北师大版 选必一第一章 直线与圆 章末检测卷（含解析）

北师大版选必一第一章直线与圆章末检测卷
一、单选题
1.设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.在同一坐标系中，直线与圆的图形情况可能是( )
A. B.
C. D.
3.如图所示，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是( )
A. B. C. D.
4.已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知圆：，圆：，圆上存在点，过作圆的两条切线，，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.设点是圆与圆的一个交点，过点作直线交圆于另一点，交圆于另一点，若，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
7.已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.在平面直角坐标系中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆的两条切线，为切点，满足，则的值可能为( )
A. B. C. D.
9.已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10.过直线上的点作圆的切线，若在直线上存在一点，使得过点的圆的切线为切点满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
11.已知圆与圆，则( )
A. 两圆的圆心距为
B. 两圆的公切线有条
C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为
D. 两圆相交，且公共弦的长度为
12.已知直线，动直线，则下列结论正确的是( )
A. 不存在，使得的倾斜角为 B. 对任意的，与都有公共点
C. 对任意的，与都不重合 D. 对任意的，与都不垂直
13.已知点在圆上，点，，则( )
A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时， D. 当最大时，
14.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
C. 圆与圆恰有三条公切线，则
D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
15.设有一组圆，则下列命题正确的是( )
A. 不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B. 这组圆中存在圆经过点
C. 存在一条定直线始终与圆相切
D. 若，则圆上总存在两点到原点的距离为
16.下列命题正确的有( )
A. 过点且在，轴截距相等的直线方程为
B. 若圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是
C. 已知点在圆：上，的最大值为
D. 已知圆：和：，圆和圆的公共弦长为
三、填空题
17.已知直线，，，若，则与之间的距离为 ．
18.已知为圆上的动点，点，，若为常数，则 ．
19.在平面直角坐标系中，直线过点且与曲线相切于点，则直线的方程是 ，设是线段中点，长度为的线段在的上方在直线上滑动，则的最小值是 ．
20.已知直线：与轴相交于点，过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，两点，记是的中点，则的最小值为 ．
21.已知圆：，若圆与圆关于直线对称，且与直线：交于、两点，则的取值范围是 ．
22.已知圆与圆相交于，两点，则两圆公共弦所在的直线方程为 ，公共弦的长为 ．
23.设直线：，直线：当 时，；当 时，．
四、解答题
24.本小题分
已知，，．
求点的坐标，满足，．
若点在轴上，且，求直线的倾斜角．
25.本小题分
已知圆圆心在轴上，且过点，两点．
求圆的方程
设点，以线段为直径的圆与圆交于，两点，求线段长度的最小值．
26.本小题分
如图，某海面上有三个小岛面积大小忽略不计，岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛千米处以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆经过三点．
求圆的一般方程
在圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
27.本小题分
已知圆：，直线：，．
求证：对，直线与圆总有两个不同的交点、；
求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；
是否存在实数，使得圆上有四点到直线的距离为？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．
28.本小题分
在平面直角坐标系中，对于直线，不同时为和点，定义点到直线的“特殊距离”，其中为非零常数．
已知直线，点，圆．
当时，求和的值．
若点是圆的动点，当时，求的最小值．
设直线，若存在点在直线上，使得，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，则，
因为时，
所以，
所以．
故选：．
2.【答案】
【解析】联立，可得，解得，当，则方程组无解，即直线与圆无交点，故BC错误
又化为标准方程为，其圆心为，半径的平方为由选项可得，将化为斜截式可得对于，圆心在第一象限，
则，解得，由原点在圆外，可得，故
由直线方程可得，矛盾，故A错误
对于，圆心在第二象限，则，解得，，
由原点在圆外，可得，故，由直线方程可得，故D正确．
故选：．
3.【答案】
【解析】如图，
可求出直线的方程为，
设点关于直线的对称点为，
则
解得即，
点关于轴的对称点为，
则光线所经过的路程的长为．
故选A．
4.【答案】
【解析】如图圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为，
圆的圆心坐标，半径为，
由图象可知当，，，三点共线时，取得最小值，
的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
即：，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】圆：的圆心，半径为，
圆：的圆心，半径为．
若过点作圆的两条切线，切点为，，
，，又，
则四边形为正方形，则，
则的轨迹是以为圆心，半径的圆，其方程为．
若圆上存在这样的点，则圆与有公共点，
则有，
解得．
故选：．
6.【答案】
【解析】由知为中点，
所以，以为直径的圆过点，
故是以为直径的圆与圆的公共弦，
联立圆圆的方程，可解得，
