(共22张PPT)
第14章 全等三角形
练专题八 构造全等三角形的常用辅助线
类型1 倍长中线法
遇到中线或中点时，可以考虑“倍长中线法”，即将中点处的线段延长一倍，根据“
”构造全等三角形.
图①
1.（14分）（2025·芜湖模拟）
【问题提出】
如图①，在中，，，求边上的中线 的取
值范围.
【问题解决】
经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 ，连接
，经过推理可知，
（1）由已知和作图得到 的理由是______________.
（2） 的取值范围为_ ___________.
边角边或
【问题应用】
（3）如图②，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点 ，
，求证： .
图②
证明：如图，延长到点，使，连接 .
在和中，
所以 ，
所以， .
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
类型2 截长补短法
（1）截长法：在长线段上取一段，使其等于其中一条短线段；
（2）补短法：①延长一条短线段，使延长部分等于另一条短线段;②延长一条短线段，
使其等于长线段.
2.（10分）如图，，平分，平分，点在 上.求证：
.
证明：如图，在上截取，连接 .
因为平分 ，
所以 .
在和中，
所以 ，
所以 .
因为，所以 .
因为 ，所以 .
因为平分，所以 .
在和中，
所以 ，
所以 ，
所以 .
3.（14分）【解决问题】
图①
（1）如图①，点,分别在正方形的边, 上，
，连接，则 ，试说明理由.
请将以下证明过程补充完整.
证明：延长到点，使 .
因为四边形是正方形，所以 , .
在与 中，
所以 .
进而可证， _______，
理由：_________________，
进而得 .
（或边角边）
【变式探究】
（2）如图②，四边形中，， ，点，分别在边，
上， .若，都不是直角，则当与 满足等量关系______________
_____时，仍有 .请证明你的猜想.
图②
证明：如图，延长至点，使 .
因为 ， ，
所以 .
在与 中，
所以 ，
所以, .
所以 .
因为 ，所以 .
在与 中，
所以 ，
所以 .
【拓展延伸】
（3）如图③，若， ， ，但 ，
，连接，请直接写出，， 之间的数量关系.
图③
[答案] .
如图，延长至点，使 .
在与 中，
所以 ，
所以, ，
所以 .
因为 ，
所以 .
在与 中，
所以 .
所以 .
类型3 利用角平分线构造全等三角形
4.（8分）如图，在四边形中，，.若平分 ，求证：
.
证明：如图，过点作于点，作交 的延长
线于点 ，
所以 .
因为平分 ，
所以 .
在和中,
所以，所以 .
在和 中，
因为， ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
5.（8分）如图，是的平分线，，垂足为点 .求证：
.
证明：如图，延长交于点 .
因为，所以 .
因为是 的平分线，
所以 .
又因为 ，
所以 ，
所以 .
因为 ，
所以 .(共19张PPT)
14.2.5 两个直角三角形全等的判定
第2课时 三角形全等的判定与性质的综合应用
知识点 三角形全等的判定与性质
第1题图
1.如图，以的顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交
，于点,，再分别以点,为圆心，大于 的长为半
径画弧，两弧交于点，作射线，则说明 的
依据是( )
B
A. B. C. D.
第2题图
2.（2024·芜湖期中）如图，已知 ，那么添加下列一个
条件后，仍无法判定 的是( )
B
A. B.
C. D.
3.已知的三边长及三个内角的度数如图所示，现要作一个与 全等的三角形，
下面是四位同学作出的图形.
（1）
（2）
（3）
（4）
其中符合条件的有( )
B
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.如图，已知，要使 .
第4题图
（1）若以“ ”为依据，则需添加的一个条件是_________;
（2）若以“ ”为依据，则需添加的一个条件是_________;
（3）若以“ ”为依据，则需添加的一个条件是__________________________.
或
5.如图，为中斜边上的一点，且，过点作的垂线，交 于
点，若，则的长为____ .
12
第5题图
6.（10分）如图，点，，，在一条直线上，，， .
（1）求证： ；
证明：因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
即 .
在和中，
所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）连接，若 ， ，求 的度数.
解：因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 .
7.如图，在中，点和点分别是和上一点，， ，
.若 ，则 ____.
第7题图
8.（2024·宣城期末）如图，在中，，，点在边 上，
，点，在线段上，，若的面积为2， 的
面积为24，则 的面积为____.
10
第8题图
9.如图，在中，平分，在射线上取一点，使 ，
.
