当每月复印_____页时，两家复印公司的实际收费相同，费用是_____元.
（3）图中甲复印公司每月收费情况所对应的函数解析式为_________，如果每月复印
页数在1 200左右，那么选择____复印公司更合算.
800
320
乙
6.（10分）如图，甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从地出发到距离 地
的地办事，甲先出发，乙后出发，甲、乙两人距地的路程和时间
的函数关系如图所示.根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）乙比甲晚___出发,乙出发___ 后追上甲.
2
2
（2）分别求甲、乙两人离开地的路程关于时间 的函数表达式.
解：设甲离开地的路程与时间的函数表达式为,将代入，得 ,
所以,故甲离开地的路程关于时间的函数表达式为.设乙离开 地的路程
关于时间的函数表达式为.将，代入，得 解得
故乙离开地的路程与时间的函数表达式为 .
（3）乙比甲早几小时到达 地？
解：当时，，解得；当时， ，解得
.
所以 .
答：乙比甲早到达 地.
7.（10分）（应用意识）1号探测气球从海拔 处出发，
以 的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从
海拔处出发，以 的速度竖直上升．两个气
球都上升了.1号、2号气球所在位置的海拔 ，
与上升时间 之间的函数关系如图所示．请
根据图象回答下列问题：
（1）____， ____.
0.5
30
（2）请分别求出，与 之间的函数表达式.
解：由（1），知, .
（3）当上升多长时间时，两个气球的海拔相差 ？
解：分两种情况：
①2号探测气球比1号探测气球海拔高，根据题意，得 ，
解得 ；
②1号探测气球比2号探测气球海拔高，根据题意，得 ，
解得 .
综上所述，当上升或时，两个气球的海拔相差 .(共11张PPT)
12.1 函 数
第3课时 图象法
知识点1 认识函数的图象
1.（2024·宣城期末）下列图象中，能表示函数图象的是( )
D
A. B. C. D.
2.去年黄瓜的销售价格（单位：元/）随月份 变化的图象如图所示.根据图象可知去
年黄瓜价格最低是在___月.
8
知识点2 画函数的图象
3.（8分）画出函数 的图象.
（1）列表：
… 0 1 …
… ____ ___ ___ …
1
5
（2）描点并连线;
解：函数图象如图所示.
（3）判断点，，是否在函数 的图象上.
解：当时，;当时， ;
当时，.所以点，不在函数的图象上，点 在函数
的图象上.
4.函数 的图象是( )
B
A. B. C. D.
5.（8分）一根弹簧长为，它的弹性限度是（即挂重不能超过 ），每挂
重弹簧就伸长，弹簧挂重后的长度为 .
（1）与 之间的函数解析式是______________；
（2）自变量的取值范围是____________；
（3）填表，并画出这个函数的图象.
0 2 4 5 10
____ ____ ____ _____ ____
20
21
22
22.5
25
解：描点、连线，画出图象如图所示.
6.（12分）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图①，在长方形 中，动点
从点出发，沿方向匀速运动至点停止.已知点的运动速度为 ，
设点的运动时间为，的面积为，若关于 的函数图象如图②所示，
试求长方形 的面积.
图①
图②
解：由题意，得当点在点，之间运动时，的面积随时间 的增大而增大，结
合题图②，知当时，点到达点处，;当点在点， 之间运
动时，的面积不变.结合题图②，可知点从点运动到点 所用时间为
，所以.所以长方形 的面积为
.(共16张PPT)
12.2 一次函数
第4课时 用待定系数法求一次函数的表达式
知识点1 由自变量与函数值求一次函数的表达式
1.下表是一次函数，，为常数的自变量与函数 的几组对应值：
0 1
3 1 0
则一次函数的表达式是___________.
2.（8分）（2024·六安月考）已知一次函数，当时， ；当
时， .求这个一次函数的表达式.
解：将，；，分别代入一次函数表达式，得
解得
所以这个一次函数表达式为 .
知识点2 由点的坐标求一次函数的表达式
3.在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点 ，则这个一
次函数的解析式是( )
C
A. B. C. D.
4.若点在正比例函数 的图象上，则此函数的表达式为_______.
5. 如图，直线过,两点，则直线 对应的函数表达式为__________.
6.（8分）在平面直角坐标系内有三点，， .
（1）求过其中两点的直线对应的函数表达式（选一种情形作答）;
解：答案不唯一.如设，两点所在直线表达式为 ，
则解得
所以直线对应的函数表达式为 .
（2）判断，， 三点是否在同一条直线上，并说明理由.
解：当时， ，
所以点不在直线上，即点，， 三点不在同一条直线上.
知识点3 由两个一次函数图象的平行关系求一次函数的表达式
7.（8分）已知一次函数的图象经过点，且平行于直线 .
（1）求这个函数的表达式；
解：因为该一次函数的图象平行于直线 ，
所以设该函数表达式为 .
