(共21张PPT)
13.1 三角形中的边角关系
13.1.3 三角形中几条重要线段
知识点1 三角形的高
1. 下列各图中，能正确表示的边 上的高的是( )
D
A. B. C. D.
2.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
C
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
3.（10分）如图所示，，分别是的高，已知， .
（1）请画出的高和 ；
解：依题意，， 即为所求作的高，如图所示.
（2）求 的面积；
解：因为，，是 的高，
所以 .
（3）若，求 的长.
解：因为,是的高，且 ，所以
，所以 .
知识点2 三角形的角平分线
4.如图，， ，下列结论错误的是( )
D
A.是的角平分线 B.是 的角平分线
C. D.是 的角平分线
5.如图，为的角平分线，，交于点.若 ，则
____ .
50
知识点3 三角形的中线
6.三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
B
A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形
C.直角三角形 D.周长相等的三角形
7.如图，在中，若， ，
,均是的中线，则 的周长是( )
B
A.22 B.26 C.35 D.45
8.如图，在中，，分别是边，的中点，与相交于点，则点 是
的______，若，则 ___.
重心
3
9.如图，在中，点，，分别为，， 的中点，且阴影部分的面积为
，则____ .
64
10.如图，在中，，分别是边上的中线与高，若， 的面积
是6，则 的长是___.
3
易错点 忽略对高的位置的分类讨论而出错
11.已知是的高， ， ，则 的度数是_________.
或
12.在中，是的中点，，，用剪刀从点 入手进行裁剪.
（1）若沿 剪成两个三角形，则它们周长的差为___；
（2）若点在上，沿剪开，得到的两部分周长的差为2，则 的长为______.
4
1或3
13.（8分） 如图，已知钝角三角形 .（不必尺规作图）
（1）画出边上的中线 ；
解：如图所示.
（2）画出的角平分线 ；
解：如图所示.
（3）画出的边上的高 ；
解：如图所示.
（4）若，，求 的面积.
解： .
14.（14分）（几何直观）如图，在中，，分别是， 的平分线.
（1）若 ， ，则的度数是____；若 ，则 的
度数是____.
（2）探究与 之间的数量关系，并证明你的结论.
解： .
证明：因为，分别是， 的平分线，
所以， .
因为 , ,
所以
.(共19张PPT)
13.1 三角形中的边角关系
13.1.1 三角形中边的关系
知识点1 三角形的概念及相关元素
1.观察下列图形，其中是三角形的是( )
A
A. B. C. D.
2.（10分）如图所示.
（1）图中共有___个三角形，用符号分别表示为_____________
______________________________.其中以 为边的三角形有
_______________________；以 为一个内角的三角形有
________________.
5
，，，，
，，
，
（2） 的顶点分别为_______________；三个内角分别是
_________________________.
点、点、点
，，
（3）在中，的对边是____，的对角是_______;与 的公共
边是____，公共角是______________.
知识点2 三角形按边分类
3.三角形按边分类可分为( )
D
A.不等边三角形、等边三角形
B.等腰三角形、等边三角形
C.不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
D.不等边三角形、等腰三角形
4.手工课上，圆圆用长的彩绳围成了一个边长比为 的三角形.若按边分类，
则这个三角形是______三角形，它的腰长为______.
等腰
知识点3 三角形的三边关系
5. 用下列长度的三条线段，不能组成一个三角形的是( )
C
A.1，5，5 B.3，4，5 C.2，4，6 D.3，3，3
6.如图（示意图），为了估计池塘岸边， 两点之间的距离，小明在
该池塘的一侧选取一点，测得，，则， 两点
之间的距离可能是( )
C
A. B. C. D.
7.已知三角形的三边长分别为2，，13，若 为正整数，则这样的三角形有( )
B
A.2个 B.3个 C.5个 D.13个
8.若一个三角形的两边长分别是2和7，则
（1）这个三角形的第三边长 的取值范围是__________；
（2）当这个三角形的周长为奇数时，第三边长为______.
6或8
易错点 忽略腰、底的分类讨论而出错
9.（8分） 一个等腰三角形的周长为，其中一边长为 ，则
这个三角形另外两边的长分别是多少？
解：根据题意可知有两种情况：
①当腰长为，周长为 时，
底边长为 .
