§1.3 空间向量及其运算的坐标表示
考法1：空间直角坐标系及坐标表示
在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3.
(1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标；
(2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、.
如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，点在平面上，且，则向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
点在空间直角坐标系中的（ ）
A．轴上 B．平面上
C．平面上 D．第一象限内
设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，则向量在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（ ）
A． B．
C． D．
考法2： 空间点的对称问题
已知点关于轴的对称点为，则等于（ ）
A． B． C．2 D．
已知点关于轴的对称点为A，则等于（ ）
A． B． C． D．2
在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ）
A． B．
C． D．
考法3：空间向量的坐标运算
已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
，则（ ）
A． B． C． D．
已知向量，则的值为（ ）
A．9 B． C．7 D．
已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
在空间直角坐标系中，，则线段上靠近点A的三等分点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考法4：空间向量平行与垂直的坐标表示的应用
已知向量，，且与互相平行，则（ ）
A． B． C． D．
已知空间中三点、、，设，.
(1)若向量与互相垂直，求的值；
(2)若，且与共线，求向量.
如图，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.
(1)求的模；
(2)求证：平面.
考法5：利用空间向量的坐标运算求模长
已知在空间直角坐标系中， ，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
设，向量，且，则（ ）
A． B． C．3 D．
已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 .
如图，正四棱台中，，，，M是的中点，Q是BC的中点，在直线上取一点P，使得，则线段PQ的长度为（ ）
A．3 B． C． D．4
在正方体中，，动点满足，则当时， ；当时，的取值范围是 ．
考法6：利用空间向量的坐标运算求夹角
已知，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
（多选）已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（ ）
A． B． C．0 D．1
（多选）已知向量，，其中，则以下命题正确的是（ ）
A．向量与轴正方向的夹角恒为定值（即与c，d无关）；
B．的最大值为；
C．（，的夹角）的最大值为；
D．若定义，则的最大值为.
如图，在棱长为的正方体中，分别是棱、上的点，且.
（1）求线段的长
（2）求异面直线与所成的角
如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，是的中点，．
(1)求．
(2)证明：．
(3)求的值．§1.3 空间向量及其运算的坐标表示
考法1：空间直角坐标系及坐标表示
在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3.
(1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标；
(2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【难度】0.85
【知识点】空间向量的坐标表示、求空间图形上的点的坐标
【分析】（1）以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，再写出各点的坐标即可；
（2）写出的坐标，再根据向量的坐标表示即可得解；
【详解】（1）以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意知，，
则，，，，，；
（2）由题意知，，
故；
如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，点在平面上，且，则向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间向量的坐标表示、用空间向量求点的坐标
【分析】过点作轴交于点，根据已知条件算出三角形的边，利用直角三角形的性质及题中所给条件计算出的长度即可解决问题.
【详解】过点作交于点，如图所示：
因为，，
所以在中有：
得、，
在中，
有，
所以，
所以点的坐标为，
又为原点，所以，
故选：B.
点在空间直角坐标系中的（ ）
A．轴上 B．平面上
C．平面上 D．第一象限内
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】空间中点的位置及坐标特征
【分析】根据坐标平面和坐标轴上点的坐标特点即可判断.
【详解】因为点的竖坐标为0，所以该点在平面上.
故选：B.
设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，则向量在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】空间向量的坐标表示
【分析】依题意以基底表示向量即可得出结论.
【详解】由向量在基底下的坐标为可得，
又，
所以，
即可得向量在基底下的坐标是.
故选：A
在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】空间中点的位置及坐标特征
【分析】根据空间中点在坐标轴和坐标平面上的射影的特点进行求解.
【详解】点在x轴上的射影横坐标不变，纵坐标和竖坐标为0，即，
点在平面上的射影横坐标和竖坐标不变，纵坐标为0，即.
故选：D.
考法2： 空间点的对称问题
已知点关于轴的对称点为，则等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、求空间中两点间的距离
【分析】根据点对称的性质可得点坐标，进而可得.
【详解】由题意，点关于轴的对称点为，
故.
故选：D.
已知点关于轴的对称点为A，则等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、求空间中两点间的距离
【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解.
【详解】点关于轴的对称点为，
所以.
故选：C
在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标
【分析】根据平面对称的特征求解.
【详解】关于平面的对称点的特征为坐标不变，取相反数，
故所求坐标为.
故选：A.
考法3：空间向量的坐标运算
已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】空间向量的坐标运算
【分析】由空间向量的坐标运算计算．
【详解】由已知，
故选：C．
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】空间向量的坐标运算
【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案.
【详解】.
故选：B
已知向量，则的值为（ ）
A．9 B． C．7 D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】空间向量的坐标运算
【分析】直接利用空间向量数量积的坐标形式计算即可.
【详解】因为向量，所以.
故选：C
已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标运算
【分析】根据条件及向量相等的坐标运算，利用向量共面即可求出结果.
【详解】因为，，，且，，共面，
所以，又，得到，解得，
故选：D.
在空间直角坐标系中，，则线段上靠近点A的三等分点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、空间向量的坐标运算
【分析】设线段上靠近点A的三等分点为，则有，根据向量坐标的线性运算即可求解.
