(共19张PPT)
15.4 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质定理1及推论
知识点1 等腰三角形的性质定理1
1.为等腰三角形，， ，则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
2.如图，在中，， ，
，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
3.（2024·合肥期末）如图，在 中，
，若 ，则 的度数
为( )
C
A. B. C. D.
4.如图，， ，.则____ .
66
知识点2 等边三角形的性质
5.如图，直线，等边三角形的顶点在直线上， ，则 的度数为
( )
C
A. B. C. D.
6.如图，是等边三角形，，分别是，上的点，若 ，
,则____ .
40
7.（8分）如图，为等边三角形，点是线段 上的任意一点，
点是线段上的任意一点，且，直线与交于点 .
（1）求证： .
证明：因为 为等边三角形，
所以， .
因为，所以 .
又因为 ，
所以 .
（2） 的度数为____.
[解析] 由（1）得， ，
所以 .故答案 .
8.如图，直线，等边三角形的两个顶点， 分别落
在直线，上，若 ，则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
易错点 易漏掉一种情况而出错
9.（2024·安庆期末）若等腰三角形的一个外角是 ，则这个等腰三角形的顶角的度
数是_________.
或
10.如图，已知等边三角形纸片，点在边上，点在边上，沿 折叠，使点
落在边上的点，且，则 的度数为____.
11.（10分）如图，在中， ， ，
，试求 的度数.
解：因为， ，
所以设 ， ，
所以 ， .
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 .
因为 ，所以 .
12.（12分）如图，在中，，是上一点，连接，交于点 ，且
，若 ， ，试求 的度数.
解：如图，延长到点，使，连接 .
在和 中，
所以 ，
所以 ， .
又因为,所以 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
13.（14分）（推理能力）问题：如图，在 中，
，在的延长线上取点，，作 ，使
，若 ， ，求 的度数.
答案： .
思考：
（1）如果把“问题”中的条件“ ”去掉，其余条件不变，那么 的度数会改
变吗 说明理由.
解： 的度数不会改变.理由如下：
因为，所以 .
所以 .
因为，所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
所以 .
（2）如果把“问题”中的条件“ ”去掉，再将“ ”改为“
”，其余条件不变，求 的度数.
解：设 ，
则 ， ，
所以 .
因为，所以 .
所以 .
所以 ，
所以 .(共6张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
综合与实践 趋势统计图
项目 名称 中国 趋势分析及经济发展洞察
背景 材料 国内生产总值，简称 是指一个国家和地区所
有常住单位在一定时期内生产活动的全部最终成果，是国际上通行的用于衡量
一个国家（或地区）经济运行规模的宏观经济指标，其在政治、经济、外交、
研究等领域具有广泛应用.
小华所在的班级成立了 趋势探究小组，通过查阅资料、数据收集与分
析等活动，对我国未来经济趋势进行了建模分析，并期望可以提出合理化的建
议.
数据 收集 数学探究小组查阅了《中国统计年鉴》，截取我国2019年至2023年的 相关
数据.
数据分析
（1）如图，小华绘制了国内生产总值及人均国内生产总值的柱状图，描述2019年至
2023年的 的变化情况.
年我国国内生产总值及人均国内生产总值#1.1.1.1
[答案] 2019年至2023年的 呈平稳上升趋势.
函数建模
（2）已知2024年约为1 349 084亿元，根据 年的增长情况，计算我国
年平均增长率并预测2025年国内生产总值（结果保留一位小数）.
年国内生产总值及其增长率
[答案] 年的 年平均增长率
，
故预测2025年的为 （亿元）.
实际应用
（3）通过分析数据，你能对未来经济政策提出什么建议？
[答案] 继续推动科技创新和绿色转型；加大对新能源、半导体等关键领域的研发投入；
完善社会保障体系（医疗、教育），减少居民储蓄倾向；开拓多元化国际市场；加强
中西部基础设施投资，促进产业梯度转移.（合理即可）(共20张PPT)
15.3 角的平分线
第2课时 角平分线的性质及判定
知识点1 角平分线的性质
第1题图
1.如图，平分，， ，垂足分别为
，.若，则 ( )
B
A.2 B.3 C.1.5 D.2.5
第2题图
2.如图，是的平分线上一点，于点， 于
点 ，下列结论中不一定正确的是( )
D
A. B.
C. D.
3.如图，在中， ，平分，于点，， ，
则 的周长为___.
8
4.（8分）如图，已知在四边形中， ，平分， ，
，，求四边形 的面积.
解：如图，过点作，交的延长线于点 .
