2.3.2等差数列的前n项和（第2课时）
文档属性
| 名称 | 2.3.2等差数列的前n项和（第2课时） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 337.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-08-04 20:06:34 | ||
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文档简介
课件23张PPT。2.3等差数列的前n项和(第2课时)高中数学教师欧阳文丰制作复习回顾1.等差数列前n项和Sn公式的推导
2.等差数列前n项和Sn公式：an=a1+(n-1)d说明：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉及到5个量，通常已知其中3个，可求另外2个。-------倒序相加法 一般地，如果一个数列{an} 的前n项和为
其中p、q、r为常数，且p?0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差是什么？探究等差数列前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2 (1)
Sn=na1+n(n-1)d/2 (2)对于公式（2）可整理为
Sn=(n2d/2)+[ a1-(d/2)]n
这说明Sn是关于n的一元二次函数。1.等差数列的前n项和公式：小结2. 若{an}成等差数列,则{ }也成等差数列故只有当r=0时该数列才是等差数列，
此时首项a1=p+q，公差d=2p(p≠0)例1. 已知数列{an}的前n项和为 ，求该
数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，
它的首项和公差分别是什么？三、例题解：∵Sn=a1+a2+…+an，Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1)当n=1时，①∴ a1也满足①式 ∴当n>1时，所以数列{an}的通项公式为:由此可知，数列{an}是一个首项为1.5，公差为2的
等差数列例3 已知等差数列{an}中，a1=-2,并且S3=S7，试求Sn的最小值及此时的n的值。 解：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。Sn=-2n+[n(n-1)/2]×4/9
=2/9×n2-20/9n
=2/9(n2-10n)
=2/9(n-5)2-50/9
所以n=5时前n项和最小，最小值为-50/9。
解法二：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。
所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。
由方程an=0得 -2+(n-1)4/9=0
解得n=5.5 取 n=5根据数列递增性可知a1,a2, a3,a4,a5均为负数，从第六项起以后各项均为正数，因此前五项的和最小。代入求和公式Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9
解法三：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 等差数列前n项和Sn 是n的二次函数，而S3=S7
正说明二次函数是以n=（3+7）/2为对称轴，
且二次函数开口向上，所以当n =5时Sn有最小值。
将n =5 代入前n项和公式，有
Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9
解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 解得 4.5≤n ≤5 .5 所以n=5 即前5项的和最小，将
n =5 代入前n项和公式，
有Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9
小结：等差数列前n项和最值的求法有 注：（1）当数列是首项为正，公差为负的递减等 差数列时，才有前n项和最大。
（2）当数列是首项为负，公差为正的递增等差数列时，前n项和才有最小值。 （1）函数最值法 （解法一）
（2）解方程法 （解法二）
（3）对称轴法 （解法三）
（4）不等式法 （解法四）
作业：
1 一个首项为a(a>0)的等差数列,前3项和
与前10项和相等,问此数列的前几项和
最大，并求出最大值。
2 设等差数列{an}的前n项和Sn,已知 a13=-12,
S12>0,S13<0
(1) 求公差d的取值范围
(2) 指出S1,S2……S12中哪一个值最大，并
说出理由1 解：由a1+a2=91,a2+a3=85可得
4a2=176,则a2=44,所以a1=47,
d=-3.
接下来即可用求最值的方法 求得前16项的和最大，最大值为392。 拼搏 2 解：由a1=31,d=-4可的此数 列的通项公式an=35-4n.
