广东省广州市第五中学2024-2025学年九年级下学期三月月考数学试卷(含答案)

广东省广州市第五中学2024—2025学年下学期三月月考九年级数学试卷
一、单选题
1．《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．在一条东西向的跑道上，小虎先向东走了6米，记作“米”，又向西走了9米，此时他的位置可记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．港珠澳大桥是目前世界上最长的跨海大桥，工程造价约1100亿元，1100亿元用科学记数法表示为（　　）
A．1100×108元 B．11×1010元 C．1.1×1011元 D．1.1×1012元
3．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．
5．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若是的一个根，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．如图，菱形的对角线与相交于点为边的中点，连接．若，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
8．如图，都是的半径，交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点E、F，FD⊥x轴，垂足为D，连接OE、OF、EF，FD与OE相交于点G．下列结论：①OF=OE；②∠EOF=60°；③四边形AEGD与△FOG面积相等；④EF=CF+AE；⑤若∠EOF=45°，EF=4，则直线FE的函数解析式为．其中正确结论的个数是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．已知，则的补角等于 ．
12．抛物线的顶点坐标是 ．
13． ．
14．如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是 米．
15．如图所示，A为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为 ．
16．如图，在正方形中，点E在边上，由，连接，，平分．过点B作于点F，若正方形的边长为4，则的面积是 ．
三、解答题
17．解不等式组
18．如图，已知．求证：．
19．某校举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，准备从甲、乙、丙三位男生和A、B两位女生中选取一位男生和一位女生参加全区党史知识竞赛．
(1)若随机选一位男生和一位女生，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果．
(2)求恰好选中男生甲和女生A的概率．
20．如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为，椅面宽为，椅脚高为，且，，．从点测得点，点的俯角分别为和．已知椅面宽，求椅脚高的长（结果取整数）．
参考数据：，，，．
21．如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点B，点P在y轴上．
(1)求b和k的值；
(2)当最小时，求点P的坐标；
(3)当时，请直接写出x的取值范围．
22．看电影已经成为人们在春节假期生活的新热潮.2022年春节电影总票房持续走高，其中《长津湖》《四海》和《奇迹》三部电影七天票房总额达到37亿元.
(1)若《四海》的票房比《奇迹》的票房少2亿，《长津湖》的票房比《奇迹》的票房的3倍多4亿，求电影《长津湖》的票房；
(2)若电影院票价每张60元，学生实行半价优惠.某学校计划用不超过1500元组织老师和学生共40名去电影院观看《长津湖》，问:至少组织多少名学生观看电影
23．如图，在中，，是的角平分线，以O为圆心．为半径作．
(1)求证：是的切线；
(2)已知交于点E，延长交于点D，，求的值．
24．如图，在中，，，是边上的动点（不与点，重合），是边上的动点（不与点重合），且，过点作，交射线于点，连接，过点作，交于点．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当时，连接，若，求的值；
(3)连接，，在点，的运动过程中，对于每个不同的，线段的长度都存在一个最小值，求此时的值（用含的代数式表示）．
25．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接，是抛物线第一象限图象上的动点，过点作，垂足为，过点作轴交抛物线于点，求的最大值；
(3)已知是对称轴上的一个定点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．D
根据题意得：米．
故选：D．
2．C
解：1100亿＝110000000000＝1.1×1011，
故选：C．
3．C
解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．D
解：根据题意，，
∴，
∴正方形的边长为，
故选：D ．
5．B
解：∵，
∴，
∴函数中自变量x的取值范围．
故选B
6．A
解：∵是的一个根，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
7．C
解：∵四边形是菱形，，
∴，，，
在中，，
∵点E为边的中点，，
∴是的中位线，
∴，
故选：C．
8．B
解：都是的半径，，
，
，
，
，
，
，
故选：B ．
9．B
解：∵直线经过一、二、四象限，
，
，
∴直线的图象经过第一、二、三象限，
故选：B．
10．B
∵点E、F都在反比例函数的图像上，
∴，即 ,
∵四边形是正方形，
∴,
∴
∴,
∴,①正确；
∵
∴,
∵k的值不能确定,
∴的值不能确定，②错误；
∴只能确定为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
∴ ,,
∴ ,, ④错误；
∵,
∴ ,
∴，③正确；
作于点M，如图