因为平分， ， ,
所以 ，
所以四边形的面积
.
知识点2 角平分线的判定
5.（2024·亳州期末）两个完全一样的三角板按照如图所示的方式摆放，使三角板的一
条直角边分别与的边，重合，它们的顶点重合于点，则点 一定在
( )
A
A.的平分线上 B. 边的高上
C.边的垂直平分线上 D. 边的中线上
6.如图， ，于点，于点，若，则 的度
数为____.
第6题图
7.如图，中， ， ，于点，且 ，则
____ .
27
第7题图
8.（8分）如图，是上一点，于点， 于
点，，分别是，上的点，且， .求
证：是 的平分线.
证明：在和 中，
所以 ，
所以 .
因为是上一点，， ，
所以是 的平分线.
知识点3 三角形的内角平分线的性质
9.如图，三条公路将，， 三个村庄连成一个三角形区域，如
果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的
距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是( )
C
A.三条高线的交点 B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点 D.不确定
10.如图，已知的周长是22，，分别平分和，于点 ，
且，则 的面积是____.
33
第11题图
11.如图，是的平分线，点是上一点，点 为直线
上的一个动点.若的面积为30，，则线段
的长不可能是( )
A
A.4 B.5 C.6 D.7
第12题图
12.如图，点是三条角平分线的交点， 的面积记
为，的面积记为，的面积记为，关于 ，
， 之间的大小关系，正确的是( )
C
A. B.
C. D.
13.（10分）如图，在中，点，，在边上，点在线段 上，若
，，点到和的距离相等，求证：点到和 的距离相等.
证明：如图，作于点，交于点，作于点 ，
交于点 .
因为，， ，
所以 .
因为 ，
所以， .
因为，所以 ，
所以， ，
所以，所以 ，
即点到和 的距离相等.
14.（14分）（运算能力）如图，中，点
在边上， ， 的平分线交
于点，过点作，垂足为 ，且
，连接 .
（1）求 的度数.
解：因为，所以 .
因为 ，
所以 .
因为， ，
所以 .
（2）求证：平分 .
证明：如图，过点作交于点 ，
交于点 .
因为 ， ，
所以 .
由（1）可知， ，
所以 ，
所以平分 .
因为， ，
所以 .
因为平分，， ，
所以 ，
所以 .
因为， ，
所以平分 .
（3）若，，，的面积是18，求 的面积.
解：因为 ，
所以 ，
所以 .
因为，， ，
所以 ，
所以，所以 .
因为 ，
所以 .(共8张PPT)
15.2 线段的垂直平分线
第2课时 线段垂直平分线的作法
知识点1 线段垂直平分线的画法
1.如图，已知线段，利用尺规作 的垂直平分线，步骤如下：
①分别以点，为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点和 .
②作直线.直线就是线段的垂直平分线.则 的长可能是
( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
2.（8分）尺规作图：如图，已知，作出边的垂直平分线，分别交，
于点， .（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图，直线 即为所求.
知识点2 三角形三边的垂直平分线
3. 如图，线段， 的垂直平分线相交于
点，则与 的关系是 ( )
B
A. B. C. D.
4.三角形草坪如图所示，现准备在该三角形草坪内种一棵树，使得该树到 三
个顶点的距离相等，则该树应种在 的( )
A
A.三条边的垂直平分线的交点处
B.三条高的交点处
C.三条中线的交点处
D.以上均不正确
5.已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使 ，则
符合要求的作图痕迹是( )
C
A. B. C. D.
6. 如图，将放在每个小正方形边长均为1的网格中，点 ，
，均落在格点上，若点的坐标为，点的坐标为，则到 三个
顶点距离相等的点的坐标为______.
7.（10分）如图，已知，请用尺规过点作一条直线，使其将 分成面积相
等的两部分.（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图，直线 即为所求.（答案不唯一）(共9张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
练专题十 利用轴对称解决最值问题
类型1 利用两点间线段最短求最值
1.直线是一条河，，是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向， 两地供
水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )
C
A. B. C. D.
2.如图，在中，的垂直平分线分别交边， 于点
，，点为上一动点，则 的最小值是线段( )
C
A.的长度 B.的长度 C.的长度 D. 的长度
3.如图，在平面直角坐标系中，点，，在轴上取一点，使点到点 和
点的距离之和最小，则点 的坐标是______.
4.（8分）如图，在中， ，，，， 垂直平分
，点为直线上的任一点，试求 周长的最小值.
解：如图，连接,设交于点 .
因为垂直平分，所以 .
