必修一第三章函数的概念与性质单元测试卷（培优卷）（含解析）

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必修一第三章函数的概念与性质
单元测试卷（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．下列函数中，表示同一个函数的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
2．函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
3．函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图像如图所示，则实数a、b、c的大小关系为（　　）
A．c4．若，则有（　　）
A． B．
C． D．
5．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，则下列说法正确的是（　　）
A．为上的奇函数 B．为上的奇函数
C．为上的偶函数 D．为上的偶函数
7．已知定义在 上的函数 满足 ，且在 上是增函数，不等式 对于 恒成立，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数 的值域为R，那么a的取值范围是（　　）
A． B．
C．（﹣∞，﹣1] D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．下列说法中，不正确的有（　　）
A．若对任意，，当时，，则在上是增函数
B．函数在上是增函数
C．函数在定义域上是增函数
D．函数的单调减区间是
10．下列选项正确的是（　　）
A． 的定义域为 ，则 的定义域为
B．函数 的值域为
C．函数 在 的值域为
D．函数 的值域为
11．下列说法正确的是（　　）
A．函数的增区间是
B．函数是偶函数
C．函数的减区间是
D．幂函数图象必过原点
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为　 　.
13．已知定义在 上的函数 满足： 是奇函数， 是偶函数，则 等于　 　.
14．设集合 ， ，函数 ，若 ，则 的取值范围是　 　．
四、解答题(共5题；共77分)
15．求下列函数的解析式：
（1）已知二次函数满足，且；
（2）已知函数满足：；
16．已知函数．
（1）用定义证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意都有成立，求实数的取值范围．
17．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
18．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，（a＞0）， 若f（﹣1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立
（1）求F（x）的表达式；
（2）当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求k的取值范围．
19．已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 .
（1）求函数f(x)与g(x)的解析式；
（2）设函数 ，若对任意实数x， 恒成立，求实数a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：对于 ， 的定义域为 ， 的定义域为 两函数的定义域不同，不是同一函数．
对于 ， 的定义域为 ， 的定义域为 ，两函数的对应关系不同，不是同一函数．
对于 ， 的定义域为 ， 的定义域为 ，两函数的定义域不同，不是同一函数．
对于 ， 的定义域为 ， 的定义域为 ，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
故答案为：D
【分析】根据同一函数的定义，结合函数的定义域和对应法则，逐项判定，即可求解.
2．【答案】B
【解析】【解答】要使函数有意义，
则 ，解得，
则函数的定义域为。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法和分式函数求定义域的方法，再结合交集的运算法则，进而得出函数的定义域。
3．【答案】A
【解析】【解答】由幂函数图象特征知，a＞1，0＜b＜1，c＜0， 故答案为：A．
【分析】根据题意结合幂函数的图象与性质逐一判断即可得出结论。
4．【答案】C
【解析】【解答】由，有。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合换元法，从而求出函数的解析式。
5．【答案】C
【解析】【解答】为奇函数，，又，，
则可化为：，
在单调递增，，解得：，
的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由为奇函数可化简不等式得到，利用单调性可得自变量的大小关系.
6．【答案】D
【解析】【解答】因为为上的奇函数，为上的偶函数，
所以，，
对于A， ，设，则，故错误；
对于B， ，设，则，故错误；
对于C， ，，设，，故错误；
对于D，， 设， ，所以为偶函数，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据函数奇偶性的定义逐项进行判断，可得答案.
