2025-2026学年八年级数学上册第一次月考测试卷--人教版（含答案）

2025-2026学年八年级数学上册第一次月考测试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．如图，点P是直线AB外一点，下列是同学们利用直角三角板过点P画直线AB的垂线CD的示意图，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知等腰三角形一边长是5，一边长是11，它的周长是（　　）
A．27或21 B．27 C．21 D．16
3．在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝6cm，AC＝3cm，则△ABD的周长比△ACD的周长多（　　）
A．5 cm B．3 cm C．8 cm D．2 cm
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为（　　）
A．7 B．10 C．11 D．12
5．甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流给△ABC及△A′B′C′对应的边或角添加等量条件（点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A′B′C′全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．如表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（　　）
轮次 行动者 添加条件
1 甲 AB＝A′B′
2 乙 BC＝B′C′
3 甲 …
①若第3轮甲添加AC＝A′C′，则乙获胜；
②若甲想获胜，第3轮可以添加条件∠C＝∠C′；
③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为∠A＝∠A′＝90°．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，AD平分∠BAM，BC平分∠OBA，交OM于点E，与AD的反向延长线交于点C．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
结论Ⅰ：若∠BAD＝65°，则∠ABC＝40°；
结论Ⅱ：无论点A，B在射线OM，射线ON（均不与点O重合）上怎样移动，∠C的度数都不变．
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
7．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若AB＝50，BC＝60，CA＝70，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（　　）
A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7
8．静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力F的方向OF1∥AC，支持力N的方向OF2⊥AC，重力G的方向OF3⊥AB．若∠A＝α，则∠F2OF3的度数为（　　）
A．180°﹣α B． C．90°+α D．90°+2α
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝9，CD＝4，则AD的长为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
10．如图，在△ABC中，BC＝12，∠ACB＝45°．以B为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交BA，BC于M和N，再分别以M和N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于P．射线BP交AC于D．DE⊥AB，垂足为E；DF⊥BC，垂足为F．若DE＝4，则BF的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
11．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC的度数是（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
12．如图，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°，若AB＝2，BC＝3，则BD的长是（　　）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若a，b，c为三角形三边长，且a，b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝0，则第三边长c可能是 　 　 ．
14．如图，将一副三角板如图摆放（一块三角板的直角边与另一块三角板的斜边在同一直线上），那么∠α＝　 　 ．
15．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，CD＝BF，若∠A＝50°，则∠EDF的度数为 　 　 ．
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且∠B＝∠CED．若AB＝16，CE＝7，则AE的长为 　 　 ．
18．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝7．F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t＝　 　 秒．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a＝6，b＝7．
（1）求边长c的取值范围．
（2）化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|．
20．（8分）如图，直线AB和直线BC相交于点B，连接AC，点D、E、H分别在AB、AC、BC上，连接DE、DH，F是DH上一点，已知∠1+∠3＝180°．
（1）求证：∠CEF＝∠EAD；
（2）若DH平分∠BDE，∠2＝30°，求∠3的度数．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
22．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交BC的延长线于点D，分别以A，D为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点E，连接AD，作射线CE，交AD于点F．
（1）求证：△ACF≌△DCF；
（2）若∠BAC＝∠DAC，求∠B的度数．
24．（10分）嘉淇在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．试探索∠B、∠C、∠EAD的数量关系．（1）嘉淇阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 20 15 α 30
上表中α＝ 　 　 ．
（2）猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，过EA延长线上一点F作FG⊥BC，垂足G落在BC的延长线上，当∠ACB＝78°，∠B＝22°时，直接写出∠F的度数．
25．（10分）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则直接写出∠BOC与∠A的关系．