所以的周长 ,
当点和点重合时，的值最小，最小值等于 的
长，
所以周长的最小值是 .
类型2 利用垂线段求最值
5.如图，点为线段上的动点，，以为边作等边三角形，以 为底边
作等腰三角形，连接,则 的最小值是___.
4
6.（10分）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分 ，
若,分别是,上的动点，试求 的最小值.
解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点 ，
作于点，所以 ,
所以 .
因为平分 ，
所以点在 上，
所以 ，
所以的最小值为 的长.
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 的最小值为6.(共9张PPT)
15.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质及判定
知识点1 线段垂直平分线的性质
第1题图
1.如图，是线段的垂直平分线，垂足为点，，是 上
两点.下列结论不一定正确的是( )
A
A. B. C. D.
2.（2024·黄山期末）如图，已知，，是线段 的垂直平分线，
则 的周长为( )
B
第2题图
A. B. C. D.
3.如图，在中， ，所在的直线是的垂直平分线，交 于点
，交于点， ，则 的度数为____.
4.（8分）如图，点在上，垂直平分，垂足为，垂直平分，垂足为 .
求证： .
证明：如图，连接.因为 垂直平分
，垂直平分，所以 ，
，所以 .
知识点2 线段垂直平分线的判定
5.如图，点是内的一点，若 ，则( )
D
A.点在的平分线上 B.点在 的平分线上
C.点在边的垂直平分线上 D.点在边 的垂直平分线上
6.如图，在中，边的垂直平分线交边于点，交边于点，若
的周长为24，与四边形的周长之差为12，则线段 的长为___.
6
7.（10分）如图，在四边形中，，为 的中点，连
接并延长，交的延长线于点 .
（1）求证： .
证明：因为 ，
所以 .
因为为的中点，所以 .
在和 中，
所以 ，
所以 .
（2）若，，当的长为多少时，点在线段 的垂直平分线上 为什么
解：当时，点在线段 的垂直平分线上.理由如下：
因为，， ，
所以 .
又因为， ，
所以 ，
所以点在线段 的垂直平分线上.(共19张PPT)
15.1 轴对称图形
第3课时 平面直角坐标系中的轴对称
知识点1 平面直角坐标系中点的轴对称
1.点关于 轴对称的点的坐标为( )
B
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，点关于 轴的对称点在( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
知识点2 平面直角坐标系中的轴对称作图
3.（8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是 ，
， .
（1）请画出关于轴对称的 .
解：如图①， 即为所求.
图①
（2）请画出关于轴对称的 .
解：如图②， 即为所求.
图②
4.如图，在的正方形网格中有四个格点，，， ，以其中一
个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其
余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是( )
D
A.点 B.点 C.点 D.点
5.已知点关于轴的对称点在第四象限，则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
6.已知点关于轴的对称点和点关于 轴的对称点相同，则点
关于 轴对称的点的坐标为( )
B
A. B. C. D.
7.如果点在轴上，那么点关于 轴对称的点的坐标是________.
8.如图，在平面直角坐标系中， ，，平分 ，点
关于 轴的对称点的坐标是________.
9.（12分）（2025·滁州模拟）在由小正方形组成的 网格中，建立如图所示的平
面直角坐标系，已知格点三角形 （顶点为网格线的交点）.
（1）将向右平移5个单位长度得到，画出 ；
解：如图， 即为所求.
（2）画出关于轴对称的 ；
解：如图， 即为所求.
（3）若点的坐标为，请写出经过上述两种图形变换后的对应点 的坐标.
解： .
10.（12分）（推理能力）如图，在平面直角坐标系中，对 进行循环往复的轴对
称变换，点坐标是 .
（1）经过第6次变换后，写出点 的对应点的坐标.
解：因为点第1次关于 轴对称后在第四象限，
点第2次关于 轴对称后在第三象限，
点第3次关于 轴对称后在第二象限，
点第4次关于轴对称后在第一象限，即点 回到原始位置，
所以每4次轴对称为一个循环组依次循环，
所以第6次变换后与第2次变换后的点相同，在第三象限，坐标为 .
（2）经过第2 026次变换后，写出点 的对应点的坐标.
解：因为 ，所以经过第2 026次变换后与第2次变换后的位置相
同，在第三象限，坐标为 .
11.（14分）（创新意识）（新定义题）在平面直角坐标系中，经过点 且平行于
轴的直线记作直线.给出如下定义：将点关于轴的对称点记作点 ，再
将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线
的“青一对称点”.例如：点关于轴和直线的“青一对称点”为点 .
（1）点关于轴和直线的“青一对称点” 的坐标是_________.