把点代入，得 ，
所以 ，
所以这个函数表达式为 .
（2）求该一次函数的图象与坐标轴围成的图形的面积.
解：设直线与轴和轴分别交于点和点 .
当时，，所以点 .
当时，，所以点， ，
所以， ，
所以 .
所以该一次函数的图象与坐标轴围成的图形面积为 .
8.如图，若把直线向上平移2个单位长度得到直线 ，则直线
对应的函数解析式为( )
D
A. B.
C. D.
9.（传统文化）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.某次对弈的残图如图所示.若
建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点 的位置，则在同一坐标系下，经过棋
子“帅”和“马”所在点的直线对应的一次函数解析式为( )
A
A. B. C. D.
10.已知一次函数的图象经过点和，则 ____.
11.（8分）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，且当 时，
，求 的值.
解：因为一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
所以，随 的增大而减小.
因为当时， ，
所以当时，；当时， ，
所以
解得
所以 .
12.（12分）（运算能力）如图，，分别是 轴上位于原点左
右两侧的点，点在第一象限，直线交轴于点 ，
直线交轴于点， 的面积为6.
（1）求 的面积；
解：如图，作轴于点 .
因为点 的横坐标是2，
所以 .
所以 .
（2）求点的坐标及 的值；
解：由（1），得 ，
所以，即 ，
所以，所以点的坐标是 .
设直线的表达式是，则解得所以直线 对应的表达
式是 .
当时，，所以 .
（3）若与的面积相等，求直线 对应的函数表达式.
解：设直线对应的表达式为 .
所以点的坐标为,,点的坐标为 ,
所以, .
因为点的坐标为，与 的面积相等，
所以 ，
所以, .
由点与点不重合可知， ,
所以, .
所以直线对应的解析式为 .(共10张PPT)
12.3 一次函数与二元一次方程
第1课时 一次函数与二元一次方程
知识点 一次函数与二元一次方程的关系
1.以二元一次方程 的解为坐标的点组成的图象画在平面直角坐标系中可能是
( )
B
A. B. C. D.
2.直线 在平面直角坐标系中的位置如图所示.下面不
是关于，的二元一次方程 的解的是( )
C
A. B.
C. D.
3.已知是方程 的一个解，则与方程对应的一次函数的图象上的一个点
的坐标为,___ .
3
4.（8分）（开放题）已知二元一次方程 .
（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出该二元一次方程所对应的直线.
解：中，当时，；当时， .
如图.
（2）给出该二元一次方程任意3组非整数解.
解：答案不唯一.如
5.（2024·六安月考）若以二元一次方程的解为坐标的点 都在直线
上，则常数 为( )
B
A. B.2 C. D.1
6.（10分）已知将二元一次方程 化为一次函数后，经过画图发现，
它的图象与轴的交点的横坐标为 .
（1）请将二元一次方程化为一次函数的形式.
解：由题意可知，一次函数过点 ，
将, 代入二元一次方程，得
,解得 .
故化为一次函数的形式为 .
（2）这个函数的图象不经过第几象限
解：因为 ,
所以这个函数的图象不经过第四象限.
（3）求这个一次函数的图象与 轴的交点坐标.
解：当时， .
故这个一次函数的图象与轴的交点坐标为 .(共15张PPT)
第12章 函数与一次函数
练专题三 一次函数的图象与系数的关系
类型1 由一次函数的图象判断， 的符号
1.已知直线 如图所示，那么有( )
D
A.， B.，
C.， D.，
2.（2025·合肥模拟）若直线是常数，经过第一、二、三象限，则
的值可能为( )
D
A. B. C. D.1
3.已知一次函数的图象如图所示，则点
落在( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.一次函数与 的图象如图所示，有
下列结论：；；；④当 时，
.其中正确的个数是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
类型2 由， 的符号判断一次函数的图象
5.（2025·宿州模拟）若，则一次函数 的图象可能是( )
D
A. B. C. D.
6.已知点在第一象限，则直线 经过的象限为( )
B
A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限
C.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限
7.已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则一次函数 的图象可能
是( )
D
A. B. C. D.
8.若实数，，满足，，则函数 的图象可能是
( )
A
A. B. C. D.
9.已知一次函数的图象经过点，，且 ，它的图象可能是
( )
B
A. B. C. D.
10.已知一次函数，随着的增大而减小，且 ，则在平面直角坐标系
中它的大致图象是( )
A
A. B. C. D.
类型3 一次函数图象的共存问题
11.同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数， 是常数，
且 的图象可能是( )
B
A. B. C. D.
12.已知一次函数与，为常数，且 ，它们在同一平面直
角坐标系中的图象可能是( )
C
A. B. C. D.
13.（2024·六安月考）同一平面直角坐标系中，一次函数 与
，为常数，且,均不为0 的图象可能是( )
C
A. B. C. D.
14.两条直线与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
B
A. B. C. D.(共20张PPT)
12.2 一次函数
第3课时 一次函数的性质
知识点1 一次函数随 的变化情况
1.下列一次函数中，函数值随 的增大而减小的是( )
C
A. B. C. D.
2.（2024·蒙城期中）关于的一次函数，若随 的增大而增大，
且图象与轴的交点在轴下方，则实数 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
3. 填空：
（1）对于一次函数，随 的增大而______；
（2）对于一次函数，随 的增大而______.