26．（10分）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，可证△ACD≌△MBD，从而把AB，AC，2AD集中在△ABM中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围．
【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”．
【问题解决】
（1）直接写出图1中AD的取值范围：　 　 ；
（2）猜想图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，判断线段AD和线段EF的数量关系和位置关系，并加以证明．
参考答案
一、选择题
1．C
【解答】解：点P是直线AB外一点，利用直角三角板过点P画直线AB的垂线CD的示意图，
根据垂线的定义可知选项C中，直线CD经过点P，CD⊥AB，符合题意．
故选：C．
2．B
【解答】解：∵等腰三角形一边长是5，一边长是11，
根据三角形三边关系可得腰长为11，底边长5，
∴它的周长是11+11+5＝27，
故选：B．
3．B
【解答】解：∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝DC，
∴△ABD的周长﹣△ACD的周长
＝（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）
＝AB﹣AC
＝6﹣3
＝3（cm），
故选：B．
4．C
【解答】解：∵将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF，
∴AD＝BE＝2，AB＝DE＝4，
∵BC＝3，
∴CE＝1，
∴AD+CE+AC+DE＝2+1+4+4＝11，
即阴影部分的周长为11，
综上所述，只有选项C正确，符合题意，
故选：C．
5．D
【解答】解：①若第3轮甲添加AC＝A′C′根据SSS即可判定△ABC≌△A′B′C′，则甲失败，乙获胜，故说法正确，符合题意；
②若第3轮甲添加条件∠C＝∠C′，SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′，则甲获胜，故说法正确，符合题意；
③若乙第2轮添加条件为∠A＝∠A′＝90°，则第3轮甲无论添加任何对应的边或角的等量条件，都能判定△ABC≌△A′B′C′，则甲失败，乙获胜，故说法正确，符合题意；
故选：D．
6．B
【解答】解：结论Ⅰ：∵AD平分∠BAM，∠BAD＝65°，
∴∠MAB＝2∠BAD＝2×65°＝130°，
∴∠ABO＝∠MAB﹣∠O＝130°﹣90°＝40°，
∵BC 平分∠OBA，
∴，故结论Ⅰ错误，不符合题意；
结论Ⅱ：∠C的大小不会变，∠C＝45°，理由如下：
∵∠BAD＝∠C+∠ABC，
∴∠C＝∠BAD﹣∠ABC，
∵AD平分∠MAB，BC平分∠ABO，
∴，∠ABC∠ABO．
∴∠C∠MAB∠ABO，
又∵∠MAB＝∠O+∠ABO＝90°+∠ABO，
∴∠C∠MAB∠ABO
（∠MAB﹣∠ABO）
90°＝45°．
∴∠C的大小不会变，∠C＝45°，故结论Ⅱ正确，符合题意．
故选：B．
7．D
【解答】解：由条件可知点O到△ABC三边的距离相等，
设点O到AB的距离为a，
则S△ABO：S△BCO：S△CAO
＝AB：BC：AC
＝5：6：7，
故选：D．
8．A
【解答】解：∵OF1∥AC，OF2⊥AC，重力G的方向OF3⊥AB．∠A＝α，如图，
∴∠2＝∠1＝90°﹣∠A＝90°﹣α，∠F3OF1＝180°﹣∠2＝90°+α，
∵OF2⊥OF1，
∴∠F1OF2＝90°，
∴∠F2OF3＝360°﹣90°﹣（90°+α）＝180°﹣α；
故选：A．
9．C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠F＝∠CDE，∠FBE＝∠C，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（AAS），
∴BF＝CD，EF＝ED，
∵B＝9，CD＝4，
∴CD＝4，
∴AF＝AB+BF＝13，
∵AE⊥DE，EF＝ED，
∴AE是线段DF的垂直平分线，
∴AD＝AF＝13．
故选：C．
10．C
【解答】解：如图，由基本作图可知，BP平分∠ABC，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝4，
∴DF＝DE＝4，
∵∠ACB＝45°．
∴∠CDF＝90°﹣45°＝45°＝∠ACB，
∴CF＝DF＝4，
∴BF＝BC﹣CF＝12﹣4＝8，
故选：C．
11．B
【解答】解：∵将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，
∴由折叠可知：∠PDE＝∠ADE，∠PED＝∠AED，
∴∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°．
∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）＝360°，
又∵∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2+2（180°﹣∠A）＝360°，即，
∵，，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝90°，
∴．
故选：B．
12．B
【解答】解：在CB的延长线上取点E，使BE＝AB，连接AE，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵BE＝AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE＝AB，∠BAE＝∠E＝60°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠EAC＝∠BAC+∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴∠ABD＝∠E，
∴△ABD≌△AEC（ASA），
∴BD＝CE，
∵CE＝BE+BC＝AB+BC＝3+2＝5，
∴BD＝5，
故选：B．
二、填空题
13．2（答案不唯一）．
【解答】解：∵a、b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，
∴a＝3，b＝2，
∵a、b、c为三角形的三边长，
∴3﹣2＜c＜3+2，即1＜c＜5，
∴第三边长c可能是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
14．75°．
【解答】解：由题意知：∠EFB＝45°，∠ABC＝60°，
∴∠FCB＝180°﹣∠EFB﹣∠ABC＝75°，
∴∠α＝75°，
故答案为：75°．
15．1
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）．
故答案为1．
16．65°．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠A）＝65°．
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠CDE＝∠BFD，
∵∠BDF+∠BFD+∠B＝180°，∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180°，
∴∠EDF＝∠B＝65°．
故答案为：65°．
17．2．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴DC＝DF，
在△DCE和△DFB中，
，
∴△DCE≌△DFB（AAS），
∴BF＝CE＝7，
∴AF＝AB﹣BF＝16﹣7＝9，
