北师大必修一第一章 预备知识 章末检测卷（含解析）

北师大必修一第一章预备知识章末检测卷
一、单选题
1.老子道德经有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明“做容易题”是“做难题”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知集合，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知集合，且，则实数为( )
A. B. C. 或 D. ，
4.已知命题：，是真命题，则的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
5.下列五个关系式中正确的个数为( )；；；；．
A. B. C. D.
6.已知全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为( )
A. 或 B. 或
C. D.
7.已知集合，，则( )
A. B. 或 C. D.
8.已知集合，集合，集合，则集合，，的关系为( )
A. B. C. D.
9.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
10.已知，为非负实数，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
11.已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
12.不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
13.已知，下列选项一定成立的是( )
A. B.
C. D.
14.下列说法错误的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. “”是“”的必要而不充分条件
C. 若、，，则的最小值为
D. 关于的不等式的解集是，则
15.几何原本中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，则该图形可以完成的所有的无字证明为( )
A. B.
C. D.
16.已知均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
17.下列命题正确的是( )
A. 命题“”的否定是“”
B. 的充要条件是
C.
D. 是的充分条件
18.下列说法正确的是( )
A. 是的充分不必要条件
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 已知，，则对应的的集合为．
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为
19.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈。这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得。则下列命题正确的有( )
A. 若，则只能是；
B. 当时，；
C. 随着的增大，也增大；
D. 若，则的取值集合．
三、填空题
20.设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为 ．
21.设实数，满足，则的最大值为 ；的最小值为 ．
22.对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件“若，则”且，给出下列命题：
若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有；
对于任意给定符合题设条件的集合，，必有；
存在符合题设条件的集合，，使得；
存在符合题设条件的集合，，使得．
其中所有正确命题的序号是 ．
四、解答题
23. 设集合，．
当时，求，．
若，求的取值范围．
24.若不等式的解集是．
解不等式；
若关于的一元二次不等式的解集为，求实数的取值范围．
25.某学校为了开展劳动教育，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形种植园图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植辣椒、茄子、小白菜其中区域的形状、大小完全相同设矩形种植园的一条边长为，蔬菜种植的总面积为．
用含有的代数式表示，并写出的取值范围；
当的值为多少时，才能使蔬菜种植的总面积最大最大面积是多少
26.已知实数，，满足．
证明：“”是“”的充要条件
若且，证明：．
27.设函数．
若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；
解关于的不等式；
当时，记不等式的解集为，集合若对于任意正数，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”，
但“做难题”一定可以推出“做容易题”，
故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件．
故选：．
2.【答案】
【解析】，，
，，，，
故选：．
根据集合的运算性质分别判断即可．
本题考查了集合的运算以及集合间的关系，考查转化思想，是基础题．
3.【答案】
【解析】因为，所以或，
若，则，不满足集合中元素的互异性，应舍去；
若，则解得，或，
显然不满足集合中元素的互异性，应舍去，
故．
故选：．
4.【答案】
【解析】因为，，所以当时，，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以是的充要条件，因为，但不能推出，
所以是的一个必要不充分条件，
故选：．
5.【答案】
【解析】集合具有无序性，故正确；
集合具有无序性，两集合相等，故有包含关系，故正确；
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故错误．
中空集是任何非空集合的真子集，正确；
中元素与集合用“”连接，正确，
故正确的个数有个．
6.【答案】
【解析】，
，
阴影部分表示的集合为中去掉就是．
故选A．
7.【答案】
【解析】，或．
若，解得或．
当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，集合，满足题意，故成立．
若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．
综上所述，．
8.【答案】
【解析】，即，
，则，
又，即，
，则，
，
，则，
，，，
故选：．
9.【答案】
【解析】由不等式的解集为，
得到，且方程的两个根分别为和，
由韦达定理得：，，则，，
则可化为，
化简得：，即，
解得：，
即不等式的解集为．
故选A
10.【答案】
【解析】因为，为非负实数，且，即，
则
，
当且仅当，即，时取等号．
故选：．
11.【答案】
【解析】解不等式，得或，
解方程组，得，，
当，即时，
不等式的解为，
此时不等式组解集，
集合中有且仅一整数，
则，
解得；
当，即时，
不等式的解为，要使集合中有且只有一个整数解，
则，
即，
综上，的取值范围为．
故选B．
12.【答案】
【解析】原不等式可化为，解得，所以原不等式的解集是，．故选C.