增大
减小
4.（8分）在一次函数中，随的增大而减小，试求 的取值范围.
解：因为随的增大而减小，所以，所以 .
知识点2 一次函数图象的位置与系数的关系
5.（2025·滁州模拟）若直线经过第一、二、四象限，则直线 的图
象只能是图中的( )
B
A. B. C. D.
6.已知关于的一次函数的图象经过第二、三、四象限，则
的取值范围是__________.
7.（8分）已知一次函数，若其函数值随着 的增大而减小，且
其图象不经过第一象限，求 的取值范围.
解：依题意，得解得.所以的取值范围是 .
知识点3 函数值的大小比较
8.（2024·淮北期末）已知直线过点和点，则和 的大
小关系是( )
B
A. B. C. D.不能确定
9.（2024·合肥期末）一次函数的图象上有两点，，则 和
的大小关系是( )
C
A. B. C. D.无法确定
10.一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则点 的坐标可以为
( )
A
A. B. C. D.
11.一次函数的图象经过点，且当时， ，则该函数图象
不经过( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
12.已知一次函数 的图象如图所示，则点
所在的象限为( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
13.正比例函数和一次函数 的大致图象是( )
C
A. B. C. D.
14.已知一次函数，当时，的最大值为12，则 的值为____.
15.（10分）已知一次函数 ，
（1）若随的增大而增大，求 的取值范围.
解：因为随 的增大而增大，
所以，解得 .
（2）若该函数图象与轴的交点在轴的上方，求 的取值范围.
解：因为该函数图象与轴的交点在 轴上方，
所以，且 ，
解得，且 .
（3）若该函数图象经过第一、二、四象限，求 的取值范围.
解：因为该图象经过第一、二、四象限，
所以解得 .
16.（12分）（几何直观）探索一个新函数的图象与性质时，在经历“列表、描点、连线”
后，通过观察函数图象来归纳函数的性质.下面运用这样的方法探索函数
的性质.
（1）①完成下面表格：
… 0 1 2 3 4 5 …
… 0 ___ ___ ___ ___ 1 0 …
1
2
3
2
②根据表格在下面的平面直角坐标系中先描点，再连线.
解：函数图象如图所示.
（2）①函数的最大值为___；当随的增大而减小时， 的取值范围是______；
②当时， 的取值范围是____________.
3(共19张PPT)
12.2 一次函数
第1课时 正比例函数的图象与性质
知识点1 一次函数和正比例函数的概念
1.（2024·六安期中）下列四个函数中，是一次函数的是( )
B
A. B. C. D.
2.（2024·滁州月考）如果是正比例函数，则 的值是( )
A
A. B.0 C. D.
3.（8分） 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）；（2）;（3） ；
（4）； （5） ；
（6） .
解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，其中（1）（6）又是正比例函数.
4.（8分）已知函数 .
（1）当为何值时，是 的一次函数？
解：由题意，得，所以 .
（2）当为何值时，是 的正比例函数？
解：由题意，得，且 ，
所以 .
知识点2 正比例函数的图象
5.正比例函数 的大致图象是( )
C
A. B. C. D.
6.已知正比例函数的图象经过点，则 的值是( )
A
A. B. C.1 D.2
7.若正比例函数的图象经过第一、三象限，则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
若正比例函数的图象经过第二、四象限，则 的取值范
围是( )
C
A. B. C. D.
8.（开放题）
（1）写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的表达式______________________.
（2）正比例函数的图象一定经过点______.
（答案不唯一）
9.（8分）画出正比例函数 的图象.
解：用两点法作图，可以过点和点作直线，即可得正比例函数 的图象，
如图所示.
知识点3 正比例函数的性质
10.若函数的图象上有两点,，当时，，则 的值
可能是( )
A
A. B.0 C.1 D.2
11.（2024·合肥期末）正比例函数的值随值的增大而减小，则 的取值
范围是_______.
12. 如图所示，在同一平面直角坐标系中，正比例函数 ，
，，的图象分别为直线，，，，则，，， 的大
小关系是_________________.（用“ ”连接）
13.关于的函数 ，下列说法错误的是( )
D
A.它是正比例函数 B.函数的图象经过点
C.函数的图象经过第一、三象限 D.当时，
易错点 忽略比例系数不为0而出错
14.若是关于的正比例函数，且点和点 在该函
数的图象上，那么和 的大小关系是( )
B
A. B. C. D.
若关于的函数是一次函数，则 的值
为____.