因为，， 能够组成一个三角形，
所以这个三角形另外两边的长分别是， .
②当底边为，周长为 时，
腰长为 .
因为，， 能够组成一个三角形，
所以这个三角形另外两边的长分别是， .
综上所述，这个三角形另外两边的长分别是，或， .
10.已知一个三角形的两边长分别是4和11，第三边长为，则 的取值范围在数轴
上表示正确的是( )
A
A. B.
C. D.
11.如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝放置在数轴上，点，对应的数分别为 ，5，从
点，两处将铁丝弯曲，两头对接，围成一个三角形，其中点对应的数为 ，则点
对应的数可能为( )
A
A.2 B.3 C.4 D.5
12.已知一个三角形的三边长分别是，，，其中和满足方程组 若这
个三角形的周长为整数，则这个三角形的周长是___.
9
13.已知一个三角形的三边长分别是4，， .
（1）满足条件的 的取值范围是__________；
（2）若这是一个等腰三角形，则 的值为___.
7
14.（10分）已知，，是 的三边长.
（1）___0，___0，___0.（填“ ”“ ”或“ ”）
（2）化简: .
解：因为，， ，
所以
.
15.（14分）（几何直观）
（1）如图①，为内任意一点，猜想可得到___.（填“ ”“ ”
或“ ”）
图①
（2）填空，试说明以上猜想：
如图②，延长交于点 .
由三角形中任意两边的和大于第三边，得
在中， _________，①
在中， _________，②
,得 ___________________，即___ .
图②
图③
（3）如图③，四边形是任意四边形，与交于点 .试说明
.
解：由三角形的三边关系可知，在中有 ，在
中有，在中有，在
中有 ，将以上不等式同侧相加，得
，即
，所以 .(共18张PPT)
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
第13章 章末复习
考点1 三角形的三边关系
1.以下列各组长度的线段为边，能组成三角形的是( )
D
A.，， B.，，
C.，， D.，，
2.（2024·马鞍山期中）若三角形的三边长分别为5，7，，则第三边长 的取值范围是
( )
C
A. B. C. D.
考点2 三角形的高、角平分线、中线
3.若将三角形纸片按照下面四种方式折叠，得到，则是 的高的是
( )
C
A. B. C. D.
4.如图，
（1）若是的中线，，则 ；
[答案] 6
（2）若是的角平分线，则________；若 ，则
____ ；
（3）若是的高，则 是______三角形.
53
直角
5.（10分）如图，为的中线，为 的中线.
（1）作图：在中作出边上的高，边上的高 .
解：如图所示，， 即为所求.
（2）若的面积为40，，则中,边上的高 为多少？
解：因为为的中线，为 的中线，
所以， ，
所以 .
因为的面积为40， ，
所以 ，
所以 ，
即中,边上的高 为4.
考点3 三角形中角的关系
6.在中，若 ，，则 ( )
A
A. B. C. D.
第7题图
7.（2024·安徽一模）如图， 的三个顶点在一组平行线上，
， .若 ，则 ( )
C
A. B. C. D.
8.如图，在中，高线，交于点.已知 ，
，则____ .
70
第8题图
9.如图，在锐角三角形中， ，将 的顶点放置在边上，使
的两边分别与边，交于点，（点不与点重合，点不与点 重合）.设
，.若 .
图①
图②
（1）如图①，当点与点重合， 时，____ .
（2）如图②，当点，均不与点重合时，____ .
30
90
考点4 命题与证明
10.（8分）“如果，那么 ”是真命题，还是假命题 如果是假命题，举一反例并
添加适当的条件使它变成真命题.
解：它是假命题.反例：如果，，那么与 无意义.
如果增加条件“ ”，那么它就可变成真命题.
11.（8分）如图，有三个论断：;; .请你从中任选两个
作为题设，另一个作为结论构成一个真命题，并证明该命题的正确性.
解：答案不唯一，以①②为题设，③为结论举例：
已知：，.求证： .
证明：如题图，因为， ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
又因为，所以 ，
所以 ，
所以 .