（1） _______;
（2）若，，则 ___.
7
10.（12分）（2025·安徽模拟）如图，在 中，
，延长至点，过点作，使 ，连
接交于点 .
（1）求证： ；
证明：因为， ，
所以 .
在和中，
所以 ，
所以 .
（2）若是上一点，满足，连接，求证： .
[答案] 因为，所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 .
在和中，
所以 ，
所以 .
11.（14分）（2024·合肥期末）（几何直观）在中，，点, 分别是边
,上一点，连接,交于点 .
（1）如图①，点是上一点，连接，若，求证： .
图①
证明：因为，, ，
所以 ，
所以 .
又因为, ，
所以 ，
所以 .
在和 中，
所以 .
所以 .
（2）如图②，若 ，于点，交的延长线于点 ，若
，求证： .
图②
[答案] 在中，， ，
所以 .
因为 ，
所以 ， .
因为 ，
所以 ，
所以 .
又因为 ，
所以 .
在和中，
所以 .
所以 .
因为 ， ，
所以 .
在和 中，
所以 ，
所以，所以 .(共17张PPT)
14.2 三角形全等的判定
14.2.2 两角及其夹边分别相等的两个三角形
知识点1 利用“ASA”判定三角形全等
第1题图
1.如图，点，，，在同一直线上，， ，
如果根据“”判定 ，那么需要补充的条件是
( )
B
A. B. C. D.
2.如图，已知，为的中点，若，，则 ______.
第2题图
3.如图，
（1）如果，，那么就可以得到 ，其理论根据是_____
_____________;
（2）图中的隐含条件是____________.
（或角边角）
是公共角
4.（8分）如图，已知，， .
（1）求证： .
证明：因为 ，
所以 ，
所以 .
在和 中，
所以 .
（2）若 ，求 的度数.
解：如图，与交于点 .
因为， ，
所以 .
因为 ，
所以 .
知识点2 “ASA”的实际应用
5.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1，2，3，4），你认为
将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第___块去，
这利用了三角形全等中的_________________原理.
4
（或角边角）
6.（8分）某数学兴趣小组同学就“测量河两岸, 两点间的距离”这一问题，设计了如下
方案.#2
课题 测量河两岸, 两点间的距离
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量方案示 意图 ___________________________________________________________
课题 测量河两岸, 两点间的距离
测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点,, 在一条直线
上，且 ；
②测得 ， ；
③在的延长线上取点，使得 ；
④测得的长度为
续表
请你根据以上方案求出,两点间的距离 .#2.2
解：因为 ， ，
所以 ,
所以 .
在与中，
所以，所以 .
又因为，所以 .
第7题图
7.（2024·合肥期末）如图，的面积为， 平分
，于点，连接，则 的面积为( )
B
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，， ，则点
的坐标是_______.
第8题图
9.（10分）如图，已知和，点，在直线上，， ，
.
如图①，易证： .请解答下列问题：
图①
图②
图③
（1）如图②，图③，请猜想，， 之间的数量关系，并直接写出猜想结论；
解：题图②： ，
题图③： .
（2）请选择（1）中任意一个结论进行证明.
解：题图②：因为，， ，
所以 .
所以 .
所以 .
题图③：因为，，，所以 ，
所以 .
所以 .
10.（14分）（几何直观）如图，在中，，于点， 平分
，于点，且与相交于点 .求证：
（1） ;
证明：因为， ，
所以 .
因为 ，
所以 .
在和中，
所以 ，
所以 .
（2） .
[答案] 因为平分， ,
所以, .
在和中，
所以 ，
所以 .
由（1），知，所以 .(共17张PPT)
第14章 全等三角形
第14章 章末复习
考点1 全等三角形的性质
1.（2024·庐江月考）如图，，，， 三点在
同一条直线上，且，，则 的长为( )
B
A.4 B.5 C.6 D.8
2.如图，，线段的延长线过点，与线段交于点 ，
， ， ，则 的度数为____.
考点2 全等三角形的性质与判定
3.根据下列已知条件，不能唯一画出 的是( )
A
A.，， B.，，
C.，， D. ， ，
4.在和中有，，， ，
，，则下列各组条件中不能保证 的是( )
C
A.①②③ B.①②⑤ C.①②④ D.②⑤⑥
5.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则 ______.
第5题图
6.如图，在中，，为边上的中线，为边上一点，连接交
于点，连接 .
第6题图
（1）图中的全等三角形共有___对.