当n=8时， an=3；
当n=9时， an=-1；
所以与零最靠近的项是 a9.进取或由an=35-4n=0，得n=35/4，
当n =9时， an 与零最接近。练：已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2－30n
（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；
（2）求使得Sn最小的序号n的值。解：（1）将n－1代入到数列的前n项和公式，
得Sn－1=2(n－1)2－30(n－1)，因此an=Sn－Sn－1=4n－32，(n≥2)，当n=1时，a1=S1=2－30=－28，也适合上式，
所以这个数列的通项公式是an=4n－32。（2）因为 又因为n是正整数，
所以当n=7或=8时，Sn最小，
最小值是－112.1. 若数列的前n项和为 则数列（ ）(A)是公差为2的等差数列
(B)是公差为5的等差数列
(C)是公差为10的等差数列
(D)是公差为－10的等差数列C练习：2.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6为( )
(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q (D) 2(p+q)B3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，
若a4=18－ a5，则S8等于（ ）
A.18 B.36 C.54 D.72 D
2.等差数列前n项和Sn公式：an=a1+(n-1)d说明：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉及到5个量，通常已知其中3个，可求另外2个。-------倒序相加法 一般地，如果一个数列{an} 的前n项和为
其中p、q、r为常数，且p?0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差是什么？探究等差数列前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2 (1)
Sn=na1+n(n-1)d/2 (2)对于公式（2）可整理为
Sn=(n2d/2)+[ a1-(d/2)]n
这说明Sn是关于n的一元二次函数。1.等差数列的前n项和公式：小结2. 若{an}成等差数列,则{ }也成等差数列故只有当r=0时该数列才是等差数列，
此时首项a1=p+q，公差d=2p(p≠0)例1. 已知数列{an}的前n项和为 ，求该
数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，
它的首项和公差分别是什么？三、例题解：∵Sn=a1+a2+…+an，Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1)当n=1时，①∴ a1也满足①式 ∴当n>1时，所以数列{an}的通项公式为:由此可知，数列{an}是一个首项为1.5，公差为2的
等差数列例3 已知等差数列{an}中，a1=-2,并且S3=S7，试求Sn的最小值及此时的n的值。 解：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。Sn=-2n+[n(n-1)/2]×4/9
=2/9×n2-20/9n
=2/9(n2-10n)
=2/9(n-5)2-50/9
所以n=5时前n项和最小，最小值为-50/9。
解法二：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。
所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。
由方程an=0得 -2+(n-1)4/9=0
解得n=5.5 取 n=5根据数列递增性可知a1,a2, a3,a4,a5均为负数，从第六项起以后各项均为正数，因此前五项的和最小。代入求和公式Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9
解法三：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 等差数列前n项和Sn 是n的二次函数，而S3=S7
正说明二次函数是以n=（3+7）/2为对称轴，
且二次函数开口向上，所以当n =5时Sn有最小值。
将n =5 代入前n项和公式，有
Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9
解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 解得 4.5≤n ≤5 .5 所以n=5 即前5项的和最小，将
n =5 代入前n项和公式，
有Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9
小结：等差数列前n项和最值的求法有 注：（1）当数列是首项为正，公差为负的递减等 差数列时，才有前n项和最大。
（2）当数列是首项为负，公差为正的递增等差数列时，前n项和才有最小值。 （1）函数最值法 （解法一）
（2）解方程法 （解法二）
（3）对称轴法 （解法三）
（4）不等式法 （解法四）
作业：
1 一个首项为a(a>0)的等差数列,前3项和
与前10项和相等,问此数列的前几项和
最大，并求出最大值。
2 设等差数列{an}的前n项和Sn,已知 a13=-12,
S12>0,S13<0
(1) 求公差d的取值范围
(2) 指出S1,S2……S12中哪一个值最大，并
说出理由1 解：由a1+a2=91,a2+a3=85可得
4a2=176,则a2=44,所以a1=47,
d=-3.
接下来即可用求最值的方法 求得前16项的和最大，最大值为392。 拼搏 2 解：由a1=31,d=-4可的此数 列的通项公式an=35-4n.
当n=8时， an=3；
当n=9时， an=-1；
所以与零最靠近的项是 a9.进取或由an=35-4n=0，得n=35/4，
当n =9时， an 与零最接近。练：已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2－30n
（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；
（2）求使得Sn最小的序号n的值。解：（1）将n－1代入到数列的前n项和公式，
得Sn－1=2(n－1)2－30(n－1)，因此an=Sn－Sn－1=4n－32，(n≥2)，当n=1时，a1=S1=2－30=－28，也适合上式，
所以这个数列的通项公式是an=4n－32。（2）因为 又因为n是正整数，
所以当n=7或=8时，Sn最小，
最小值是－112.1. 若数列的前n项和为 则数列（ ）(A)是公差为2的等差数列
(B)是公差为5的等差数列
(C)是公差为10的等差数列
(D)是公差为－10的等差数列C练习：2.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6为( )
(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q (D) 2(p+q)B3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，
若a4=18－ a5，则S8等于（ ）
A.18 B.36 C.54 D.72 D