13.【答案】
【解析】对于，，设，，则，
，不正确，
，
，，
不正确；
对于，，由图可知，，，，C正确，
故选BC．
14.【答案】
【解析】，”的否定是“，”，A错误；
不能推出，也不能推出，故B错误；
，整理得：，当且仅当时取等号，故C正确；
若关于的不等式的解集是，则和是方程的解，所以，
因此，故D错误．
故选：．
15.【答案】
【解析】由，得，
由∽可知，
又， ，A正确
由∽可知，即，又，即，C正确．
对于、选项，无法由题中图象证明得出，所以不选．
故选AC．
16.【答案】
【解析】因为，
所以，
对于，，设，，
则，，
则，故A错误；
，故C错误；
对于，由图和知， ，故B正确
对于，因为，
所以，故D正确．
故选BD．
17.【答案】
【解析】命题“”的否定是“”，对；
当时，但不存在，所以不是的充分条件，错；
当时，，错；
由可得，所以是的充分条件，对．
18.【答案】
【解析】对，若，则，但反之不成立，
例如，但，则是的充分不必要条件，故正确；
对，若，则，不合题意；
若，则
故B正确；
对，，则，即对应的的集合为，故C正确；
对，由，得，则集合的个数为，故D正确．
故选：．
19.【答案】
【解析】对于，若，可逆向思考：，所以只能是，A正确；
对于，因为，所以，B正确；
对于，因为当时，，而当时，，所以不是随着的增大，也增大，C错误；
对于，若，由已知，可以有，此外同中思考方法，还有：
，这时；
，这时；
，这时．
从上述法则可知：最后四步相同，第步的数有两种情况，若为，则 ，
若为，则第步均为，则只能是或．
故当时，的取值集合为，D正确．
故选：．
20.【答案】
【解析】，
，
图中阴影部分表示的集合为，
故答案为：．
21.【答案】
【解析】第一空：对于的求解
法一 配凑和积关系：由不等式得得，得所以的最大值为．
法二 消元 由，得，则，由二次函数得最大值为．
法三 比值换元 令，则则
．
法四 齐次减元 ．
第二空；对于的求解
法一 和积平方关系转化 ， 所以的最小值为．
法二 消元法 由，得，则 ，当仅当取等号．
法三 比值换元 令，则则

．
22.【答案】
【解析】由于非空实数集，记，则中元素为不大于中所有值的数，即不大于中最小元素的数组成的集合．
当集合下边界趋向负无穷大时，如，故错误；
由于，假设中最小值为，最小值为，那么因此表示不大于所有数组成的集合，表示所有不大于的数组成的集合．则，故正确；
令，则，故，故正确；
令，则，故，故正确；
故答案为：．
23.【解析】集合，．
把代入中得：，即，
，．
集合，，，
当时，，解得，满足题意，
当时，，解得．
综上，的取值范围是．
24.【解析】由题意可得，且和是方程，
则可得且，解得，
不等式化为，，
解得或，所以不等式的解集为或；
依题意，不等式的解集为．
当时，原不等式的解集为，不符题意；
当时，有，解得．
综上，的取值范围为．
25.【解析】由题意，矩形花园的总面积为，
，
，
，
，
即关于的关系式为，；
由可知；，则，
当且仅当，即时取等号，
即当时，才能使种植蔬菜的总面积最大，最大面积为．
26.【解析】证明：充分性：，
必要性：，又，
，
，
可得；
“”是“”的充要条件
证明：
由，且，，
得，，，
，
当且仅当时等号成立，
则由，得，
即，
．
27.【解析】
由题设，又有且只有一个元素，
所以有且仅有一个根，
当时，，即，则，满足题设；
当时，，即，则，满足题设；
所以的取值集合为．
由题设，
整理得，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
由，恒有，故，
且，故开口向上且，
故对应一元二次方程恒有两个不等实根，且在轴两侧，
因为，即在上有解，且，
又区间关于对称，且区间长度，
综上，只需保证，则，且，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为．
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