（2）若，且的面积为3，则 的面积为____.
3
20
7.如图，，与相交于点，.点从点 出发，沿
方向以的速度运动，同时点从点出发，沿方向以 的
速度运动，设点的运动时间为，当点回到点时，， 两点同时停止运动.
（1）的长为___ .
（2）连接，当线段经过点时， 的值为______.
8
2或4
8.（12分）（2024·阜阳月考）如图，中，为上一点，为 延长线上一点，
且，过点作于点，过点作交的延长线于点 ，且
，连接交于点 .求证：
（1） ；
证明：因为，，且， ，
所以 .
（2） .
[答案] 因为 ，
所以 .
在和中，
所以 ，
所以 ，
所以 .
又因为 ，
所以，即 .
考点3 全等三角形的实际应用
9.（8分）如图，某市新建了一个公园，在公园的湖心有一个小岛 ，管理人员打算从游
乐场处修建一条可以直接通往小岛的小路.为了估算成本，需要知道游乐场 与小岛
的距离，由于无法直接测量，工作人员设计了下列方案：画出 ，
，射线与射线交于点，测得，请你求出小路 的长度.
解：在和中，
所以 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
即小路的长度为 .
图①
10.（14分）（综合与实践）
【问题背景】如图①，在中，于点， ，点
在上，，连接 .
【初步认识】
（1）求证： .
证明：因为,所以 .在和 中，
所以 ，
所以 .
【继续探索】
（2）如图②，延长交于点，连接，求 的度数.
图②
图①
解：如图①，过点作于点，于点 .
因为 ，
所以， .
因为 ，
所以 .
因为， ,
所以 ，
所以 .
又因为， ，
所以 ，
所以 .
图②
【拓展延伸】
（3）如图③，过点作，，连接交于点，若 ，
，直接写出 的面积为____.
24
图③(共23张PPT)
第14章 全等三角形
14.1 全等三角形及其性质
知识点1 全等形、全等三角形及对应元素
1.下列各组图形中，全等的是( )
C
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
C
A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等
C.能够完全重合的两个三角形全等 D.周长相等的两个三角形全等
3.如图，，和是对应角，和是对应边，那么 的对应角
是_______，的对应角是_______，的对应边是_____， 的对应边是____.
4.（10分） 如图， ，写出这一对全等三角形中所有的
对应边和对应角.
解：与，与，与是对应边；与，与,与
是对应角.
知识点2 全等三角形的性质
5.已知图中的两个三角形全等，则 等于( )
D
A. B. C. D.
第6题图
6.（2024·合肥期末）如图，，若 ，
，则 的长为( )
C
A.4 B.5 C.6 D.7
7.如图，，在边上， ， ，则 ____.
第7题图
8.如图， .
（1）若的周长为24，，，则 ___.
（2）若 ，则 ____.
9
易错点 未分类讨论对应边而致错
9.一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，
，.若这两个三角形全等，则 ___.
3
10.如图，，点，，，在同一条直线上，， ，
，则 的长为___.
1
第10题图
11.如图，，边过点且平分交于点， ，
，则 的度数为____.
第11题图
12.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到 的方向
平移到的位置，， ，平移距离为6，则阴影部分面积为____.
48
13.（12分）如图，， ，，，交于点 ，
.
（1） 的度数为____.
（2）平行于 吗？说明理由.
解： .理由如下：
因为，所以 .
因为 ，
所以 .
所以 .
所以 .
（3）求 的度数.
解：因为，所以 .
因为，所以 .
所以 ,所以
.
14.（14分）（几何直观）（2024·安庆月考）在中， ， ，
，.现有一动点从点出发，沿着三角形的边 运
动，回到点时停止，速度为，设运动时间为 .
图①
（1）如图①，当时，___；当时，__________
（用含 的式子表示）.
6
（2）如图①，当的面积等于 的面积的一半时.
①若点在上，则____ ；
4.5
②若点在上，求 的值.
解：如图②，当点在中点时，的面积等于 面积的一半，
图①
图②
所以 .
所以 .
（3）如图②，在中, ，，，.在
的边上，若有一个动点，与点同时从点出发，沿着边 运动，回到点
时停止.若在两点运动过程中的某一时刻，恰好.求点 的运动速度.
图②
图③
[答案] 设点的运动速度为 .
①如图③,当点在上，点在上， 时，
， ，
所以，解得 .
