第十六章 二次根式的知识点汇总

二次根式的知识点汇总
知识点一：
二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1.
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.
二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.
知识点七：同类二次根式
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
知识点八:二次根式的运算：
（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
=·（a≥0，b≥0）；
（b≥0，a>0）．
（3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
练习题
（做出正确选择
并写出题目的知识点）
1.下列二次根式中，的取值范围是的是（
）
A.
B.
C.
D.
2.
要使式子
有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0
B．x≥-2
C．x≥2
D．x≤2
3.下列二次根式中，是最简二次根式的是（
）
A.
B.
C.
D.
4.若，则（
）
A．＜
B.≤
C.＞
D.
≥
5.下列二次根式,不能与合并的是(
)
A.
B.
C.
D.
7.
如果最简二次根式与能够合并，那么的值为（
）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
8.已知,
则的值为（
）
A．
B．
C．
D.
9.下列各式计算正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
10.等式成立的条件是（
）
A.
B.
C.≥
D.≤
11.下列运算正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
12.已知是整数，则正整数的最小值是（
）
A.4
B.5
C.6
D.2
14.化简:
；
=
.
15.
.
16.
比较大小:
3；
______.
17．已知：一个正数的两个平方根分别是和，则的值是
．
18.计算：________；
．
19.已知、为两个连续的整数，且，则
．
20.直角三角形的两条直角边长分别为
、，则这个直角三角形的斜边长为________，面积为________
.
21.若实数满足,则的值为
.
22.
已知实数x，y满足|x-4|+
=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是
．
24.（6分）计算：
（1）
；
（2）
；
(3)
|-6|-
–；
(4)
-
25.（6分）先化简，再求值：÷（2＋1），其中=－1.
26.（6分）先化简，后求值：，其中.
27.（6分）已知，求下列代数式的值：
（1）
；(2).
28.(
08，济宁)若，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
29.
化简：（1）的结果是
；（2）的结果是
；
（3）=
（4））5-2=_____
_；
（5）＋（5－）=_________；
（6）
；
（7）＝________；（8）
．