15.（10分）已知正比例函数 .
（1）当 为何值时，函数图象经过第一、三象限？
解： .
（2）当为何值时，随 的增大而减小
解： .
（3）当为何值时，点 在该函数图象上
解： .
16.（12分）（几何直观）如图，正比例函数 的图象经过
点，点在第四象限.过点作轴，垂足为点，点 的横
坐标为3，且 的面积为4.5.
（1）求该正比例函数的表达式.
解：由点的横坐标为3，且的面积为，易得点 的纵
坐标为，所以点的坐标为 .
因为正比例函数的图象经过点，所以 ，解得
.所以该正比例函数的表达式为 .
（2）在轴上是否存在一点，使的面积为6 若存在，求出点 的坐标;若不存在，
请说明理由.
解：存在.因为的面积为6，点的坐标为，所以.所以点 的坐标为
或 .(共18张PPT)
第12章 函数与一次函数
第12章 章末复习
考点1 函数的相关概念
1.（2024·亳州期中）下列式子中，不是 的函数的是( )
D
A. B. C. D.
2.（2024·合肥期中）函数中自变量 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
考点2 正比例函数、一次函数的概念
3.（2024·阜阳月考）已知函数是正比例函数，则， 的值为
( )
A
A.， B.， C.， D.，
4.（2024·六安期中）已知函数是一次函数，则 的值为( )
A
A. B.1 C. D.2
考点3 一次函数的图象和性质
5.关于一次函数 ，下列说法正确的是( )
A
A.图象经过第一、二、三象限 B.图象与轴交于点
C.函数值随自变量的增大而减小 D.当时，
6.直线和 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A
A. B. C. D.
考点4 一次函数的表达式的确定
7.（2024·蚌埠期末）已知点在第二象限，且到轴、 轴的距离分别是4，3，则经过
点 的正比例函数表达式为_________.
8.（8分）（2024·亳州期中）已知一次函数的图象经过点和 .
（1）求该一次函数的表达式；
解：设一次函数的表达式为 ，
把和代入，得
解得
所以该一次函数的表达式为 .
（2）平移上面函数图象，使它经过点 ，求出平移后的直线对应的函数表达式.
解：设平移后的直线对应的函数表达式为 ，
把代入，得 ，
解得，所以平移后的直线对应的函数表达式为 .
9.（10分）（2025·安庆模拟）已知，与成正比例，与 成正比例，
当时，；当时，，求与 之间的函数关系式.
解：设， ，
则 .
由题意，得解得
所以与之间的函数关系式为，即 .
考点5 一次函数与一次方程（组）、一次不等式
10.（2024·合肥月考）如图，直线，是常数，且
与轴交于点，与轴交于点，则不等式 的
解集为( )
B
A. B. C. D.
11.（2024·合肥期中）已知直线与直线相交于点 ，
则方程组 的解为( )
D
A. B. C. D.
考点6 一次函数的应用
12.（10分）为了鼓励市民节约用水，自来水公司特地制定了新的用
水收费标准，每月用水量与应付水费 （元）之间的函数关系如
图所示.
（1）求出当月用水量不超过时，与 之间的函数表达式；
解：设当时，与之间的函数表达式为 .由
，，得 ，
所以 .
所以当时， .
（2）某居民某月用水量为 ，应付的水费是多少？
解：设当时，与之间的函数表达式为 .
由题图可知，解得
所以当时， ,
所以当时， .
所以应付的水费是9.5元.
13.（14分）（2024·六安期中）（综合与实践）
【问题背景】某校为更好地开展排球课程，计划购买一批排球，该市两家体育用品商
店分别推出了自己的优惠方案：
甲商店：若购买超过20个，超过部分按每个排球标价的八折出售.
乙商店：若购买超过15个，超过部分按每个排球标价的九五折再优惠10元出售.
【问题研究】
若用字母表示购买排球的数量，字母 表示购买排球的总
价，其函数图象如图所示.
【问题解决】
（1）每个排球的标价是多少元？
解：甲商店标价为（元/个）；乙商店标价为
（元/个），则两个商店排球的标价是一样的，所以每个排球的标价是100元.
（2）当时，甲商店应付的总价与数量 之间的函数关系式为_______________；
当时，乙商店应付的总价与数量 之间的函数关系式为________________.
（3）求点 的坐标，并根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更合算.
解：由图象可知，点 是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标分别相等，
则，解得，此时,所以点 的
坐标为 .