图④
②如图④，当点在上，点在上， 时，
, ，
所以点运动的路程为，点 运动的路程为
，
所以，解得 .
所以点的运动速度为或 .(共16张PPT)
第14章 全等三角形
练专题七 全等三角形的基本模型
模型1 平移模型
模型总结
1.（8分）如图，已知点，在线段上， ，
，，求证： .
证明：因为 ,
所以，即 .
在与中，
所以 .
所以 ,
所以 .
模型2 对称模型
模型总结
共边BD
共边AC
对顶角
共角∠A
共角∠EAC
2.（8分）如图，是的中点，，.求证： .
证明：因为是 的中点，
所以 .
在和中，
所以 .
3.（10分）我们把两组邻边相等的四边形叫作“筝形”.如图，四边形 是一个筝形，
其中，.对角线，相交于点，， ，垂足分别
是，.求证： .
证明：因为在和中，
所以 ，
所以 .
又因为， ，
所以 .
在和 中，
所以 ，
所以 .
模型3 旋转模型
模型总结
共顶点：
不共顶点：
4.（10分）如图，在四边形中，对角线，交于点 ，
，点是上一点，且， .求
证： .
证明：因为 ，
所以 ，
即 .
在和中，
所以 ，
所以 .
5.（10分）如图，已知点，，，在直线上，点 ，
在异侧，连接，，且， ，
.
（1）求证： ；
证明：因为 ，
所以 .
在和中，
所以 .
（2）说明， 的关系.
解：因为 ，
所以 .
在和中，
所以 ，
所以， ，
所以 ，
即， .
模型4 一线三等角模型
模型总结
6.（14分）通过对数学模型“ 字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
任务1： 如图①， ，，过点作于点，过点 作
于点.求证： .
图①
证明：因为 ，
所以 .
因为， ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
在和 中，
所以 ，
所以 .
【模型应用】
任务2： 如图②，,且，,且 ，请按照图中所标注的
数据，计算图中实线所围成的图形的面积为____.
50
图②
【深入探究】
图③
任务3： 如图③， ，， ，连
接，，且于点，与直线交于点.若 ，
，则 的面积为____.
63(共19张PPT)
14.2 三角形全等的判定
14.2.4 其他判定两个三角形全等的条件
知识点1 不能判定三角形全等的条件
1.在和 中，下列条件不能判定这两个三角形全等的是( )
A
A.，，
B.，，
C.，，
D. ，，
2.已知在中，为上任意一点，若交于点，则与 的
三个角分别相等，但这两个三角形不全等，这说明当两个三角形满足________相等时，
这两个三角形不一定全等.
三个角
知识点2 用“ ”判定三角形全等
3.如图，点，，，在同一条直线上，，， ，则判定
与 全等的依据是( )
A
第3题图
A. B. C. D.
4. 如图，点，，，在同一条直线上，， ，要
使，且判定依据是“ ”，还需添加的一个条件是__________________
_______________.（填一个即可）
（答案不唯一）
第4题图
5.如图， ，.若 ，则____ .
20
6.如图，在中， ，，于点，于点 ，
，，则 的长是___.
4
7.（8分）（2024·合肥期末）如图，在中， 是三角形的
中线，点，在直线上，且，求证： .
证明：因为 ，
所以 .
因为 是中线，
所以 .
在和 中，
所以 ，
所以 .
8.（10分）（2025·安徽模拟）如图，，， 三点在同一直
线上，，， ，
（1）求证： .
证明：因为 ，
所以， .
因为，所以 .
在和中，
所以 ，
所以 .
（2）若 ，求 的度数.
解：因为 ，
所以 ，
所以 .
第9题图
9.（2024·蚌埠期末）如图，，是的高，相交于点 ，
若，，，则 的长为( )
A
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图，小丽坐在秋千的起始位置处， 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈
妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她.若妈妈与爸爸到 的水
平距离，分别为和， ，则 处距离地面的高度是( )
D
第10题图
A. B. C. D.
11.如图，，，若， ，则点 的坐标为_______.
第11题图
12.如图，在中，为中线，过点作，交的延长线于点，过点 作
于点.在的延长线上取一点，连接，使 .
第12题图
（1）若，则 ___；
（2） __.
2
13.（10分）如图，在与中，与交于点，且 ，
，分别延长与交于点，求证： .
证明：在和 中，
所以 .
所以 .
因为 ，
所以 .
在和中，
所以，所以 .
14.（14分）（几何直观）
【感知】 如图①，平分， ， ，易知：
_______.
图①
【探究】 如图②，平分， ， .
