§1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
考法1：求平面的法向量
已知点，则平面的法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】求平面的法向量
【分析】根据法向量的求法求得正确答案.
【详解】，设平面的法向量为，
则，则，只有A选项符合.
故选：A
如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求平面的法向量
【分析】根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解.
【详解】是正方形，且，
，
，
，，，，
，，
又，
，，
平面的法向量为，
则，得，，
结合选项，可得，
故选：C.
《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】求平面的法向量
【分析】根据题意，设，可得、、的坐标，由此可得向量、的坐标，由此可得关于、、的方程组，利用特殊值求出、、的值，即可得答案．
【详解】根据题意，设，则，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则有，令，可得，则.
故选：B．
已知平面，其中点，，则下列各点在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【分析】利用进行验证．
【详解】，，
若，则，，，A错；
若，则，，，B错；
若，则，，，C错；
若，则，，，D正确．
故选：D．
设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量平行，从而可求出的值.
【详解】因为直线垂直于平面α，所以直线的方向向量与平面的法向量平行，
即，解得.
故选：A.
考法2：利用方向向量、法向量判断线面位置关系
已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．或
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】利用直线的方向向量与平面的法向量的数量积结果即可判断得解.
【详解】因为，，
所以，则，
又是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，
所以或.
故选：D.
已知为直线l的方向向量，，是平面，的法向量（，是不同平面），那么下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】运用空间向量判断线、面位置关系即可.
【详解】因为为直线l的方向向量，,是平面，的法向量（，是不同平面），
对于①，若，则，
由于不确定直线l是否在平面内，当直线l在平面内，则不成立，故①不成立；
对于②，若，则，故②正确；
对于③，若，则，故③正确；
对于④，若，即也是平面的法向量，所以，故④不成立．
故选：B.
给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．平面的法向量分别为，则
B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
D．平面经过三个点，向量是平面的法向量，则
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明
【分析】对于A，由两平面的法向量是否共线进行判断，对于B，由直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零判断，对于C，由两直线的方向向量数量积为零进行判断，对于D，求出的坐标，再由数量积为零列关于的方程组求解.
【详解】对于A，若，则，所以，此方程组无解，所以与不共线，所以不平行，所以A错误，
对于B，因为，所以，所以或∥，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以l与m垂直，所以C正确，
对于D，由，得，因为向量是平面的法向量，所以，得，所以，所以D错误，
故选：C
考法3： 用向量的方法证明空间中的平行关系
如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，，E是PA的中点，，.
证明：平面DEF.
【答案】证明见解析
【难度】0.65
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】以点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，根据空间向量中的线面关系证明即可.
【详解】如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
因为，，
所以，
则，
设平面的法向量为，
则有，令，则，
所以，
因为，所以，
又平面，
所以平面.
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．求证：平面
【答案】证明见解析
【难度】0.85
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】建立空间直角坐标系，应用向量法求证.
【详解】如图建立空间直角坐标系，
则，
，， ．
显然平面的一个法向量为，
而，
∵，平面，∴MN//平面BCE．
如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，点E在线段A1D上，且A1E=2ED.
（1）证明:BD1⊥AC；
（2）证明:BD1∥平面ACE.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明
【分析】（1）以中点为原点，中点为，方向为轴，方向为轴，方向为轴，采用建系法即可证明BD1⊥AC；
（2）设E(x，y，z)，由A1E=2ED，求出点坐标，再设=λ+μ，求出对应值，即可证明BD1∥平面ACE
【详解】（1）设AC与BD交于点O，A1C1与B1D1交于点O1，连接OO1，设AB=a，AA1=b.如图，建立空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，A，B，C，D，
A1，D1，
∴=(-a，0，b)，=(0，a，0)，
∴·=0，∴BD1⊥AC.
（2）设E(x，y，z)，∵A1E=2ED，∴=2，即x，y+a，z-b=2，
解得x=-a，y=-a，z=，即E，
∴=.
设=λ+μ(λ，μ∈R)，则(-a，0，b)=λ(0，a，0)+μ，
即解得
即=+3.
∴共面，又BD1 平面ACE，
∴BD1∥平面ACE.
在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．
【答案】证明见解析
【难度】0.65
【知识点】证明面面平行、空间位置关系的向量证明
【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证．
【详解】因为，，是棱的中点，
所以，所以为正三角形．
因为为等腰梯形，，，
所以．
取的中点，连接，则，所以．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
所以，，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面.
在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解.
【详解】
根据已知条件，建立如图所示：
以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系，
，，，，，
，，
，
，
设平面的一个法向量，
，，则，
令，有，，所以，
平面，则，即，
解得.
故答案为：
考法4：用向量的方法证明空间中的垂直关系
如图，在正方体中，是的中点，是的中点.
(1)在平面内确定一点，使平面；
(2)证明：棱上不存在点，使平面平面.
【答案】(1)当点的坐标为时，平面.
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】空间位置关系的向量证明、空间线段点的存在性问题
【分析】（1）根据证明线面垂直的向量方法，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，表示出方向向量，列出方程组，求出结果；
（2）根据证明面面平行的向量方法，设出点的坐标，证明面上两条直线方向向量，不能同时与另一个面的法向量垂直即可.