7．【答案】A
【解析】【解答】 为定义在 上的偶函数，图象关于 轴对称
又 在 上是增函数 在 上是减函数
，即
对于 恒成立 在 上恒成立
，即 的取值范围为：
本题正确选项：
【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在 上是减函数，由此可将不等式化为 ；利用分离变量法可得 ，求得 的最大值和 的最小值即可得到结果.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵f（x）= ，
∴x≥1，lnx≥0，
∵值域为R，
∴（1﹣2a）x+3a必须取到所有的负数，
即满足： ，即为﹣1 ，
即﹣1≤a＜ ，
故选：A．
【分析】根据函数解析式得出x≥1，lnx≥0，由题意可得（1﹣2a）x+3a必须取到所有的负数，即满足： ，求解即可．
9．【答案】B,C,D
【解析】【解答】对任意，，当时，，由知：
，所以，A正确，不符合题意；
函数在上先单调递减再单调递增，B错误，符合题意；
函数在定义域上函数图象不连续，在定义域上不是增函数，
C错误，符合题意；
函数的单调减区间是，单调区间不能用连结，D错误，符合题意．
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合单调函数的定义，从而判断出函数的单调性，进而得出函数的单调区间，从而选出不正确的选项。
10．【答案】A,B,C
【解析】【解答】对于A选项，由于函数 的定义域为 ，
对于函数 ， ，解得 ，
所以，函数 的定义域为 ，A选项正确；
对于B选项，令 ，则 ， ，
所以，函数 的值域为 ，B选项正确；
对于C选项，当 时， ，
所以，函数 在 的值域为 ，C选项正确；
对于D选项， ，
所以，函数 的值域为 ，D选项错误.
故答案为：ABC
【分析】 利用抽象函数求定义城的原则可判断A选项的正误；利用换元法结合二次函数的基本性质求得函数 的值城，可判断B选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用反比例函数的值城可判断D选项的正误。
11．【答案】B,C
【解析】【解答】对于A，由解得或，
∴定义域为，
令，则当时，单调递增，
令，其图象为开口向上，对称轴为直线的抛物线，当时，单调递减，当时，单调递增，
又∵定义域为，
∴由复合函数的单调性知，的增区间是，A不符合题意；
对于B，令，定义域为，，都有，
且，∴是偶函数，B符合题意；
对于C，定义域为，
令，则当时，单调递减，
令，由A选项的判断过程，当时，单调递减，当时，单调递增，
∴由复合函数的单调性知，的减区间是，C符合题意；
对于D，幂函数的定义域为，其图象不过原点，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据对数函数的单调性结合复合函数的单调性可判断A；根据函数的奇偶性的定义可判断B；根据指数函数的单调性结合复合函数的单调性可判断C；根据幂函数的图象和性质可判断D.
12．【答案】
【解析】【解答】因为幂函数的图像过点，所以，，易知函数在上是奇函数，且单调递增，所以可化为，即，解得，故取值范围为.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合幂函数的解析式代入法和奇函数的定义和函数的单调性，进而得出x的取值范围。
13．【答案】-12
【解析】【解答】根据题意， 是奇函数，则 ，
由于 是偶函数，则 ，
所以 ，解得 。
故答案为：-12。
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和偶函数的定义，从而解方程组求出函数值。
14．【答案】
【解析】【解答】令 ，则 ，
①若 ，则 ， ，解得： ，不满足 ，舍去；
②若 ，则 ， ，解得： ，即 ，
若 ，则 ， ，解得： ， ；
若 ，则 ， ，解得： ， .
综上所述： 的取值范围为 。
故答案为： 。
【分析】因为集合 ， ， 令 ，则 ，再利用分类讨论的方法结合一元一次不等式求解集的方法求出，再利用元素与集合的关系结合分类讨论的方法，从而结合一元一次不等式求解集的方法求出 的取值范围 。
15．【答案】（1）设，
，因为
所以，，解得，因此，；
（2）令，则，
代入有，
因此，；
【解析】【分析】(1)首先由已知条件即可得出c的取值，整理化简已知条件由此计算出a与b的取值，从而得出函数的解析式。
(2)根据题意令，由此整理已知条件从而即可得出答案。
16．【答案】（1）解：任取，且，
因为，所以，
所以，即.所以在上为单调递增
（2）解：任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，所以时，.
所以实数的取值范围是.