求证： .
图②
解：如图，过点作于点，，交 的延长线于
点，则 .
因为平分，， ，
所以 .
因为 ， ，
所以 .
在和中,
所以 ，
所以 .(共20张PPT)
14.2 三角形全等的判定
14.2.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形
知识点1 已知两边及其夹角作三角形
1.根据下列条件，能画出唯一 的是( )
A
A.，， B.，，
C. ， ， D.，，
知识点2 利用“SAS”判定三角形全等
第2题图
2.如图，和相交于点，若，用“ ”证明
还需( )
B
A. B.
C. D.
3.如图，，点，在上,且 .请你只添加一个条件，使得
.
第3题图
（1）你添加的条件是_________；
（2）依据所添条件，判定与 全等的理由是_________________.
（或边角边）
4.（8分）如图，点,,,在同一直线上， ，
，.求证： .
证明：因为，所以 ，
所以 .
因为，所以 .
在和中，
所以 ，
所以 ，
所以 .
知识点3 “SAS”的实际应用
5.如图，将两根长度相同的钢条,的中点连在一起，使,能绕点 自由转
动，这样就做成了一个测量工具，则的长等于内槽的长.判定 的
理由是_________________.
（或边角边）
6.（8分）【情境】如图，为了测量池塘两端， 之间的距离，在地面上选取可以直接
到达点和点的点，点，连接，，，，使平分， ，此
时测量出线段的长便是池塘两端， 之间的距离.
【论证】请你证明“情境”中的结论正确.
证明：因为平分 ，
所以 .
在和中,
所以 ,
所以 .
7.在中，，中线，则 边的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
8.如图，在中，是的外角平分线，是上异于 的任意一点，设
，，，，则与 的大小关系是( )
A
第8题图
A. B.
C. D.无法确定
第9题图
9.（2024·合肥期中）如图，在等边三角形中， ，则
等于( )
C
A. B. C. D.
10.如图①，在中， ，是高，是外一点， ，
，若，，，求 的面积.小颖思考后认为可以
在上截取,连接 （如图②）.根据小颖的提示，解决以下问题：
图①
图②
（1） _______；
（2） 的面积为____.
64
11.（10分）（2024·淮南期末）如图，在中，,分别是的高，在 上
取一点，使，在的延长线上取一点，使，连接与.判断
与 的关系并证明你的结论.
解：， .证明如下：
因为 ，
所以， ，
所以 .
在和中，
所以 ，
所以， .
又因为 ，
所以 ，
所以 .
12.（14分）（几何直观）在和中，， ，
.
【基础猜想】
（1）当点在上时，如图①所示，线段， 有怎样的数量关系和位置关系？并
说明理由.
图①
图①
解：， .理由如下：
延长交于点 ，如图①所示.
在和 中，
所以 ，
所以， .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以在中， ，
所以 .
综上所述，， .
【拓展延伸】
（2）当点 在如图②所示的位置时，请问（1）中的数量关系和位置关系是否还成立？
请说明理由.
图②
图②
解：（1）中的数量关系和位置关系还成立.理由如下：
延长交于点,交于点 ，如图②所示.
因为 ，
所以 ，
即 .
在和中，
所以 ，
所以， .
因为 ，
所以 .
因为， ，
所以 .
所以在中， ，
所以 ，
综上所述，， ，
所以（1）中的数量关系和位置关系还成立.(共19张PPT)
14.2.5 两个直角三角形全等的判定
第1课时 两个直角三角形全等的判定
知识点1 用“ ”判定直角三角形全等
第1题图
1.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已知左边滑梯的
高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定 与
全等的依据是( )
B
A. B. C. D.
2.如图，已知于点，，若以“”为依据，使
（不添加辅助线），则可添加条件_________.
第2题图
3.（8分）如图，在和 中，
，，点,,, 在同一条直线
上，且，求证： .
证明：因为 ，
所以，即 .
因为 ，
所以与 为直角三角形.
在和中，
所以 .
知识点2 全等三角形的判定 与性质的综合运用
4.下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是( )
B
A.两条直角边对应相等 B.两个锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等 D.有一个锐角及这个锐角的对边对应相等
第5题图
5.如图，，于点，于点， ，若
，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
第6题图
6.如图（示意图），嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点
（即跷跷板的中点）到地面的距离是 ，当淇淇从水平位置
垂直上升 时，嘉嘉离地面的高度是( )
D
A. B. C. D.
7.（10分）如图，点是线段的中点，在线段的同侧作， ，过
点作于点，过点作于点，已知 .求证：
（1） ；
证明：因为点是线段 的中点，
所以 .