当或 时，甲、乙两家商店一样合算；
当 时，选择乙商店更合算；
当 时，选择甲商店更合算.(共7张PPT)
12.3 一次函数与二元一次方程
第2课时 用图象法解二元一次方程组
知识点1 二元一次方程组的解和两直线交点坐标的关系
1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 和
的图象交于一点，则关于, 的二元一次方程
组 的解是( )
B
A. B.
C. D.
已知是方程组的解，则函数 与
的图象的交点坐标为________.
2.如图，直线， 的交点坐标可以看作下列方程组的解的是
( )
A
A. B.
C. D.
知识点2 二元一次方程组解的情况与系数比的关系
3.已知直线与直线平行，则二元一次方程组 的解的
情况是( )
B
A.有唯一解 B.无解 C.有无数解 D.有有限个解
4. 既不解方程组也不画图，判断下列方程组的解的情况.（填“唯一解”
“无数解”或“无解”）
（1）方程组 ：______.
（2）方程组 ：________.
无解
无数解
5.（2025·安徽模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数
与 的图象如图所示，
则下列结论正确的是( )
D
A.随 的增大而增大
B.
C.当时，
D.关于，的方程组的解为
y
y-mx+n
y=kx+b
2
X
1
1如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b和
y=mx+n的图象交于一点，则关于x,y的二元一次方程
组-的深是(
15432
列2方
y
yi=ax+b
3
2
X
y,=mx+n
5.(2025·安徽模拟)在同一平面直角坐标系中，一次函数
y1=ax+b(a≠0)与y2=mx+n(m≠0)的图象如图所示，
则下列结论正确的是(
A.y2随x的增大而增大
B.n≤b
C.当x<2时，y1>y2
D.关于x,y的方程组
y=n的解为
三(共14张PPT)
第12章 函数与一次函数
练专题四 一次函数的应用——最值及方案优化问
题
类型1 最大利润问题
1.（10分）（2024·合肥期末）某商场计划购进甲、乙两种空调共50台，这两种空调的
进价、售价如下表所示.
类型 进价/（元/台） 售价/（元/台）
甲 2 300 2 800
乙 3 300 4 000
（1）若该商场此次进货共用去13万元，则这两种空调各购进多少台？
解：设购进甲空调台，购进乙空调 台.
根据题意，得
解得
答：购进甲空调35台，购进乙空调15台.
（2）若该商场规定每种空调至少购进10台，并且在当月全部销售完，应怎样进货才能
使该商场在销售完这批空调时获利最多？请求出最大利润.
解：设购进甲空调台，则购进乙空调 台.根据题意，得
解得 .
设获得的总利润为 元，则
.
因为 ，
所以随 的减小而增大.
因为，所以当时， 的值最大，
， （台）.
答：购进甲空调10台、乙空调40台才能使该商场在销售完这批空调时获利最多，最大
利润为33 000元.
类型2 最少花费问题
2.（10分）（2024·亳州期中）某县教育局在开学期间准备给当地的中小学添加A，B两
种型号的打印机，已知3台A型打印机和2台B型打印机共需要3 400元，1台A型打印机
和3台B型打印机共需要3 000元.
（1）求A,B型号的打印机单价.
解：设A型打印机的单价为元，B型打印机的单价为 元，
则解得
答：A型打印机的单价为600元，B型打印机的单价为800元.
（2）若该教育局需购买这两种型号的打印机共200台，且需要A型打印机不少于120台，
B型打印机不少于60台，平均每台打印机的运输费用为10元.设购买A型打印机 台，总
费用为 元.
①求与之间的函数关系式，并写出 的取值范围；
[答案] 因为购买A型打印机台，所以购买B型打印机台，总费用为 元.因为
需要A型打印机不少于120台，B型打印机不少于60台，
所以
解得 .
根据题意，得 ，
所以与之间的函数关系式为 .
②求出总费用最少的购买方案.
[答案] 因为在中，，所以随 的增大而减小，所
以当时，总费用最少，此时 ，所以当购买A型打印机140台，B型
打印机60台时，总费用最少.
类型3 最优方案问题
3.某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图,线段, 分别表
示每天生产成本（单位：元）、收入（单位：元）与产量单位： 之间的函数
关系.若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是____ .
30
4.（10分）某通信公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B
套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种.设A套餐每月话费为 （元），B套餐每
月话费为（元），月通话时间为 ．
（1）直接写出与,与 的函数表达式.
解：， .
（2）如果某用户使用A套餐,本月缴费60元，求他本月的通话时间.
解：因为该手机用户使用A套餐,且本月缴费60元，所以，解得 ，
所以他本月的通话时间为 .
（3）当某用户这个月的通话时间为 时，选择哪种套餐更划算？
解：当时，，，所以 .
所以当通话时间为 时，选择B套餐更划算.
5.（12分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的
进价每盒便宜10元，某商家用2 500元购进的肉粽和用2 000元购进的豆沙粽盒数相同.
（1）每盒肉粽的进价为______；每盒豆沙粽的进价为______.
50元
40元
（2）商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两
个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打八折.