（2）点关于轴和直线的“青一对称点”的坐标是 ，求
和 的值.
解：因为点关于轴和直线的“青一对称点”的坐标是 ，
所以解得
（3）若点关于轴和直线的“青一对称点” 在第二象限，且满足
条件的的整数解有且只有一个，求 的取值范围.注:选择题每题4分，填空题每题5分.
解：点关于轴和直线的“青一对称点” 为
.因为在第二象限，所以， ，所以
，.因为满足条件的的整数解有且只有一个，所以 ，解得
.(共9张PPT)
15.3 角的平分线
第1课时 角平分线的作法
知识点1 角平分线的画法
第1题图
1.如图，用尺规作已知角的平分线，其根据是构造两个三角
形全等，它所用到的判别方法是( )
D
A. B. C. D.
第2题图
2.阅读以下作图步骤：①在和上分别截取， ，使
；②分别以，为圆心，以大于 的长为半径作弧，
两弧在内交于点；③作射线，连接， ，如图
所示.根据以上作图，一定可以推得的结论是( )
A
A.且 B.且
C.且 D.且
3.（8分）如图，已知：.求作： 的补角的平分线.
解：如图所示，先反向延长射线至点，得到的补角 ，用尺规作已知角
的平分线的方法，作出的平分线.OD就是 的补角的平分线.
知识点2 过一点作已知直线的垂线
4.（8分）如图，请你在各图中，过点画出射线或线段 的垂线.（不写作法，保留
作图痕迹）
图①
图②
图③
解：如图所示.
图①
图②
图③
5.如图，在中，，按如下步骤作图：①以点 为圆心，任意长为半径
画弧，交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，
两弧相交于点；③作射线，交于点.若 ，则 的度数为____.
6.（8分） 已知：线段，如图.求作：，使 ，
， .（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图所示， 即为所求.
7.（10分）请用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
已知： .
求作：点，使，且点在边 的高上.
解：如图，点 为所求.(共11张PPT)
15.1 轴对称图形
第1课时 轴对称图形
知识点1 轴对称图形的概念
1.（2024·六安期末）下面四幅作品是某设计公司为学校文化墙设计的体育运动简笔画，
其中轴对称图形是( )
A
A. B. C. D.
2.（2024·池州期末）下列图形中轴对称图形的个数为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
知识点2 对称轴的确定
3.长方形是轴对称图形，它的对称轴有( )
B
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
4.下列图形中只有一条对称轴的是( )
D
A. B. C. D.
5.（8分）下列图形是轴对称图形吗？若是，请画出对称轴.
解：它们均为轴对称图形，对称轴如图所示.
6.（2025·亳州模拟）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是( )
D
A. B. C. D.
7.下列图形中，对称轴最多的是( )
D
A. B. C. D.
8.（2024·芜湖期中）如图，在 的正方形网格中，有2个白色小正
方形被涂成灰色，若要从剩余的白色小正方形中选出一个涂成灰色，
使得3个灰色小正方形构成轴对称图形，则涂色方案共有( )
D
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
9.（跨学科融合）26个大写英文字母中，共有____个可以看成轴对称图形.
16
10.（12分）（几何直观）如图，为了美化环境，需在一块正方形空地上分别种植四种
不同的花草，现将这块地按下列要求分成四块：
（1）分割后的整个图形必须是轴对称图形；
（2）四块图形形状相同；
（3）四块图形面积相等.
请按照上述要求，分别在三个正方形中给出三种不同的分割方法.（只要求正确画图，
不写画法）
解：如图所示.（答案不唯一）(共21张PPT)
15.4 等腰三角形
第3课时 等腰（边）三角形的判定
知识点1 等腰三角形的判定
1.在中， ， ，则这个三角形是( )
C
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
2.如图， 为两个直角三角板的公共顶点，
，则图中等腰三角形共有( )
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点2 等边三角形的判定
3.已知，，为的三个内角，且，则 的形状是
( )
B
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
4.如图，能推出 是等边三角形的是( )
C
A.
B.，
C.，，
D.，
5.（2024·宿州月考）若等腰三角形的腰长为，顶角为 ，则这个等腰三角形的周
长为____.
7.5
6.（8分）如图，在四边形中，， 的平
分线与的延长线交于点， .求证： 为等
边三角形.
证明：因为，所以 .
因为的平分线与的延长线交于点 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
所以 为等边三角形.
知识点3 含 角的直角三角形的性质
7.在中， ， ，，则 边上的高的长度为( )
B
A.1 B.2 C.4 D.