因为， ，
所以 .
因为， ，
所以 .
在和中，
所以 ，
所以 .
（2） .
[答案] 因为 ，
所以 .
因为 ，
即 ，
所以 .
第8题图
8.如图，在和中， ，
， ，则下列说法不正确的是( )
D
A. B.
C. D.
第9题图
9.（2025·安徽模拟）如图，在中， ，
点在边上，，于点， .
若，，的面积是54，则 的长为
( )
B
A.13 B.15 C.16 D.18
易错点 分类讨论不全面导致漏解
10.如图， ，，，，点和点同时从点 出发，分
别在线段和射线上运动，且，当________时，以点，， 为顶点
的三角形与 全等.
10或20
第10题图
11.（2024·淮北月考）如图，在中， ，以为边作 ，满足
，点为上一点，连接，，交于点.若， ，
，则
第11题图
（1） ____；
（2） ____.
12.（14分）（几何直观）在平面直角坐标系中，已知 .
（1）如图①,点在轴的正半轴上运动，点在轴的正半轴上运动，且 .
图①
①求证： .
证明：如图，过点作轴于点，作轴于点 ，
所以 .
因为，所以 .
在和中，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
②求 的值.
解：因为 ，
所以 .
因为， ，
所以 .
（2）如图②,点在轴的正半轴上运动，点在轴的负半轴上运动，且 ，求
的值.
图②
解：如图，过点作轴于点，作轴于点 .
同理得 ，
所以 .
因为 ，
，
所以 ，
所以 .(共18张PPT)
14.2 三角形全等的判定
14.2.3 三边分别相等的两个三角形
知识点1 用“ ”判定三角形全等
1. 如图，下列三角形中，与 全等的是( )
C
A. B. C. D.
2.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明 的依
据是全等三角形的________相等，其全等的依据是_________________.
对应角
（或边边边）
第2题图
3.如图，，，要利用“”来判定和 全等，下面的4个条
件：，，， ，其中可利用的是________.
①或②
第3题图
4.（8分）（2024·淮北月考）如图，在中， ，
分别以，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点
，连接，，.求证： .
证明：由作图知 .
在和中，
所以 .
知识点2 三角形的稳定性
第5题图
5.如图，工人师傅做了一个长方形窗框，，，， 分别是四
条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应
钉在( )
A
A.，两点之间 B.， 两点之间
C.，两点之间 D.， 两点之间
6.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是
__________________.
三角形具有稳定性
第6题图
知识点3 “ ”的实际应用
7.（8分）（传统文化）放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞
子，纸鸢.小华制作的风筝骨架的示意图如图所示，其中， ，他发现
不仅平分，且平分 ，你觉得他的结论正确吗？请说明理由.
解：正确.理由如下：
在和中，
所以 ，
所以， ，
即不仅平分，且平分 ，
所以结论正确.
第8题图
8.如图，已知，， ，则图中全等三
角形共有( )
B
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
9.如图，，，， ， ，下列结论错误
的是____.（填序号）
④
第9题图
;; ； .
10.（8分）如图，已知是上一点，，， .
（1）求证： .
证明：因为， ，
所以 .
因为 ，
所以 .
在和中，
所以 ，
所以 .
（2）若 ，则 ____.
11.（8分）如图，在中，线段的端点位于平面直角坐标系的网格点上，点 的
坐标为 .
（1）请在平面直角坐标系中画出，使得与 全等.（画出所有可能
的三角形，点， 不重合）
解： 如图所示.
（2）直接写出点 的坐标.
解：点的坐标为或或 .
12.（14分）（几何直观）
【初步探索】
（1）如图①,在四边形中，， ，,分别是, 上
的点，且，探究图中,, 之间的数量关系.
图①
小明同学探究此问题的方法是延长到点，使.连接 ，
先证明，再证明 ，可得出结论，他的
结论应是______________________；
【灵活运用】
（2）如图②，若在四边形中，， ，,分别是,
上的点，且 ，上述结论是否仍然成立 请说明理由.
图②
解：成立.理由如下：
如图，延长到点，使，连接 .
因为 ， ，
所以 .
又因为， ,
所以 ，
所以， .
因为，， ,
所以 ，
所以 .