B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打七折.
该商家计划购买豆沙粽礼盒盒，设去A厂家购买应付 元，
去B厂家购买应付 元，其函数图象如图所示.
①分别求出，与 之间的函数关系.
解：根据题意，得 .
当时， ；
当时， .
综上，；
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？
解：令，解得 .
根据函数图象可知,
当时， ；
当时， ；
当时， .
所以该商家购买豆沙粽礼盒的数量若少于75盒，从A厂家购买比较划算；若等于75盒，
从A和B两个厂家任选一家即可；若超过75盒，从B厂家购买比较划算.(共10张PPT)
12.1 函 数
第4课时 从函数图象获取信息
知识点1 用函数图象刻画实际问题
1.为了加强爱国主义教育，每周一学校都要举行庄严的升旗仪式，同学们凝视着匀速上
升的国旗.下列哪个函数图象能近似地刻画国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系( )
A
A. B. C. D.
2.如图，将水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入一个圆柱体的容器中，则
可以近似表示容器内水的高度和时间 的变化关系的图象是( )
B
A. B. C. D.
知识点2 由函数图象获取信息
3.一辆汽车油箱中剩余的油量单位：与已行驶的路程
单位： 的对应关系如图所示.如果这辆汽车每千米的耗油量
相同，那么当油箱中剩余的油量为 时，该汽车已行驶的路
程为( )
A
A. B. C. D.
4.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间 的关系如图所示,则下列说法正确
的是( )
B
A.甲、乙两人的速度相同 B.甲先到达终点
C.乙用的时间短 D.乙比甲跑的路程多
5.某地春季某一天的气温随时间的变化图象如图所示.
（1）最低气温是______，最高气温是_____.
（2）这一天最大温差是______.
6.（2025·铜陵模拟）明明从家出发去书店买书.当他走到一半路程时，突然发现忘记带
钱，于是他返回家中取钱后立即去书店，买好书后就开心地回家了.下面图象中能反映
明明活动情况的是( )
B
A. B. C. D.
7.（2024·淮南月考）甲、乙两辆汽车从地出发到
地，甲车提前出发，以 的速度匀速行驶一段
时间后，乙车出发，沿同一路线匀速行驶，设甲、
乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与
的关系如图所示.下列说法：①甲车提前 出发，乙
D
A.1 B.2 C.3 D.4
车出发后追上甲车；②乙车行驶的速度是；,两地相距 ；④甲车
比乙车晚到 .其中正确的个数是( )
8.（跨学科融合）小明听到弟弟诵读诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”时想到了
借助图象来大致刻画出诗句中的儿童从学校放学回家，再到田野放风筝这段时间内，
离家距离随时间变化的情况.
（1）下列图象中能大致刻画出这段时间儿童离家的距离与时间关系的是___；
D
A
B
C
D
（2）根据（1）中正确图象中的相关数据可知儿童家到学校的距离是_______ ，儿童
从家出发到田野所用的时间为____ .
1 200
10
9.（几何直观）小亮和爸爸上山游玩，小亮乘坐缆车，爸爸步行，两人相约在山顶的缆
车终点会合.已知爸爸行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小亮在爸爸
出发后才乘上缆车，缆车的平均速度为，设爸爸出发 后行走的
路程为.爸爸在整个行走过程中随 的变化关系图象如图所示.
（1）爸爸行走的总路程是_______ .
3 600
（2）爸爸在休息前的步行速度为____ ，休
息后的步行速度为____ .
65
55
（3）当小亮到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的
路程是_______ .
1 100
（4）如果爸爸中途不休息，且一直以开始时的速
爸爸
度爬山，那么______先到达山顶.（填“爸爸”或“小亮”）(共16张PPT)
12.2 一次函数
第6课时 一次函数与一元一次方程、一元一次不
等式
知识点1 一次函数与一元一次方程
1.一次函数的图象如图所示，则关于的方程 的解
为( )
C
A. B. C. D.
2.若关于的方程的解为，则直线 一定经过点( )
A
A. B. C. D.
3.（8分）如图，根据一次函数 的图象，直接写出
下列问题的答案.
（1）关于的方程 的解；
解： .
（2）当时，代数式 的值；
解：当时，代数式的值为 .
（3）关于的方程 的解.
解： .
知识点2 一次函数与一元一次不等式
4.（2024·亳州期末）一次函数的图象如图所示.当 时，
的取值范围为( )
D
A. B. C. D.
5.（2024·广东中考）已知不等式的解集是，则一次函数 的
图象大致是( )
B
A. B. C. D.
6.（8分）（2024·六安期末）如图，在给出的网格中画出一次函数 的图象，
并结合图象求：
解：画出一次函数图象如图所示.
（1）不等式 的解集；
[答案] 由图象可知，一次函数的图象与轴交于点， ，且自左向右是上
升的，所以不等式的解集是 .