8.如图，在中， ，若，，则 的长为____.
10
第9题图
9.如图，在中，和的平分线交于点，过点
作交于点，交于点.若， ，则
线段 的长为( )
B
A.6 B.7 C.8 D.9
第10题图
10.（2024·安庆期末）如图，在中，， ，
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，连接 .若
，，则 的周长是( )
B
A. B. C. D.
11.如图，在中，平分，，，若， ，
则 的长为____.
25
12.（8分）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东 方向的 处，它以每小时40海里的
速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔的北偏东 方向的处，求 处与灯塔
的距离.
解：如图，由题意，得， （海里），
所以 ， ，
所以 ，
所以，所以 海里，
所以处与灯塔 的距离为80海里.
13.（12分）如图，在等边三角形中，与 的平
分线相交于点，且， .
（1）试判断 的形状，并说明理由.
解： 是等边三角形.
理由：因为 是等边三角形，
所以 .
因为， ，
所以 ， .
所以 ,
所以 ,
所以 是等边三角形.
（2）线段，， 三者有什么数量关系 写出你的判断过程.
解：因为平分，且 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
所以 .
所以 .
同理， .
由（1）,知,所以 .
14.（14分）（几何直观）如图，在中， ， ，
，，,是边上的两个动点，其中点从点 开始沿
方向运动，且速度为，点从点开始沿 方向运动，且速度为
，,两点同时出发，当点运动到点时两点停止运动，设运动时间为 .
（1）_________（用含 的式子表示）.
（2）当点在边 上运动时，
①出发几秒后， 是等腰三角形？
解：当点在边上运动，为等腰三角形时，，解得 ，
所以出发后， 为等腰三角形.
②通过计算说明能否把 的周长平分.
解：当点在边上时， ，如图所示.
因为， ，
所以， .
因为把 的周长平分，
所以 ，
解得 ，不符合题意，舍去，
所以点在边上运动时,不能把 的周长平分.
（3）当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时 的值.
图①
[答案] ①当是以为底边的等腰三角形时, ，
如图①所示，
则 .
因为 ，
所以 , ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
图②
②当是以为底边的等腰三角形时, ，如图
②所示，
则，所以 .
综上所述，当为11或12时，是以或 为底边的等
腰三角形.(共19张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
练专题十一 构造等腰三角形的常见方法
方法1 作平行线构造等腰三角形
方法指导#1
方式1 作底边的平行线
_________________________________________________________________________________________
条件：， .
结论：
方式2 作腰的平行线
______________________________________________________________________________________
条件：， .
结论：
续表
1.（10分）如图，过等边三角形的边上一点，作于点，为 延长
线上一点，且，连接交边于点.求证： .
证明：如图，过点作交于点 ，
所以，， .
因为 为等边三角形，
所以 ，
所以 ，
所以 ,
所以 是等边三角形.
所以 .
因为 ，
所以，所以 ，
所以 .
方法2 通过二倍角构造等腰三角形
方法指导#1
方式1 外构等腰
____________________________________________________________
条件： .
作法：延长到点,使 .
结论：
方式2 内构等腰
__________________________________________________________
条件： .
作法：作 .
结论：
续表
方式3 作角平分线
________________________________________________________________
条件： .
作法：作平分 .
结论：
续表
2.（10分）如图，在中，是的高，，， ，求
的长.
解：如图，在线段上截取，连接 .
因为， ,
所以是 的垂直平分线，
所以 ，
所以 .
因为，所以 .
又因为 ，
所以 ，
所以 .
因为，，所以 ，
所以 .
方法3 倍长中线法构造等腰三角形
方法指导#1
方式1 角平分线 中点
_______________________________
条件：， .
作法：延长到点,使,连接 .
结论：
方式2 等腰 中点
__________________________________________
条件：， .
作法：延长到点,使,连接 .
结论：
续表
3.（10分）如图，，，此时 成立吗？请说明理由.
解： 成立.
理由：延长至点，使，连接 ，如图所示.
在和 中，
所以 ，
所以， .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
方法4 截长补短法构造等腰三角形
方法指导#1
方式1 角平分线 截长
_____________________________________________________________
条件：， .
作法：在上取点,使，连接 .
结论：
方式2 角平分线 补短
___________________________________________________________
条件：， .
作法：延长到点,使,连接 .
结论：
续表
4.（10分）如图，在中，平分交于点，且 ，求证：
.
证明：如图，在上截取，连接 .
因为平分 ，
所以 .
在和 中，
所以 ，
所以， .