12.（14分）（综合与实践）【教材背景】教材第89页第1题求五角星形五个角的度数和
（如图①），我们求得 .爱动脑筋的小聪借助几何画
板将图①进行调整，得到图②、图③、图④三个图形，请你帮助小聪解决下列问题：
图①
图②
图③
图④
【初步观察】
（1）根据图②，直接写出,,,, 满足的关系式：_______________________
_____________.
【初步探究】
（2）如图③，点在上，求证： .
证明：如图，
因为 ， ，
所以， ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 .
【拓展探究】
（3）如图④，点在 上方，（2）中的结论是否仍成立？请作出辅助线，并说明理由.
解：（2）中的结论仍成立.作辅助线：如图，过点作交于点，交 于点
，转化为题图③即可求证.
理由如下：
因为,所以， .
因为 ，
所以 .
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 .(共9张PPT)
13.2 命题与证明
第4课时 三角形的外角
知识点1 三角形的外角
1.下列各图中，是 的一个外角的是( )
D
A. B. C. D.
2.如图，是_______的一个外角； 是_______的一个外角.
知识点2 三角形的外角的性质
3.如图，在中，是延长线上一点， ， ，则 的度数
为( )
B
第3题图
A. B. C. D.
第4题图
4.如图，在中，点，在射线上，则，， 之间
的大小关系为( )
D
A. B.
C. D.
5.一副三角尺按如图所示的方式放置，则 的度数为____.
知识点3 三角形的外角和为
6.（8分） 证明“三角形的外角和为 ”.
如图，,,是 的三个外角.
求证： .
证明：过点作射线，使 （图略）,
则， .
因为 ，
所以 .
7.如图，若 ，则 的度数为______.
第7题图
8.（2025·安徽模拟）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点 处，连接
，，平分，平分 .
第8题图
（1）若 ，则 的度数为____.
（2）若的度数为 ，的度数为 ，则 与 之间的数量关系是______
_________.注:选择题每题4分，填空题每题5分.
E
2
D
B
C
E
A
B
C
D
F
证明：过点A作射线AP,使AP/BD(图略
则∠CBF=∠PAB,∠ACD=∠EAP
因为∠BAE+∠PAB+∠EAP=360°
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=360
D
A
F
G
B
E
C
B
D
A
2
E
C
(1)若∠BA'C=120°，则∠BAC的度数为
(2)
若∠BA'C的度数为，∠1+∠2的度数为B,则a与B之间的数量关系是
注：选择题每题4分，填空题每题5分(共16张PPT)
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
练专题五 三角形与角度相关的常见模型
模型1A字模型及其变形
模型总结
如图，，分别是的边， 所在直线上的点，则
.
1.如图，在中， ，若 ，则 的度数为____.
第1题图
2.如图，是的边上一点，， ， ，则
的度数为____， 的度数为____.
第2题图
3.（8分）如图，在中， ，求
的大小.（用含 的式子表示）
解：因为 ，
所以 ，
所以
.
模型2 8字模型
模型总结
如图， .
4.（12分）如图①，已知线段，相交于点，连接， ，我们把这种图形称之
为“8字型”，试解答下列问题：
图①
图②
（1）写出图①中，，， 之间的等量关系：___________________.
（2）如图②，的平分线和的平分线相交于点，且与交于点, 与
交于点 .
①若 ， ，则____ ；
38
②探究与， 之间的等量关系，并说明理由.
解：因为的平分线和的平分线相交于点 ，
所以， .
由“8字型”，得， .
两等式相减，得 ，
所以 .
模型3飞镖模型
模型总结
如图， .
5.一零件示意图如图所示，按规定 ， ， ，判断这个零件
是否合格，只需检验的度数.某质检员量得 ，则这个零件________.
（填“合格”或“不合格”）
不合格
6.（8分）如图，在凹四边形中， ， ， ，求
的度数.
下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线 ；
方法二：延长交于点 ；
方法三：连接 .
请选择上述方法中的一种，求 的度数.
解：答案不唯一，以方法二为例：延长交于点 ，如图所示.
由三角形的外角的性质，得， ，
所以 .