当时，以为直径的圆的方程，
即，
与圆的方程相减，可得直线的方程为，
直线的斜率为，考虑对称性，直线斜率的另外一解为．
故选：．
7.【答案】
【解析】圆的方程为，圆心为，半径为，
，其中表示点与圆上一点连线的斜率，
过点作圆的切线，设其方程为，即，
则，解得，
则，
则的取值范围为，
故选C．
8.【答案】
【解析】设，连接，由题意可设，
则，，
所以，
又，
所以，
令，则有，解得：或，
因为在单位圆外，所以，故舍去，
即在以原点为圆心，半径为的圆上，
因为曲线上存在四个点，
即与圆有个交点，且过点，
结合图象可知，
，
当时，直线的斜率是负的，
所以且只需原点到直线的距离小于半径即可，
所以，解得：或舍去．
故选：．
9.【答案】
【解析】圆的方程为，圆心为，半径为，
过点作圆的切线方程，设切线方程为，即．
则，解得：．
则的取值范围为．
故选B．
10.【答案】
【解析】过直线上的点作圆的切线，若在直线上存在一点，使得过点的圆的切线为切点满足，则的取值范围是。
故选：．
11.【答案】
【解析】圆化为标准方程得，即圆的圆心，半径，圆化为标准方程得 ，即圆的圆心，半径，则两圆的圆心距为，故A正确因为，所以两圆相交，公切线有两条，故B错误将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，故C正确点到直线的距离 ，则公共弦的长度为，故D错误故选AC．
12.【答案】
【解析】：当时，，符合倾斜角为，错误；
：过定点，
而也在上，对任意的，与都有公共点，正确；
：当时，，
显然与重合，错误；
：要使与都垂直则，显然不存在这样的值，正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】，，
过点、的直线方程为，即，
圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离，
点到直线的距离的范围为，
，，，
点到直线的距离小于，但不一定大于，故A正确，B错误；
如图，当过点的直线与圆相切时，满足最小或最大
点位于时最小，位于时最大，
此时，
，故CD正确．
故选ACD．
14.【答案】
【解析】直线，
得，
由，得
即直线恒过定点，
故A错误；
B. 圆心到直线的距离为
，
圆的半径，
故圆上有个点到直线的距离为，
故B正确；
C. 曲线，即，
曲线，
即，
由题意得两圆有三条公切线，则两圆外切，
两圆心的距离为，
解得，故C正确；
D. 因为点为直线上一动点，设点，
圆的圆心为，
以线段为直径的圆的方程为，
即，
故直线，即为圆与圆的公共弦方程为：，
即，
即，
令得
所以直线经过定点，故D正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】对于，圆心在直线上，A正确；
对于，若，
化简得，，无解，不正确；
对于，圆心在上，半径为定值，
故定直线斜率一定为，设为，，
故存在定直线始终与圆相切，C正确；
对于，若圆上总存在两点到原点的距离为，
问题转化为圆与圆有个交点，
则，
解得．
故D正确．
故选ACD．
16.【答案】
【解析】对于、当直线过原点时，直线在，轴截距都为，符合题意，直线方程为；当直线不过原点时设其方程为，因为直线过点，所以，则直线方程为，所以A错误；
对于、圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，
圆心的纵坐标也是，设圆心坐标，
则，又，，
该圆的标准方程是，故B正确；
对于、圆的标准方程为，
则圆心坐标为，半径，
设，即，
则圆心到直线的距离，即，
可得，解得，
故的最大值是，故C错误；
对于、两圆方程相减，得圆和圆的公共弦所在直线方程为：
，即，
圆心到直线的距离，
圆和圆的公共弦长，故D正确．
故选BD．
17.【答案】
【解析】当时，有
解得，
此时，，的方程分别为：即，，
故它们之间的距离为．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】设动点，则有，
由，
由于为常数，所以，
解得或，因为，所以．
故答案为：．
19.【答案】
【解析】显然直线的斜率一定存在，所以设直线的方程为：，即，
直线与曲线相切，
，
解得：，因为，根据图象分析，所以，
直线的方程为：．
由可知，直线的方程为：，
如图所示，
由勾股定理得，，
所以，
设，则，
即点到和距离的和，
点显然在轴上，关于轴对称点是，
取最小值为．
故答案为：；．
20.【答案】
【解析】如图所示，
设点，
则以为直径的圆的方程为，
化简得，
与联立，可得所在直线的方程为，即，
所以直线过定点，
由题意得，点为直线上的一个定点，则点在以为直径的圆上，
可得点的轨迹方程为，圆心为 ，半径，
由题知点，所以，
所以线段长的最小值为．
21.【答案】
【解析】圆：的标准方程为，
设圆的圆心关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以圆的方程为，
直线：可化为，
则直线恒过点，易知点在圆内，
点到圆心的距离为，
所以为的中点时，取得最小值为，
当直线：过时，即时，取得最大值为直径，
所以的取值范围是，
故答案为．
22.【答案】
【解析】圆与圆，
两式相减可得：，
直线的方程为：；
圆：的圆心为，半径为，
由圆心到直线的距离为，
弦长，
故答案为：；．
23.【答案】
【解析】直线：，直线：．
由得：，
解得，
由，得，解得．
故答案为：；．
24. 【解析】设，
由已知得，又，可得 即，
由已知得，又，可得，即，
联立求解得，，
．
设，
，
又，，
解得，
，又，
轴，
故直线的倾斜角为．
25.【解析】依题意，设圆的方程为，
将点，代入圆方程得：
，解得：
即圆的方程为：；
，，
以为直径的圆的方程为：，
整理得：，
由知圆的方程为：，即，
得直线的方程为：，
点到直线的距离为，，
，，
，，，，
当时，，
即线段长度的最小值为．
26.【解析】依题意，，
设过、、三点的圆的方程为，
则有，解得，
所以圆的方程为，
由知，圆的圆心，半径，
依题意，该船初始位置为点，且该船航线所在直线的斜率为，
则该船航线所在直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，则直线与圆相离，
所以该船没有触礁的危险．
27.证明：圆：的圆心为，半径为，
所以圆心到直线：的距离．
所以直线与圆相交，即直线与圆总有两个不同的交点；
设弦的中点为，
因为直线：恒过定点，
可知直线的斜率存在，
所以，
化简得：，
它是一个以为圆心，以为半径的圆，且不含点；
假设存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为，
由于圆心，半径为，
则圆心到直线的距离为，
化简得，解得或．
28.【解析】对于点，直线，
对于点，；
设点，当时，


，
其中
当时，取得最小值，
；
设点，
，
得，
依题意有，，
由，所以任意实数方程都有解，即的取值范围为．
第9页，共19页