又因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .(共10张PPT)
15.1 轴对称图形
第2课时 轴对称
知识点1 轴对称及线段垂直平分线的概念
1.下列选项中的两个图案成轴对称的是( )
D
A. B. C. D.
2.如图，直线是线段的垂直平分线.已知，直线与线段交于点 ，则
___ .
3
知识点2 轴对称的性质
第3题图
3.如图，与关于直线对称，连接交直线于点 ，
下列结论不一定正确的是( )
C
A. B.
C. D. 直线
4.如图，与关于直线对称， ，则
第4题图
（1）___ ；
（2）____， ______.
3
知识点3 轴对称作图
5.（8分）如图，在方格纸中，画出关于直线对称的图形 .
解：如图所示， 即为所求.
6.（2025·合肥模拟）在中，将， 按如图所示的方式
折叠，点，均落在边上的点处，线段， 为折痕.若
，则 的度数为( )
D
A. B. C. D.
7.（跨学科融合）下面的图案均可看作由一个大写英文字母经过适当变换得到的.通过
找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上画出恰当的图形.
____ .
8.（综合与实践）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其示数如
图所示，则电子表的实际时刻是________.
10：21
9.（12分）如图，点是外的一点，点与点关于对称，点
与点关于对称，直线分别交，于点，，连接 ，
，， .
（1）若 ，则 的度数为______；
（2）若，，，求 的长.
解：因为点与点关于对称，点与点关于对称， ，
所以，，所以 ，
所以，解得，所以 .(共28张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
第15章 章末复习
考点1 轴对称与轴对称图形
1.（2024·合肥期末）数学中有许多精美的曲线，以下是“科克曲线”“黄金螺旋线”“三叶
玫瑰线”和“笛卡儿心形线”，其中不是轴对称图形的是( )
B
A. B. C. D.
2.如图，和关于直线 对称.
（1）若 ， ，则 的度数为______；
（2）若，，则 的取值范围为_____________.
3.（8分）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1.
（1）过直线作四边形的对称图形 ；
解：如图，四边形 即为所求.
（2）四边形 的面积为___.
6
4.（10分）（2024·阜阳期末）如图，，点关于的对称点恰好落在
上， ，为的边上的中线，试求 的度数.
解：因为点与点关于 对称，
所以，， .
因为，所以 .
因为是 的中线，
所以， ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 .
考点2 平面直角坐标系中的轴对称
5.在平面直角坐标系中，点关于 轴对称的点的坐标为( )
A
A. B. C. D.
6.（2025·马鞍山模拟）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作
品体现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其
放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于
轴对称的点的坐标为，那么 的值为( )
D
A. B. C.0 D.1
7.（8分）（2024·亳州期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为
1，的顶点都在网格线的交点上，点的坐标为，点的坐标为 .
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，并写出点关于轴的对称点 的坐标；
解：建立平面直角坐标系如图所示.点关于轴的对称点的坐标为 .
（2）画出关于轴的对称图形 .
解：如图， 即为所求.
考点3 线段垂直平分线的性质与判定
8.（2024·合肥期末）如图，在中，， 分别垂
直平分和，垂足为，，且分别交于点， .若
，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
9.（8分）如图，在四边形中，，边的垂直平分线经过点 .求证：
点在 的垂直平分线上.
证明：如图，连接 .
因为垂直平分 ，
所以 .
又因为，所以 ，
所以点在 的垂直平分线上.
10.（10分）（2024·宿州期末）如图，在 中，
， .
（1）尺规作图：①作边的垂直平分线交, 于点
, ；
解：如图，直线，射线 即为所求.
②连接，作的平分线交于点 .（要求：保留
作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求 的度数.
解：因为垂直平分线段 ，
所以，所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 .
因为平分 ，
所以 .
考点4 角的平分线的性质与判定
11.如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，
记两把直尺的接触点为点 .其中一把直尺边缘恰好和射
线重合，而另一把直尺的下边缘与射线 重合，上
边缘与射线交于点，连接.若 ，则
的大小为( )
B
A. B. C. D.
12.如图，在中， ，，，平分 ，则点
到的距离等于___ .
3
13.在中，是边上的点（不与点，重合），连接 .
（1）如图①，是的平分线.若，，则 _____；
（用含， 的式子表示）
图①
图②
（2）如图②，平分，延长到点，使得 ，连
接.若，，，则 的面积为____.
16
考点5 等腰（边）三角形的性质与判定
14.如图，在中， ，为 的中
点，连接，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
15.（2024·安庆期末）如图，在中， ， ，斜边 的垂直平
分线交于点，交于点，，则 的长度为( )
A
A. B. C. D.
16.（2024·芜湖月考）如图，为等边三角形，为延长线上一点，作
交的延长线于点.若，，则 的长为___.