7.（12分）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规，我们把这样的图形叫
作“规形图”.
图①
图②
图③
（1）观察“规形图”，试探究与，， 之间的关系，并说明理由.
解：.理由如下：如图，连接并延长到点 .
因为是 的一个外角，
所以 .
同理， ，
所以 ，
即 .
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图②，把一块直角三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边， 恰
好分别经过点，， ，则____ ；
36
图②
②如图③，平分，平分，若 ， ，请用含 和
的式子表示 的度数.
[答案] 由（1）中的结论可知， ，
所以 .
因为平分，平分 ，
所以， ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 .
因为 ， ，
所以 .
图③(共17张PPT)
13.1 三角形中的边角关系
13.1.2 三角形中角的关系
知识点1 三角形内角和定理
1.（2024·宿州期末）如图， 缺了一部分，若
， ，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
2.在中， ，则 等于( )
C
A. B. C. D.
3.（2024·湖南长沙中考）如图，在中， ， ， ，
则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
4.如图,将铅笔放置在的边上，笔尖方向为从点到点 的方向，把铅笔依次绕
点、点、点按逆时针方向旋转，， 的度数，观察笔尖方向的变化，这种
变化说明了______________________.
三角形内角和等于
5.如图所示，____ ，____ .
35
90
6. 在 中，
（1）若 ，，则_____ ；
（2）若， ，则____ .
108
20
知识点2 三角形按角分类
7.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡了，其中不能判断三角形类型的是( )
C
A. B. C. D.
8.若一个三角形中有一个角是 ，则这个三角形一定是( )
B
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.正（等边）三角形
9. 在中，如果，那么 是( )
A
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形
10.（8分） 如图，已知 ，，垂足是 .
（1）求 的度数；
解： .
（2）写出图中所有的直角三角形，并指出它们的斜边.
解：题图中的直角三角形有，，，它们的斜边分别是，， .
11.下列说法正确的是( )
A
A.三角形的内角中最多有一个直角 B.三角形的内角中最多有两个锐角
C.三角形的内角中最多有一个锐角 D.三角形的内角都大于
12.一副三角尺拼成的图案如图所示，其中 ，
， ，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
13.在中，交线段于点， ， ，则
____ .
79
14.（10分）如图，在中，点为边上的一点，点
为边上的一点， .
（1）若 ，求 的度数.
解：因为, ，
所以 .
（2）试说明： .
解：因为 ， ，
所以 .
又因为 ，
所以 .
15.（14分）（应用意识）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的
三角形被称为“三倍角三角形”.例如，三个内角分别为 ， ， 的三角形是
“三倍角三角形”.
（1）在中， ， ，
①_____ .
② 是“三倍角三角形”吗 为什么
解：是“三倍角三角形”.理由如下：因为 ， ，所以
,所以 是“三倍角三角形”.
（2）若是“三倍角三角形”，且 ，求 中最小内角的度数.
[答案] 因为 ，所以 .
设最小内角的度数为 .
①当时， ，满足题意；
②当最小内角的度数为 时，另外两个角的度数分别为 ，
，满足题意；
③当 时， ， ，不合题意，舍去.
综上所述，中最小内角的度数为 或 .(共8张PPT)
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
练专题六 三角形中内外角平分线的夹角模型
模型1 双内角平分线的夹角模型
模型总结
如图，，分别为的内角平分线，则 .
1.（10分）如图，在中，与的平分线交于点 ，琪琪在写作业时，发
现如下规律：
①当 时， ；
②当 时， ；
③当 时， .
（1）根据上述规律，若 ，则_____ ；
135
（2）请你用数学表达式归纳出与 之间的数量关系，并说明理由.
解： .理由如下：
在中， .
因为与的平分线交于点 ，
所以， ，
所以 ，
所以 .
模型2 内外角平分线的夹角模型分
模型总结
如图，，分别为的内角平分线、外角平分线，则 .
2.（10分）如图，在中，内角平分线和外角平分线相交于点 .
（1）若 ， ，则____ ;
25
（2）若 ，则____ ;
（3）根据以上计算过程，探究与 之间的数量关系.
