§1.2 空间向量基本定理
考法1：基底的概念与判断
（多选）给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．若非零空间向量，，满足，，则有
B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面
C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线
D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底
【答案】BCD
【难度】0.94
【知识点】空间向量基底概念及辨析
【分析】举反例否定选项A；利用空间向量基底定义判断选项B，C，D.
【详解】当非零空间向量，，时，
满足，，但与不平行，A错误；
三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确；
能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量，
由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，
即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，C正确；
若，，共面，则，
可知，，共面，与为空间向量的一个基底相矛盾，
故可以构成空间向量的一个基底，D正确，
故选：BCD．
（多选）给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底
C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
D．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则共面
【答案】ACD
【难度】0.94
【知识点】空间向量基底概念及辨析
【分析】根据空间向量的概念，逐项分析即可.
【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；
选项中，根据空间基底的概念，可得不正确；
选项中，因为所以与任何向量都共面，故不能构成一个空间基底，所以正确；
选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点，可得四点共面，所以正确.
故选：ACD.
（多选）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（ ）
A．，，两两不共线，但两两共面
B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得
C．，，能构成空间另一个基底
D．若，则实数，，全为零
【答案】ABD
【难度】0.85
【知识点】空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量
【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可.
【详解】因为构成空间的一个基底，所以，，两两不共线，但两两共面，故A正确；
对空间任一向量，总存在有序实数组，使得，故B正确；
因为， 所以，，共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误；
根据空间向量基本定理可知，若，则实数，，全为零，故D正确；
故选：ABD
已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】空间向量基底概念及辨析
【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可.
【详解】对于A选项，假设、、共面，
则存在、使得 ，所以，，无解，
所以，、、不共面，可以作为空间的一组基底；
对于B选项，因为，则、、共面，
则、、不能作为空间的一组基底；
对于C，因为，所以，、、共面，
则、、不能作为空间的一组基底；
对于D，，则、、共面，
则、、不能作为空间的一组基底.
故选：A.
在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】空间向量基底概念及辨析
【分析】利用不共面的三个向量能作为一组基底一一判断.
【详解】
对A，因为,所以中三个向量共面，
不能作为空间向量的基底，A错误；
对B，因为在正四棱台中，，所以中三个向量共面，
不能作为空间向量的基底，B错误；
对C，，且不共面，
所以中三个向量不共面，能作为一组基底，C正确；
对D，因为三个向量均在平面内，
所以不能作为作为空间向量的基底，D错误；
故选:C.
已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】空间向量基底概念及辨析
【分析】根据空间向量基底的概念逐项判断即可.
【详解】对于A选项，因为，则、、共面，
所以，、、不能构成空间的一组基底；
对于B选项，因为，则、、共面，
所以，、、不能作为空间的一组基底；
对于C选项，因为，则、、共面，
所以，、、不能作为空间的一组基底；
对于D选项，假设、、共面，
则存在、使得，
由于为空间的一组基底，则，该方程组无解，
故假设不成立，即、、不共面，
所以，、、可以作为空间的一组基底.
故选：D.
已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】判定空间向量共面
【分析】根据空间向量基底的定义，任意两个不共线且不为零向量，三个向量不共面，即可判断.
【详解】向量，得与是共面向量, 不能构成空间的一个基底，A错误；
同理，得与是共面向量，不能构成空间的一个基底，B错误；
又与和不共面，所以与可以构成空间的一个基底，C正确；
与是共面向量，不能构成空间的一个基底，D错误.
故选：C.
考法2： 用基向量表示空间某一向量
在空间四边形中，，，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】空间向量基本定理及其应用
【分析】借助空间向量的线性运算法则计算即可.
【详解】
.
故选：B.
平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】用空间基底表示向量
【分析】利用空间向量的基底表示以及线性运算即可求得结果.
【详解】如下图所示：
易知.
故选：D
在三棱锥中，为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】空间向量基本定理及其应用
【分析】根据空间向量基本定理求出答案.
【详解】由题意得为中点，所以，
又因为，所以，
所以，故A项正确.
故选：A.
如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（ ）
A． B．=
C．= D．=
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】用空间基底表示向量
【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量
【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON，
由G是的重心，可得，
则
则
故选：B
在四面体中，为的重心，在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量
【分析】作出辅助线，根据重心性质得到，再根据为的中点，求出.
【详解】取的中点，连接，
因为为的重心，所以，
又，
则，
因为，所以为的中点，
故.
故选：B
考法3： 利用基本定理求参数和模长
如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】用空间基底表示向量
【分析】设，再利用向量的加法法则与减法法则即可求得结果.
【详解】设,
则
故,
故选：B
正方体中，点E是上底面的中心，若，则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】空间向量加减运算的几何表示
【分析】由图结合空间向量加法可得答案.
【详解】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC.
如图，可得，又.
则，，则.
故答案为：
已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ．
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量共面求参数、空间向量基本定理及其应用
【分析】先得到，进一步有，结合四点共面的充要条件即可求解.
【详解】如图所示：
设中点为，连接，因为点G为重心，
所以点在线段上面，
因为
，
所以，
所以，
若M，D，E，F四点共面，则，解得，
故答案为：4.
如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点（点靠近点），若.
(1)以为基底表示；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量
【分析】（1）根据空间向量的线性运算结合图形计算即可；
（2）根据结合数量积的运算律计算即可.
【详解】（1）（1）
（2）
，所以.
如图，在直三棱柱中，，分别为，，的中点，分别记，，为，，.