3
17.（14分）（综合与实践）综合与实践：
【问题情境】
已知在中， ，，点为直线 上的动点
（不与点，重合），点在直线上，且，设 .
【初步尝试】
（1）如图①，若点在边上，当 时，求和 的度数.
图①
解： .因为在中， ，
，所以 ，所以
.因为，所以 .因为
，所以 ，所以
.
【拓广探索】
图②
（2）如图②，当点运动到点 的左侧时，其他条件不变，试
猜想和 的数量关系，并说明理由.
解： .理由如下：
在中， ，所以 .在
中， ，
所以.因为 ，所以
.因为
， ，所以 ，
所以 .
（3）如图③，当点运动到点的右侧时，其他条件不变，请求出和 的数
量关系.
图③
解：在中， ，
所以 ，
所以 .
在中，， ,
所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ， ，
所以，所以 .(共6张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
综合与实践 天安门广场的升旗时刻
活动 名称 天安门广场的升旗时刻规律探究
背景 材料 天安门广场国旗升降时刻分别是在天安门广场看到太阳升起和落下的时刻.
天安门广场国旗升降时刻是按照天安门广场所在地点的经纬度，计算出太阳每
天升起和落下时刻所确定，寓意伟大祖国与日同辉、繁荣昌盛.
淇淇所在的数学兴趣小组为探究天安门广场升旗时刻的变化规律，通过查
阅资料、数据收集与分析等活动，运用函数等数学知识进行了建模分析.
数据 收集 数学兴趣小组为了研究天安门广场的升旗时刻存在的规律，查阅了2024年
5月1日—5月14日的天安门广场升旗时刻表.
_____________________________________________________________________________________________
数据分析
（1）根据表中的数据推测5月15H的升旗时刻为_______,5月31H的升旗时刻为_______.
4：59
4：43
函数建模
（2）淇淇通过观察发现大多数的升旗时刻都比前一天晚 ，据此淇淇建立了每天
的日期与对应升旗时刻的函数关系，设日期为变量（规定5月1日时， 随天数的
增加而增加，为整数），升旗时刻的分钟数为变量（规定5：01时， 随时间的
递减而递减， 为整数），则选取5月8日至5月14日的数据，请表示出它们之间的函数
关系式.
[答案] 设函数关系式为 .
将，和， 分别代入，得
解得， ，
则函数关系式为（， 均为整数）.
实际应用
（3）根据日期与对应升旗时刻的函数关系式，计算5月15日的升旗时刻为_______，5
月31日的升旗时刻为_______，与你的推测是否符合？
4：59
4：43
[答案] 符合.
（4）淇淇能根据函数关系推测出2025年5月1日的升旗时刻吗？若不能，应该怎么预测？
[答案] 不能.可以根据同年的数据来推测2025年5月1日的升旗时刻.(共11张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
练专题十二 等腰三角形中的手拉手模型
模型1 共顶点的等腰三角形
1.（10分）如图，，都是等腰直角三角形， ，判断
与 的关系，并说明理由.
解：， .理由如下：
因为， 都是等腰直角三角形，
所以，， ，
所以，即 .
在和中，
所以 ，
所以， .
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
所以， .
2.（10分）如图，和均为等腰三角形，点，，
在同一直线上，连接 ，若
.
（1）求证： .
证明：因为 ，
所以，， ，
所以 .
在和 中，
所以，所以 .
（2）求 的度数.
解：设与交于点 ，如图.
因为，所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 .
模型2 共顶点的等边三角形
3.（10分）如图，，都是等边三角形，与相交于点.求 的度数.
解：因为与 都是等边三角形，
所以，， ， ，
所以 ，
即 .
在和中，
所以 ，
所以 .所以
4.（12分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段 为边在第四象限
内作等边三角形，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段 为边在
第四象限内作等边三角形，连接并延长，交轴于点 .
（1）与 全等吗？判断并证明你的结论；
解： .
证明：因为， 都是等边三角形，
所以，， ，
所以 .
在和中，
所以 .
（2）当点运动到什么位置时，以，， 为顶点的三角形是等腰三角形？
解：由（1）可得 ，
所以 .
又因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，和 是腰.
因为在中，， ，
所以 ，
所以，所以 ，
所以当点的坐标为时，以，， 为顶点的三角形是等腰三角形.(共6张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
综合与实践 绘制校园平面地图
活动一： 绘制校园平面地图
背景材料：学习了如何绘制校园平面地图后，嘉嘉、淇淇和小华决定实地测量，绘制
一幅详细的校园平面地图并深入探究，给即将到来的新同学圆圆介绍美丽的校园.