【详解】设线段上靠近点A的三等分点为，则有，
又，所以，
所以，即，所以，
故选：A.
考法4：空间向量平行与垂直的坐标表示的应用
已知向量，，且与互相平行，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【分析】由空间向量共线的坐标表示求解
【详解】，，
则，解得，
故选：D
已知空间中三点、、，设，.
(1)若向量与互相垂直，求的值；
(2)若，且与共线，求向量.
【答案】(1)
(2)或
【难度】0.85
【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示
【分析】（1）求出向量、的坐标，进而求出向量的坐标，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可；
（2）设，其中，求出的值，利用向量模的性质求出的值，即可得出向量的坐标.
【详解】（1）由题意可得，，
所以，，
因为向量与互相垂直，则，解得.
（2）由题意可得，则，
因为与共线，设，其中，则，解得，
当时，；当时，.
综上所述，或.
如图，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.
(1)求的模；
(2)求证：平面.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间位置关系的向量证明
【分析】（1）先建立直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长；
（2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可.
【详解】（1）因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，
所以，则.
（2）依题意得、、、、，
则，，，
所以，，
则，，即，，
又因为平面，所以平面.
考法5：利用空间向量的坐标运算求模长
已知在空间直角坐标系中， ，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示
【分析】根据空间向量的坐标运算结合投影向量的定义分析求解.
【详解】由题意可得，，
所以在方向上的投影向量为.
故选：C.
设，向量，且，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量模长的坐标表示
【分析】利用空间向量的平行、垂直以及数量积的坐标表示求解.
【详解】因为，所以，解得，所以
又因为，所以，解得，所以，
所以，则，
故选：A.
已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 .
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示
【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解．
【详解】是空间相互垂直的单位向量，
设，，设，
又，，
又，
，
，其中，
，
，
当且仅当时取得等号，
的最小值是4．
故答案为：4．
如图，正四棱台中，，，，M是的中点，Q是BC的中点，在直线上取一点P，使得，则线段PQ的长度为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示
【分析】根据题意，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，令，利用，得即可求出，再求线段PQ的长度即可.
【详解】如图，连接AC，BD交于点O，连接，交于点，连接．
由正四棱台的结构特征，易知AC，BD，两两垂直，
故以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
因为在正四棱台中，，，，
所以，，，
则，，，，
，．
因为M是的中点，所以．令，
则．
，
要使，则，
则，
解得，所以，
所以，
所以．
故选：C.
在正方体中，，动点满足，则当时， ；当时，的取值范围是 ．
【答案】 0
【难度】0.65
【知识点】求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示
【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标, ，当时，，．，．从而当时，取得最小值，最小值为1；当或，时，取得最大值，最大值为．
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，，，
，，
所以当时，，．
因为，，所以，
所以，，．
所以，
所以，．
当时，取得最小值，最小值为1；
当或，时，取得最大值，最大值为．
所以．
故答案为：0，
考法6：利用空间向量的坐标运算求夹角
已知，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示
【分析】首先求出与，再根据计算可得.
【详解】因为，
所以，，
设与的夹角为，则，
又，所以，即与的夹角为.
故选：B
（多选）已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】AC
【难度】0.85
【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量平行的坐标表示
【分析】根据题意分析得，再去除共线的情况即可.
【详解】由题意得，再去掉其共线反方向的情况，
则，解得，当，共线时，解得，
故且，对照选项知AC正确，BD错误.
故选：AC.
（多选）已知向量，，其中，则以下命题正确的是（ ）
A．向量与轴正方向的夹角恒为定值（即与c，d无关）；
B．的最大值为；
C．（，的夹角）的最大值为；
D．若定义，则的最大值为.
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标运算
【分析】取轴的正方向单位向量，求出与的夹角即可判断A；计算,利用不等式求出最大值即可判断B；利用数量积求出夹角的最大值，即可判断C；根据定义求出的最大值即可判断D．
【详解】对于A，取轴的正方向单位向量，
则，
∴向量与轴正方向的夹角恒为定值，故A正确；
对于B，，
当且仅当时取等号，
因此的最大值为1，故B错误；
对于C，由B可得，∴，
∴，
∴的最大值为，故C正确；
对于D，由C可知：，
∴，，
∴，故D正确．
故选：ACD.
如图，在棱长为的正方体中，分别是棱、上的点，且.
（1）求线段的长
（2）求异面直线与所成的角
【答案】（1）；（2）.
【难度】0.85
【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间向量模长的坐标表示
【分析】用空间向量的方法：以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，求出的坐标，进而可求出，与的坐标；
（1）由向量的模的坐标表示即可求出结果；
（2）求出与夹角的余弦值，即可得出结果.
【详解】
以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，根据题意及，可得：，，，，，，
（1）
（2），故异面直线与所成的角为.
如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，是的中点，．
(1)求．
(2)证明：．
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】求空间中两点间的距离、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间位置关系的向量证明
【分析】（1）根据题设条件建立空间直角坐标系，求出的坐标后可取；
（2）利用向量垂直的坐标形式可证明；
（3）求出的坐标后利用夹角公式可求的值．
【详解】（1）
因为底面，底面是正方形，故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
而，故，
故.
（2）因为，故，故，
所以，所以.
（3）由（1）、（2）可得，而，
故，故，