45
解： .
模型3 双外角平分线夹角模型
模型总结
如图，，为的外角平分线，则 .
3.如图，,分别平分,，,分别平分的两个外角, .
（1）若 ，则____ ；
（2）无论的内角如何变化，和 的数量关系为________________.
32
1.（10分)如图，在△ABC中，∠ABC与ㄥACB的平分线交于点P,琪琪在写作业时，发
现如下规律：
①当∠A=50°时，∠P=115°：
②当∠A=60°时，∠P=120°
解：∠P=90°+号ㄥA理由如下：
2
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
因为ㄥABC与ㄥACB的平分线交于点P,
所以PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,
2
2
所以∠PBC+∠PCB=(24BC+∠ACB)=×(180°-∠A)=90°-∠A,
所以∠P=180°-(PBC+∠PCB)=180°-(90°-2∠A)
=90°+∠A
A
D
C
B
E
F
G(共10张PPT)
13.2 命题与证明
第2课时 定理与证明
知识点1 定理
1.下列属于定理的是( )
B
A.两点之间，线段最短 B.三角形中任意两边的和大于第三边
C.同位角相等，两直线平行 D.一个三角形中不能有两个直角
知识点2 推理与证明
2.下列语句中，能作为“三角形中任意两边的和大于第三边”的依据的是( )
A
A.两点之间，线段最短 B.三角形内角和为
C.同位角相等，两直线平行 D.垂线段最短
3.如图，下列推理中错误的是( )
D
A.因为，所以
B.因为，所以
C.因为，，所以
D.因为 ，所以
4. 补充完成下列证明，并填上推理的
依据.
已知：如图，,和互余，点,, 在同
一条直线上.
证明：因为 ，（已知）
所以 ，（____________）
所以 _____ .（补角的定义）
又因为与 互余，（已知）
所以 ____，（互余的定义）
所以 ，（__________）
所以 .（________________________）
垂直的定义
等量代换
内错角相等，两直线平行
求证： .
5.（10分）（2024·六安期中）
（1）补充完成下列证明，并填上推理的依据.
已知：如图，，，分别平分和 .
求证： .
证明：因为，分别平分和 ，（已知）
所以 _____， _____.（________________）
角平分线的定义
因为 ，（已知）
所以 ，（________________________）
所以 ，（__________）
所以 ，（等式的性质）
所以 .（________________________）
两直线平行，内错角相等
等量代换
内错角相等，两直线平行
（2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题.
解：两个互逆的真命题分别为两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行.
6.（10分） 如图，有下列条件： ; ;
，请以其中两个作为题设，另一个作为结论，写出一个真命题，并给予证明.
解：可由，， ，下面以最后一种情况举例说明.
已知：如题图，， .
求证： .
证明：因为 ，（已知）
所以 .（两直线平行，内错角相等）
因为 ，（已知）
所以 ，（两直线平行，同旁内角互补）
所以 .（等量代换）(共19张PPT)
13.2 命题与证明
第3课时 三角形内角和定理的证明及推论
知识点1 三角形内角和定理的证明
1.下列四种辅助线的作法中，不能用于证明“三角形的内角和等于 ”的是( )
B
A.①过点作
B.②作于点
C.③过上一点作，
D.④延长到点，过点作
2.数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于 .下面是
小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全说理过程.
如图①，的三个内角分别为,,.将和 撕下，按图②所示的方式摆拼，
使和的顶点均与的顶点重合，的一边与重合，的一边与 重合.
图①
图②
理由：由操作可知，所以 .（________________________）
同理， ，
所以____//____.
因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点，， 在同一条
直线上，
所以_____ ，
即________ ______.
内错角相等，两直线平行
180
知识点2 直角三角形的两锐角互余
3.在中， ，若 ，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
在中， ，若，则 的度数为____.
4.如图，在中， ，，则与
互余的角有( )
D
A. B.
C. D.和
5.如图，有一个与地面成 角的斜坡，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与地面垂
直时，它与斜坡所成的角____ .