(1)用，，表示，；
(2)若，，求.
【答案】(1)；.
(2).
【难度】0.65
【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的加减运算
【分析】（1）用空间向量的加减运算分别表示，，，，再转化为，，表示即可；
（2）先把用，，表示，然后平方，把向量的模和数量积分别代入，计算出结果后再进行开方运算求得.
【详解】（1）连结.在直三棱柱中，，，，
则.
.
（2）如图，在直三棱柱中，，，，所以，，又，
所以，，.
，
所以.
在平行六面体中，点是线段上的一点，且.
(1)设，则用表示；
(2)若，且则求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量
【分析】（1）结合向量的线性运算，直接找基底表示即可；
（2）由题易知，然后求的模长即可.
【详解】（1）由题可知
（2）由题可知
所以
考法4：应用空间向量的基底表示解决平行和垂直问题
如图，在四棱台中，底面是一个正方形，平面，用向量法证明：．
【答案】证明见解析
【难度】0.65
【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间位置关系的向量证明
【分析】设，以为基底表示和，并计算即可.
【详解】设，由题设易知三个向量两两垂直，且，
则，，
所以，
所以．
如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点，用向量法证明：.
【答案】证明见解析
【难度】0.85
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】由已知可得，，计算可得，可证结论.
【详解】四面体的所有棱长都等于2，所以，
因为分别是棱的中点，
所以，，
，
所以.
如图，在棱长都相等的平行六面体中，，，两两夹角均为60°.
(1)求的值；
(2)求证：平面.
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】求空间向量的数量积、空间位置关系的向量证明
【分析】（1）由空间向量数量积的运算法则求解，
（2）由数量积为0证明两向量垂直，再由直线与平面垂直的判定定理证明，
【详解】（1）设平行六面体的棱长为1.
令，，，
则，.
则有，
故.
故，
.
（2），
.
故，
.
故，即.
又由（1）知，，平面，
所以平面.
如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．
(1)试用，，表示．
(2)求证：平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.94
【知识点】空间位置关系的向量证明、用空间基底表示向量
【分析】（1）根据点M，N的位置用基底表示向量；
（2）证明向量与平面中的向量共线，即可证明平面．
【详解】（1）
因为，所以，
同理，，
所以；
（2）证明：因为，所以，即，
因为平面，平面，所以平面．
考法5：用向量法求异面直线所成角
如图，在棱长为2的平行六面体中，.
(1)求线段的长度；
(2)求直线与直线的夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】异面直线夹角的向量求法、求空间向量的数量积、用空间基底表示向量
【分析】（1）由题意将分解成的线性组合，由模长公式结合已知条件即可求解.
（2）先把向量分解成的线性组合，此时结合已知条件可以求出的值，再由模长公式求出，最终代入向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）如图所示：
由图可知，
因此由题意有
.
（2）如图所示：
所以，
由（1）可知，
所以由题意有
，
，
又，
且（1）可知，
不妨设直线与直线的夹角为，
所以，
故直线与直线的夹角的余弦值为.
如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，.
(1)用表示，并求EF的长；
(2)求与夹角的大小．
【答案】(1)，
(2)
【难度】0.65
【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量
【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算求即可；
（2）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算可得，即可得结果.
【详解】（1）因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且，，，
可得
，
因为正四面体ABCD的棱长为1，则，且，
可得
，
即，所以EF的长为.
（2）由题意得
，
因此
，
即，即与的夹角为.
．
(1)用向量表示向量，并求；
(2)求．
【答案】(1)，
(2)
【难度】0.65
【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量
【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得；
（2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得.
【详解】（1），
则
，
所以.
（2）由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
所以
，
，
则.§1.2 空间向量基本定理
考法1：基底的概念与判断
（多选）给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．若非零空间向量，，满足，，则有
B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面
C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线
D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底
（多选）给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底
C．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
D．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则共面
（多选）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（ ）
A．，，两两不共线，但两两共面
B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得
C．，，能构成空间另一个基底
D．若，则实数，，全为零
已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
考法2： 用基向量表示空间某一向量
在空间四边形中，，，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（ ）
A． B．
C． D．
在三棱锥中，为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（ ）
A． B．=
C．= D．=
在四面体中，为的重心，在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
考法3： 利用基本定理求参数和模长
如图，正四面体中，分别为中点，为线段上一动点，设，则（ ）
A．1 B． C． D．
正方体中，点E是上底面的中心，若，则 .
已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ．
如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点（点靠近点），若.
(1)以为基底表示；
(2)若，求的值.
如图，在直三棱柱中，，分别为，，的中点，分别记，，为，，.
(1)用，，表示，；
(2)若，，求.
在平行六面体中，点是线段上的一点，且.
(1)设，则用表示；
(2)若，且则求线段的长.
考法4：应用空间向量的基底表示解决平行和垂直问题
如图，在四棱台中，底面是一个正方形，平面，用向量法证明：．
如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点，用向量法证明：.
如图，在棱长都相等的平行六面体中，，，两两夹角均为60°.
(1)求的值；
(2)求证：平面.
如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．
(1)试用，，表示．
(2)求证：平面．
考法5：用向量法求异面直线所成角
如图，在棱长为2的平行六面体中，.
(1)求线段的长度；
(2)求直线与直线的夹角的余弦值.
如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，.
(1)用表示，并求EF的长；
(2)求与夹角的大小．
．
(1)用向量表示向量，并求；
(2)求．