【详解】（1）
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，，，，，，
设，.
因为，，，又，不共线，
所以当时，平面.
所以，解得，，
所以当点的坐标为时，平面.
（2）设平面的法向量为，则，
因为，，所以，
令，则，，所以平面的一个法向量.
若平面平面，则也是平面的一个法向量.
因为，，
所以，即，得，
此时，
所以不是平面的一个法向量，即与平面不垂直.
所以棱上不存在点，使平面平面.
已知三棱柱中，，，且，，侧面底面，是的中点. 求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【难度】0.65
【知识点】证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、空间位置关系的向量证明
【分析】
分别取,的中点,证明平面，建立空间直角坐标系，分别求得相关点坐标和相关向量的坐标，计算出平面和平面的法向量，由坐标运算得两法向量垂直即可推理得到.
【详解】
在中，且，由余弦定理，
得解得，得.
在中，，则为正三角形.
如图，取的中点O，连接，则，又平面平面，
平面平面平面，所以平面.
取的中点E，连接OE，则，而，所以，
由平面，所以
故可以O为原点，以所在直线为轴建立如图空间直角坐标系，
则，
所以
设平面和平面的一个法向量分别为，
则
令，则，
所以，所以，
故平面平面.
（多选）如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（ ）
A． B．
C．点必在线段上 D．平面
【答案】ACD
【难度】0.4
【知识点】证明线面平行、空间位置关系的向量证明、求平面的法向量
【分析】建立适当的空间直角坐标系，设出点，由题意，从而可得，对于A，只需验证是否成立即可；对于B，只需验证是否成立即可；对于C，令，判断关于的方程是否有解即可；对于D，求出平面的法向量，验证是否成立即可.
【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如下图所示，
则，
设，
则，
由，
可得，即，
又，则，
故，故选项A判断正确；
由，
可得，
则两向量与不垂直，故与不垂直，故选项B判断错误；
又，
令，则有，解之得
此时均成立.
故点必在线段上，故选项C判断正确；
设平面的一个法向量为，
又.
则，令，则，则，
由，
可得，又平面，
则平面，故选项D判断正确.
故选：ACD.
如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、补全线面垂直的条件
【分析】取为上靠近的四等分点，确定，的轨迹为线段，计算线段长度的最值得到答案.
【详解】平面，平面，则，
，，故，
取为上靠近的四等分点，则，故，
现在说明此时平面，
平面，平面，故，
又，，平面，故平面，
平面，故，且，
又，，平面，故平面，
故的轨迹为线段，，故的最大值为.
故选：A.
《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】空间位置关系的向量证明
【分析】根据题意可以建立空间直角坐标系，根据线面垂直，则直线的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例关系.
【详解】因为平面，底面是矩形，在处建立空间直角坐标系如图所示：
设，则，所以
，
设平面的法向量为，则，即
，令，得，所以法向量为，
设，因为，
因为平面，则，所以，解得，
则.
故选：B
在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点.点为正方体表面上的动点，满足.给出下列四个结论，不正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得平面
C．存在点，使得
D．存在点，使得
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】空间向量的坐标运算、空间位置关系的向量证明
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断A，由，得到方程组，找到符合题意的点，即可判断B，找出平行直线再由坐标判断是否垂直可判断C，设点的坐标根据条件列出方程组，即可判断D.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，
则，
对于A，由正方体性质知当P在时，线段长度的最大值为，
此时，，
所以，即满足，即存在点，使得，故A正确；
对于B：设，则，，，
若平面，因为平面，所以，，
即，则，显然满足题意，
故存在点，使得平面，故B正确；
对于C，取正方形的中心M，连接，易知，
所以四边形为平行四边形，所以，故运动到处时，，
此时，，，即不满足，
综上不存在点，使得，故C错误；
对于D，设，则，，若存在点，使得，
由，，可得方程组，
化简可得，解得，
显然当时满足题意，即存在点，使得，故D正确；
故选：C§1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
考法1：求平面的法向量
已知点，则平面的法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（ ）
A． B． C． D．
《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
已知平面，其中点，，则下列各点在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
考法2：利用方向向量、法向量判断线面位置关系
已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．或
已知为直线l的方向向量，，是平面，的法向量（，是不同平面），那么下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．4
给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．平面的法向量分别为，则
B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
D．平面经过三个点，向量是平面的法向量，则
考法3： 用向量的方法证明空间中的平行关系
如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，，E是PA的中点，，.
证明：平面DEF.
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．求证：平面
如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，点E在线段A1D上，且A1E=2ED.
（1）证明:BD1⊥AC；
（2）证明:BD1∥平面ACE.
在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．
在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 .
考法4：用向量的方法证明空间中的垂直关系
如图，在正方体中，是的中点，是的中点.
(1)在平面内确定一点，使平面；
(2)证明：棱上不存在点，使平面平面.
已知三棱柱中，，，且，，侧面底面，是的中点. 求证：平面平面.
（多选）如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（ ）
A． B．
C．点必在线段上 D．平面
如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（ ）
A． B． C． D．
在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点.点为正方体表面上的动点，满足.给出下列四个结论，不正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得平面
C．存在点，使得
D．存在点，使得