（2）不等式 的解集.
[答案] 由图象可知，不等式的解集是 .
7.若不等式的解集是，则可能在一次函数 的图象上的点的坐
标是( )
B
A. B. C. D.
8.如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于， 两
点，点的坐标为，则不等式 的解集为( )
A
A. B. C. D.
9.已知关于的方程的解为，则一次函数的图象与 轴的交
点的坐标为______.
10.（10分）画出函数 的图象，结合图象：
解：当时， ，
当时， .
函数 的图象如图所示.
（1）求方程 的解；
[答案] 观察图象知，该函数图象经过点，故方程的解为 .
（2）求不等式 的解集；
[答案] 观察图象知，当时， ，
故不等式的解集为 .
（3）若，直接写出 的取值范围.
[答案] 当时，，解得；当时， ，解得
.
结合图象知，当时， .
11.（10分）（推理能力）一次函数和 的图象如图所示，且
， .
（1）由图象可知不等式 的解集是________；
（2）若不等式的解集是，求点 的坐标.
注:选择题每题4分，填空题每题5分.
解：因为点，在一次函数上，所以得
所以 .
因为不等式的解集是 ，
所以点 的横坐标是1.
当时， ，
所以点的坐标为 .(共8张PPT)
12.1 函 数
第1课时 变量与函数
知识点1 变量与常量
1.（2025·池州模拟）在圆的周长计算公式 中，对于变量和常量的说法正确的是
( )
B
A.2是常量，， ，是变量 B.2， 是常量，， 是变量
C.2，， 是常量，是变量 D.2， ，是常量， 是变量
知识点2 函数的概念
2.（8分）（跨学科融合）在物体自由下落的过程中，物体的高度与时间 之间的关系是
.在这个式子中，什么是常量，什么是变量？其中哪个变量是哪个变量的函数？
解：因为在物体自由下落的过程中，物体的高度随时间 的变化而变化，所以4.9是常
量，和是变量，其中是 的函数.
3.（10分） 下列问题中，变量是变量 的函数吗？请说明理由.
（1）一个非负数的算术平方根是 ；
解：，变量是变量 的函数.
（2）三角形的面积一定，它的一边长和这边上的高 ；
解：，变量是变量 的函数.
（3）圆的面积和它的直径 .
解：，变量是变量 的函数.
4.下列各式中，变量是变量 的函数的个数为( )
；；；； .
C
A.1 B.2 C.3 D.4
5.学校举行校园歌手大奖赛，参加决赛的6名选手最后取得的成绩如下表所示：
选手序号 1 2 3 4 5 6
成绩/分 97.7 98.4 96.5 97.3 96.5 98.1
下列的两个说法：①成绩是序号的函数.②序号是成绩的函数.说法正确的是____（填序号）.
①
6.（10分）电业部门每月都按时去居民家查电表，当月电表读数与上月电表读数的差就
是这段时间的用电量.小亮家上月初电表的读数为 ，本月初电表的读数为
.
（1）小亮家上月用电多少？
解：根据题意，得小亮家上月用电 .
（2）如果的电费为0.52元，全月的电费为 元，那么上月小亮家应缴电费是多少元？
解：根据题意,得 ，
所以上月小亮家应缴电费 元.
（3）在问题（2）中，哪些量是常量？哪些量是变量？ 是哪个变量的函数？
解：常量：，300；变量：，；是 的函数.(共21张PPT)
12.2 一次函数
第2课时 一次函数的图象
知识点1 一次函数的图象
1.一次函数 的图象大致是( )
B
A. B. C. D.
2.一次函数 的图象不经过( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.（8分）在同一平面直角坐标系中作出， 的图象.
解：列表表示当和 时两个函数的对应值,如下表：
0 1
2 4
3 2
描点、连线，如图所示.
知识点2 一次函数图象的平移
4.（2024·滁州期末）把直线 向下平移1个单位长度后，其直线对应的函数表达式
为( )
D
A. B. C. D.
5.若一次函数为常数的图象与直线平行，则 ____.
6.一次函数 向上平移3个单位长度，所得直线是函数____________的图象.
将直线向下平移5个单位长度，得到直线 ，则直线
对应的函数表达式为____________.
7.（8分）将直线向上平移2个单位长度后得到直线 .
（1）写出直线 对应的函数表达式;
解：直线对应的函数表达式为 .
（2）判断点是否在直线 上.
解：将代入，得，所以点 不在直
线 上.
知识点3 截距
8.下列关于截距的说法正确的是( )
D
A.截距一定是正数
B.截距一定是负数
C.截距是一次函数图象和 轴交点的坐标
D.截距是一次函数图象和 轴交点的纵坐标
9.直线经过点（0，____），因此在 轴上的截距是____.
10.直线在轴上的截距为，则 ____.