准备工具：测距仪，米尺，测角仪.
活动过程：经过测量，学校的长度是，宽度是 ，嘉嘉将学校平面地图设计
为长为，宽为 的平面地图.
探究问题：他们绘制的校园平面地图（缩略图）如图所示，根据信息完成任务.
任务一： 嘉嘉制定的比例尺是多少？若操场在平面地图上的长度是 ，则操场的
实际长度是多少？
[答案] 嘉嘉制定的比例尺是.操场的实际长度是 .
任务二： 经测量，体育馆在博学楼的西偏北 方向 处，若以博学楼为中心应当
怎样向圆圆介绍体育馆的位置？
[答案] 体育馆在博学楼的西偏北 方向 处.
活动二： 会用坐标系确定位置
拓展延伸：嘉嘉发现若以博学楼为中心建立平面直角坐标系，可以将校园建筑在坐标
系中标出具体的坐标（按图上距离），确定位置.
任务一： 经测量，至善楼的坐标为，且德馨楼与至善楼关于 轴对称，则德馨
楼的坐标是_________，若厚德楼在博学楼的正南方向 处，则厚德楼的坐标是
________.
任务二： 若以厚德楼为中心建立平面直角坐标系，请分别写出博学楼、德馨楼与至善
楼的坐标，在给出的坐标系中标出它们的位置.
[答案] 博学楼的坐标为，德馨楼的坐标为，至善楼的坐标为 .如图所示.(共9张PPT)
15.4 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的性质定理2
知识点 等腰三角形的性质定理2
1. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 ，工人师傅在
焊接立柱时，只用找到的中点，这就可以说明竖梁垂直于横梁 了，工人师傅
这种操作方法的依据是( )
B
A.等边对等角 B.等腰三角形“三线合一”
C.垂线段最短 D.以上均不正确
2.已知是等腰三角形，，是底边 上的高，
下面结论不一定成立的是( )
B
A. B.
C.平分 D.
3.（2024·亳州期末）如图，，分别是 的中线和高.若
， ，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
4.（8分） 如图，已知点，在 的边
上，，，为的中点，求证： .
证明：因为为 的中点，
所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 .
又因为 ，
所以 .
5.已知的周长是，，，垂足为，的周长是 ，
则 的长是( )
C
A. B. C. D.
6.（12分）
图①
（1）如图①，若, ，是边上的高， ，
则 的度数为____.
图②
（2）如图②，若, ，是 边上的高，
，则____ .
20
（3）思考：通过以上两题，你发现与 之间有什么关系？
请用式子表示：_ _________________________________.
或
图③
（4）如图③，若,不是边上的高， ，是否
仍有上述关系？如有，请说明理由.
解：仍有上述关系.理由如下：
因为，所以 ，
又因为，所以 ，
所以 .
所以 .(共14张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
练专题九 轴对称网格作图
类型1 平面直角坐标系中的作图
1.（8分）（2024·安庆期末）如图，在边长为1个单位
长度的正方形网格中，建立平面直角坐标系，
是格点三角形（顶点都在格点上的三角形）.
（1）画出关于轴对称的 ；
解：如图， 即为所求.
（2）画出向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的 .
解：如图， 即为所求.
2.（12分）（2024·滁州期末）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为
，， .
（1）将平移，平移后点的对应点为，画出平移后的 ；
解：因为， ，
所以平移方式为向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度.
如图， 即为所求.
（2）画出关于轴对称的 ；
解：如图， 即为所求.
（3）求 的面积.
解：的面积为 .
类型2 正方形网格中的作图
3.（8分）图①、图②均是正方形的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点， 均
在格点上.
（1）在图①中，画出线段关于对称后的线段 .
图①
解：如图①，线段 即为所求.
图①
（2）在图②中，画出线段关于对称后的线段 .
图②
解：如图②，设点关于的对称点为，与格线的交点为，连接 并延长交格
线于点，则线段 即为所求.
图②
4.（8分）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1.
（1）作四边形关于直线 的对称图形；
解：如图所示，四边形 即为所求.
（2）求四边形 的面积.
解：四边形的面积 .
5.（10分）如图，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上，请在图①②③④中分别
画出另一个三角形，使它与已知的三角形关于某条直线成轴对称，并画出对称轴.
图①
图②
图③
图④
解：如图所示.（答案不唯一）
图①
图②
图③
图④