【解析】【分析】(1)根据题意由函数单调性的定义，整理化简已知条件由此即可得出函数的单调性。
(2)由已知条件由分离参数法，即可得出m的不等式，再由函数f(x)的单调性即可得出函数f(x)的最值，从而得出m的取值范围。
17．【答案】（1）解：，
，
（）
即或
在上单调递增，为偶函数
即
（2）解：
，，，
∴
（3）解：由题可知，
，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值是2．
【解析】【分析】(1)由题意利用幂函数的定义和性质，求得m、k的值，可得函数的解析式；
(2)由题意可得 ， 两边平方，解一元二次不等式，求得 的取值范围；
(3)由题意可得 ，利用基本不等式求得 的最小值．
18．【答案】（1）解：∵f（x）=ax2+bx+1（a＞0），
f（﹣1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立；
∴x=﹣ =﹣1，且a﹣b+1=0；
即 ，
解得 ；
∴f（x）=x2+2x+1，
∴F（x）=
（2）解：∵f（x）=x2+2x+1，
∴g（x）=f（x）﹣kx=x2+（2﹣k）x+1，
∵g（x）在[﹣2，2]上是单调函数，
∴x= 应满足：
≥2，或 ≤﹣2，
即k≥6，或k≤﹣2；
∴k的取值范围是{k|k≤﹣2，或k≥6}
【解析】【分析】（1）由题意得函数f（x）的对称轴为x=﹣1，用待定系数法求出f（x）的解析式，从而得F（x）的解析式；（2）由f（x）得g（x）是二次函数，且在[﹣2，2]上是单调函数，知对称轴在[﹣2，2]外，求出k的取值范围．
19．【答案】（1）解：因为 为偶函数， 为奇函数，
且 ，①
所以 ，
即 ，②
由 ，得 ，
由 ，得 ；
（2）解： 恒成立，
即 恒成立.
当 时，显然成立；
当 时， ，
令 ，设 ，
当 ，即 时， .
设 是 上任意两个值，且 ，
则 ，
当 时，
， ， ，
所以 ，
即 ；
当 时，
， ， ，
所以 ，
即 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以当 时，
在 上取得最大值 .
所以 .
当 ，即 时， ，
同理可证，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以当 时， 在 上取得最大值 .
所以 .
综上，实数 的取值范围是 .
【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性，代入整理即可得出结论；（2）把对任意实数x， 恒成立转化为 恒成立， 分三种情况进行讨论，令 ，利用定义证单调区间求出 的最大值，即可得出结果.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 63.0(42.0%)
主观题（占比） 87.0(58.0%)
题量分布 客观题（占比） 12(63.2%)
主观题（占比） 7(36.8%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (31.6%)
2 容易 (36.8%)
3 困难 (31.6%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 函数解析式的求解及常用方法 33.0(22.0%) 4,15,18
2 奇函数 5.0(3.3%) 13
3 幂函数的图象与性质 16.0(10.7%) 3,11,12
4 幂函数的概念与表示 21.0(14.0%) 17
5 复合函数的单调性 6.0(4.0%) 11
6 幂函数的单调性、奇偶性及其应用 26.0(17.3%) 12,17
7 函数的奇偶性 11.0(7.3%) 6,11
8 同一函数的判定 5.0(3.3%) 1
9 奇函数与偶函数的性质 19.0(12.7%) 5,19
10 奇偶性与单调性的综合 5.0(3.3%) 7
11 对数函数的单调性与特殊点 6.0(4.0%) 11
12 偶函数 5.0(3.3%) 13
13 函数的值域 11.0(7.3%) 8,10
14 元素与集合的关系 5.0(3.3%) 14
15 指数函数的单调性与特殊点 6.0(4.0%) 11
16 函数单调性的判断与证明 34.0(22.7%) 9,16,19
17 函数的值 5.0(3.3%) 13
18 基本不等式 21.0(14.0%) 17
19 分段函数的应用 5.0(3.3%) 14
20 函数的定义域及其求法 11.0(7.3%) 2,10
21 函数的单调性及单调区间 11.0(7.3%) 5,9
22 函数单调性的性质 28.0(18.7%) 16,18
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