11.（8分）直线与直线平行，且在轴上的截距是 ，求直线
的表达式以及与 轴交点的坐标.
解：因为直线与平行，所以.又因为直线在 轴上的截距
为，所以，所以直线的表达式为 .
将代入，解得，所以直线与 轴的交点坐标为
， .
12.（2025·合肥模拟）一次函数的图象向上平移3个单位长度后，与 轴交
点的坐标为( )
A
A. B. C. D.
13.在平面直角坐标系中，若将一次函数 的图象向下平移2个单位长度后经过
点，则 的值为( )
A
A.4 B. C.0 D.2
14.直线与直线平行，则 ____.
15.（8分）已知函数 .
（1）画出这个函数的图象；
解：如图所示.
（2）分别写出这个函数的图象与轴、 轴的交点坐标；
解：函数的图象与轴、轴的交点坐标分别为，， .
（3）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.
解：此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为 .
16.（10分）（几何直观）如图，直线与轴、轴分别相交于点,.点 的坐
标为,点是直线 上的一点.
（1）求 的值；
解：把点的坐标代入,得 ,
解得,即的值为 .
（2）若的面积为6,求点 的坐标.
解：由（1），得直线对应的函数解析式为 .
设点 .
因为 ,
所以,即或 .
当时，即,解得,所以 ;
当时，即,解得,所以 .
故点的坐标为或 .(共18张PPT)
12.1 函 数
第2课时 列表法与解析法
知识点1 列表法
1.下面的表格为一个实验的统计数据，表示的是皮球从高处落下时，弹跳高度
单位：与下落高度单位： 的关系.下面能表示这种关系的式子是 ( )
50 80 100 150
25 40 50 75
C
A. B. C. D.
2.（跨学科融合）某兴趣小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的
一些数据，如下表所示，则下列说法正确的是( )
温度/ 0 10 20 30
声速/ 318 324 330 336 342 348
D
A.在这个变化中，自变量是声速
B.在一定范围内，温度越低，声速越快
C.当空气温度为时，声音可以传播
D.温度每升高，声速增加
知识点2 解析法
3.把一个长、宽的长方形的长减少，宽不变，长方形的面积为 ，
则用解析法表示与 之间的函数表达式为( )
B
A. B. C. D.
4.市场上一种豆子的价格是2元/，豆子的总售价（单位：元）与所售豆子的总质量
单位： 之间的函数表达式为_______.
知识点3 函数自变量的取值范围
5.（2024·六安期末）函数中，自变量 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
6.下列函数中，自变量的取值范围是 的函数是( )
B
A. B. C. D.
知识点4 求函数值
7.（8分） 当 时，求下列函数的函数值：
（1） ；
解：当时， .
（2） ；
解：当时， .
（3） ；
解：当时， .
（4） .
解：当时， .
8.（10分） 拖拉机开始工作时，油箱中有油，每小时耗油 .
（1）写出油箱中的余油量单位：与工作时间单位： 之间的函数关系式.
解：由题意可得，油箱中的余油量与工作时间之间的函数关系式是 .
（2）写出自变量 的取值范围.
解：当时，，得 ，
所以自变量的取值范围是 .
（3）拖拉机工作 后，油箱中的余油量是多少？
解：当时， ，
所以拖拉机工作后，油箱中的余油量是 .
（4）余油 时，拖拉机工作了几小时？
解：当时，，解得 ，
所以余油时，拖拉机工作了 .
9.根据如图所示的程序计算函数 的值，若
输入的的值为4时，输出的 的值为5.则输
入的值为3时，输出的 的值为( )
A
A. B.6 C. D.3
10.函数中，自变量 的取值范围是______.
易错点 确定自变量的取值范围时，忽略零指数幂底数不能为0而致错
函数中，自变量 的取值范围是_____________
_________________.
,且,且
11.（2024·宿州期中）八年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种
优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价
为15元的兴趣书本，则应付款（单位：元）与购买数量 （单位：本）的关
系式为_____________.
12.（10分）如图，梯形的上底，下底，高 .
（1）梯形的面积单位：与上底长单位： 之间的函数解析式为_____
_________.
（2）将表格补充完整.
1 2 3 4 5 6
_____ _____ _____ _____ _____ _____
130
135
140
145
150
155
（3）当时，等于多少 此时 表示的是什么
解：将代入，得 .
当，即时，点，重合，梯形变成或 ，所以此时
表示的是或 的面积.
13.（12分）（应用意识）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置.
排数 1 2 3 4 …
座位数 50 53 56 59 …
（1）按照上表所示的规律，当排数为6时，此时座位数为____.
（2）写出座位数与排数 之间的函数表达式：____________.
65
[解析] 由座位数随着排数增加的变化规律可得， .
故答案为 .
（3）按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由.
解：把代入，得 ，
解得 ，不符合题意，
所以不可能某一排有90个座位.