60
6.如图，，，点在线段上，且， ，则
____ .
60
知识点3 有两个角互余的三角形是直角三角形
7.在中，，则 是( )
B
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
8.（8分）已知:如图AB//CD，与 的平分线相交于
点.求证： 为直角三角形.
证明：因为 ，
所以 .
因为与的平分线相交于点 ，
所以， ，
所以 .
由“有两个角互余的三角形是直角三角形”，得 为直角
三角形.
9.在下列条件中：，， ，
，，能确定 是直角三角形的有( )
B
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
易错点 忽略直角三角形中的直角顶点的不确定性导致漏解
10.如图，已知 ，点是射线上的一个动点，在点 的运动过程中，当
恰好是直角三角形时，此时 所有可能的度数为_________.
或
11.（12分）（2025·淮北模拟）如图，是的角平分线，点在上，交
于点， .
图①
图②
（1）如图①，若，则____ ；
63
（2）如图②，若， ，求 的度数.
解：因为，是的平分线， ,
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
12.（14分）（2025·安徽模拟）（几何直观）如图①，在 中，已知
，是边上的高线，是 的平分线.
图①
图②
（1）若 ， .
① 的度数为____；
②根据①的计算结果，可以猜想与和 之间的等量关系为____________
______________.（直接写出结论，不需要证明）
[解析] 猜想： .证明如下：
因为 ，
，
所以 .
故答案为 .
（2）如图②，若 是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由.
解：当 是钝角时，上述猜想仍然成立.理由如下：
设 ， .
根据三角形内角和定理，得 .
因为是 的平分线，
所以 .
因为是边上的高线，所以,,三点共线，所以 .
在中， ，
所以 ，
所以当 是钝角时，上述猜想的结论仍然成立.(共13张PPT)
13.2 命题与证明
第1课时 命 题
知识点1 定义
1.下列属于定义的是( )
D
A.两点确定一条直线 B.两直线平行，同位角相等
C.等角的补角相等 D.线段是直线上的两点和两点间的部分
2.等腰三角形的定义：有____________的三角形叫作等腰三角形.
两条边相等
知识点2 命题及真假命题
3.下列语句中，属于命题的是( )
A
A.两点之间，线段最短 B.庄子故里欢迎您
C.作线段 的垂线 D.你吃饭了吗
4.（2024·合肥期末）下列命题中，属于真命题的是( )
B
A.相等的角是对顶角 B.如果，那么
C.内错角相等 D.同旁内角互补
5.下列命题：①如果，那么 ；②如果两个角相等，那么这两个角为同位
角；③如果，那么；④如果与互补，那么 ，其中
假命题有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点3 命题的构成及改写
6.（2025·安徽模拟）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果……那么……”的
形式：________________________________________________________________.
如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行
7.填空：
（1）命题“平方相等的两实数相等”的条件是____________________，结论是________
_________，此命题是____（填“真”或“假”）命题；
（2）命题“一个钝角的补角小于这个角”的条件是______________，结论是__________
_______________，此命题是____（填“真”或“假”）命题.
两个实数的平方相等
这两个
实数相等
假
一个角是钝角
这个角的
补角小于这个角
真
知识点4 互逆命题及反例
8.下列说法正确的是( )
A
A.命题一定有逆命题 B.真命题的逆命题一定是真命题
C.假命题的逆命题一定是假命题 D.以上都对
9.对于命题“如果，那么 ”，能说明它属于假命题的反例是( )
A
A. B. C. D.
10.命题“如果，那么， 互为倒数”的逆命题是____________________________，
它的逆命题是____（填“真”或“假”）命题.
如果,互为倒数，那么
真
11.下列各图中，能说明“锐角 与锐角 的和是锐角”是假命题的是( )
C
A. B. C. D.
12.（8分）写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假，若是假命题，则举反例加以说明.
（1）一次函数，若， ，则它的图象不经过第四象限.
解：逆命题：如果一次函数的图象不经过第四象限，那么， .
逆命题是假命题.反例：当， 时，一次函数的图象也不经过第四象限.
（2）如果是的中点，那么 注:选择题每题4分，填空题每题5分.
解：逆命题：如果，那么是 的中点.
逆命题是假命题.反例：当点在的延长线上，且时，不是 的中点.