∵,为等腰直角三角形，,
设，则 ，
在中， ,
即，解得 ，
∴ ，
在正方形中， ,
∴ ,即为等腰直角三角形，
∴,
设正方形的边长为，则，
在中， ,
即，解得
∴ ,
∴
∴
设直线的解析式为，过点
则有 解得
故直线的解析式为；⑤正确；
故正确序号为①③⑤，选 .
11．80
解：∵，
∴的补角．
故答案为：80．
12．
解：由顶点式可知：的顶点坐标为：．
故填：．
【点睛】此题考查的是求抛物线顶点坐标，掌握顶点式：的顶点坐标为是解决此题的关键．
13．2
解：
．
故答案为：2．
14．8
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∵∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP
∴，
即
解得：CD=8米．
故答案为：8．
15．12
解：设，
则，
∴，
∵函数图象位于一、三象限，
∴，
∴取．
故答案为：12．
16．
解：延长交于，过点作于，
∵平分， ，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．
解：，
由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集为：．
18．见解析
证明：，
，即：．
在和中，
，
，
∴．
19．(1)见解析
(2)
（1）解：画树状图为：

共有6种等可能的结果数；
（2）解：∵在6种等可能的结果数其中，恰好选中男生甲和女生A的结果数为1，
所以恰好选中男生甲和女生A的概率．
20．33cm
解：由，，可得四边形是矩形，
∴，，
由题意可得，，
在Rt中，，
∴．
在Rt中，，
∴．
∴
．
答：椅脚高约为．
21．(1)，
(2)
(3)或
（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
∴把代入两个解析式得：，，
解得：，；
（2）解：如图所示，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，此时点P即是所求，
联立一次函数解析式与反比例函数解析式：，
解得：或，
∴点A的坐标为、点B的坐标为，
∵点与点A关于y轴对称，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，将点，代入，得
，
解得： ，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点P的坐标为．
（3）解：观察函数图像，当或时，一次函数图像在反比例函数图像下方，
∴当时，x的取值范围为或．
22．(1)25亿
(2)至少需要组织30名学生观看电影
（1）解：设《奇迹》的票房为x亿；则《四海》的票房为（x-2）亿；《长津湖》的票房为(3x+4)亿．
由题意可得，x+x-2+3x+4＝37
解得：x＝7
所以《长津湖》的票房为3×7+4＝25亿
（2）解：设学生人数为m人，则老师人数为（40-m）人．
由题意可得，m+60（40-m）≤1500
解得：m≥30
所以，至少需要组织30名学生观看电影．
23．(1)见解析
(2)
（1）证明：过点O作于F，
∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC=OF，
∴AB是⊙O的切线；
（2）连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
解得：或（舍），
则，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
解得（舍去）或，
∴，
∴，
∴
24．(1)见解析
(2)
(3)
（1）证明：由题意可知，当时，点与点重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图1，过点作，垂足为，
则，
∵在中，，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图2，取的中点，连接，，则，
∵，
∴，，
∴，
∴点在以点为圆心、为直径的圆上，
画出如图2所示，
由题可知，当一定时，点随着点P运动的轨迹是，圆心是点，连接，，，，
画出如图2所示．对于每个不同的，线段都存在一个最小值，则，，三点共线，如图3所示，
在中，
∵，
∴，
在中，同理可得，
由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，即，
由对称性可知，垂直平分，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴．
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴，
即．
25．(1)
(2)当时，取得最大值，最大值为
(3)是为定值，
（1）解：∵抛物线顶点为，
∴可设抛物线的函数表达式为．
代入点，得．
解得．
∴抛物线的函数表达式为，即；
（2）解：对于，令，则，解得或3．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
如图，过点作轴，交于点．
∴．
∴．
∴．
∴．
设，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
∴直线的函数表达式为．
∴．
∴．
∴．
由抛物线的对称性可知，
∴．
∴
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为．
（3）解：是定值，．理由如下：
∵直线过点，
∴可设直线的函数表达式为．
设，，
联立，
整理，得．
∴，．
∵直线，均过点，
∴设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为．
又∵点在直线上，
∴点坐标也可表示为．
将代入，可解得．
对于，令，则，
∴．
同理可得，．
∵，
∴，．
∴．
而
，
又∵，，
∴．
∴．
∴，为定值．