在Rt△ADC与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），
∴AC＝AF＝9，
∴AE＝AC﹣CE＝9﹣7＝2．
故答案为：2．
18．或．
【解答】解：由题意，∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°，
∴∠ACD＝∠AOE．
∴∠BOD＝∠ACD．
又∵∠BDO＝∠ADC＝90°，AD＝BD，
∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS）．
∴BO＝AC＝7．
①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．
∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．
∵OP＝t，CQ＝7﹣3t，
∴t＝7﹣3t，解得t．
②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．
∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．
∵OP＝t，CQ＝3t﹣7，
∴t＝3t﹣7，解得t．
综上，t或．
故答案为：或．
三、解答题
19．解：（1）由三角形三边关系定理得到：b﹣a＜c＜b+a，
∵a＝6，b＝7，
∴7﹣6＜c＜7+6，
∴1＜c＜13．
（2）由三角形三边关系定理得到：b+c＞a，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0，
∴|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|
＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+b﹣c）
＝﹣a+b+c﹣a﹣b+c
＝2c﹣2a．
20．证明：（1）如图所示：
∵∠3＝∠2+∠4，∠1+∠3＝180°，
∴∠1+∠4+∠2＝180°，即∠BDE+∠2＝180°，
∴EF∥AB，
∴∠CEF＝∠EAD；
解：（2）∵∠3＝∠2+∠4，∠1+∠3＝180°，
∴∠1+∠4+∠2＝180°，
∵∠2＝30°，
∴∠1+∠4＝180°﹣30°＝150°，
∵DH平分∠BDE，
∴∠1＝∠4＝75°，
∴∠3＝∠2+∠4＝30°+75°＝105°．
21．（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
22．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
23．（1）证明：由作图过程可得，AC＝DC，CE⊥AD，
∴∠AFC＝∠DFC＝90°．
在Rt△ACF和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△DCF（HL）．
（2）解：∵AC＝DC，
∴∠CAD＝∠ADC，
∴∠ACB＝∠DAC+∠ADC＝2∠DAC．
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠ACB＝2∠BAC．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝2∠BAC．
∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+2∠BAC+2∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝36°，
∴∠B＝72°．
24．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AE平分∠BAC，∠BAC＝180°﹣20°﹣60°＝100°，
∴，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝50°﹣30°＝20°，
故答案为：20．
（2）猜想：，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝90°﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC
＝90°∠B∠C﹣（90°﹣∠C）
（∠C﹣∠B）．
（3）∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴AD∥FG，
∴．
25．解：（1），
理由：∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴，，
∴，
又∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴，
∴；
（2），
理由：∵BO和CO分别是∠ABC与外角∠ACD的角平分线，
∴，，
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴，
∵∠2是△BOC的一个外角，
∴；
（3）结论：，
∵∠DBC是△ABC的一个外角，∠BCE是△ABC的一个外角，
∴∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，
∴，，
∴，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴，
∴在△OBC中，．
26．解：（1）延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，如图2所示：
∴AM＝DM+AD＝2AD，
在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDM和△ADC中，
，
∴△BDM≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝6，
在△ABM中，由三角形三边之间关系得：AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴10﹣6＜2AD＜10+6，
∴2＜AD＜8，
∴BC边上的中线AD的取值范围是：2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8；
（2）猜想图2中AC与BM的数量关系是：AC＝BM，位置关系是：AC∥BM，证明如下：
由（1）可知：△BDM≌△ADC，
∴BM＝AC，∠M＝∠CDA，
∴AC∥BM，
即AC与BM的数量关系是：AC＝BM；位置关系是：AC∥BM；
（3）线段AD和线段EF的数量关系是：ADEF，位置关系是：AD⊥EF，证明如下：
延长AD到N，使DN＝DA，连接BN，延长DA交EF于点H，如图3所示：
∴AN＝DN+AD＝2AD，
同（1）证明：△BDN≌△CDA（SAS），
∴BN＝AC，∠N＝∠CAD，
∵AC＝AF，
∴BN＝AF，
∵∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∵∠N＝∠CAD，
∴BN∥AC，
∴∠BAC+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝∠EAF，
在△ABN和△EAF中，
，
∴△ABN≌△EAF（SAS），
∴AN＝EF，∠BAN＝∠E，
∴2AD＝EF，
即ADEF；
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAN+∠EAH＝90°，
∴∠E+∠EAH＝90°，
在△AEH中，∠AHE＝180°﹣（∠E+∠EAH）＝90°，
∴AH⊥EF，
即AD⊥EF，
故线段AD和线段EF的数量关系是：ADEF，位置关系是：AD⊥EF．