2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 388.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-01 13:44:17 | ||
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文档简介
2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系
学习目标
1.会解一元二次方程，能够对二次三项式实施因式分解，会通过因式分解解一元二次方程。
2.理解一元二次方程根与系数的关系。
二、重难点
重点：一元二次方程的解法
难点：一元二次方程根与系数的关系应用
三、知识梳理
1.一元二次方程的解集：
一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．
(1)当 Δ>0时，方程的解集为________________；
(2)当 Δ＝0时，方程的解集为________；
(3)当 Δ<0时，方程的解集为________．
注意：一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2；二是二次项系数不为0.判断方程解的情况，需依据判别式的符号。若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论.
2.一元二次方程的解法
配方法 解法步骤：（1）化二次项系数为________； （2）移项：把________项移到方程的右边，二次项和一次项移到方程的左边； （3）配方：方程两边都加上________，使左边配成完全平方的形式； （4）解方程：若方程右边是非负数，通过直接开平方法求方程的根.
公式法 一元二次方程当时，________.
因式分解法 一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生的形式，则可将原方程化为两个________方程，即0或，从而得方程的两根
3.一元二次方程根与系数的关系：
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝________，x1x2＝________．
四、应用举例
例1 已知一元二次方程的两根为与，求下列各式的值.
（1） （2）
例2 已知关于的方程的两根同号，求范围.
五、课堂训练
1.已知，，求，.
2.已知关于x的方程有两个相等的实数根，求实数m的取值集合.
3.求下列方程的解集：
（1）； （2）.
4.已知关于x的方程的解集为空集，求实数m的取值范围.
5.已知方程的两根为与，求下列各式的值：
（1）； （2）.
6.已知关于x的方程的两根同号，求实数m的取值范围.
7.求关于x的方程的解集.
8.《九章算术》第九章“勾股”问题十二：今有户①不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从②之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪③各几何.
①户：门；②从：通“纵”；③邪：指门的对角线长.
三、课后练习
1.若下列3个关于x的方程，，中最多有两个方程没有实数根，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.已知二次方程的一个根为1，则另一个根为( )
A. B. C.2 D.4
3.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数q的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若m，n满足，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.设关于x的一元二次方程有两个实根，，则( )
A. B.-1 C.1 D.m
6.已知与直线交于两点，它们的横坐标是、，若直线与x轴交点的横坐标是，则( )
A. B.
C. D.
7.（多选）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是( )
A.方程有一个正根和一个负根的充要条件是
B.方程有两个正根的充要条件是或
C.方程无实数根的一个必要条件是
D.当时，方程的两个实数根之和为0
8.关于x的方程的两个根为素数，则___________.
9.已知一元二次方程有两个正实根，则实数m的取值范围是___________.
10.已知关于x的方程的两个实数根为，.
（1）求实数k的取值范围；
（2）当时，求的值；
（3）若，求实数k的值.
答案及解析
三、知识梳理
1.（1）
（2）
（3）
2.配方法：1 常数 一次项系数一半的平方
公式法：
因式分解法：一元一次
3.－
五、课堂训练
1.答案：，
解析：，
，
，.
2.答案：
解析：方程有两个相等的实数根，
，
解得.
实数m的取值集合为.
3.答案：（1）
（2）
解析：（1），
，
解得或，
故、、、，
方程的解集为.
（2），
，
，
解得或，
方程的解集为.
4.答案：
解析：当时，方程化为，解得，不合题意；
当时，要使方程的解集为空集，
则，解得.
综上，实数m的取值范围是.
5.答案：（1）
（2）
解析：由方程得，.
（1）；
（2）.
6.答案：
解析：由已知关于x的方程的两根同号，
可得解得.
故实数m的取值范围是.
7.答案：见解析
解析：原方程化为，
当时，方程的解集为；
当时，方程的解集为；
当时，方程的解集为.
8.答案：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺
解析：根据题意，作图如下：
设门的对角线长为x尺，即，
则；
.
又在直角三角形BCD中，，
由勾股定理，得，
即.
整理得，
因式分解，得，
解得，.
因为且，所以舍去，
所以（尺），（尺）.
故门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺.
六、课后练习
1.答案：A
解析：假设3个关于x的方程都没有实数根，则即所以，
所以若这3个关于x的方程中最多有两个方程没有实数根，则实数a的取值范围是.
故选：A.
2.答案：A
解析：设另一根为x，由韦达定理可知，，
即，
故选：A.
3.答案：B
解析：因为有两个不相等的实数根，所以，所以.
4.答案：A
解析：由题意知m，n是方程的两个不同实根，则，，所以.
5.答案：C
解析：由题意知，，故.
6.答案：C
解析：由题设，、是方程的两个根，且，
所以，，则，，
综上，，.
故选：C.
7.答案：BC
解析：设方程有两个根，.对于A，，所以该方程不可能有一个正根和一个负根，所以A错误；对于B，方程有两个正根的充要条件是解得或，所以B正确；对于C，方程无实数根，则，解得，又，所以C正确；对于D，当时，方程无实数根，所以D错误.
8.答案：14
解析：设关于x的方程的两根分别为、，且
则因为、均为素数，所以、中一个是偶数一个是奇数，
故，，所以.
故答案为：.
9.答案：
解析：设两个正实数根分别为，.
故答案为：.
10.答案：（1）实数k的取值范围为
（2）
（3）
解析：（1）因为方程有两个实数根，
所以，即，解得，
即实数k的取值范围为.
（2）当时，方程为，
则所以.
（3），
又所以，
整理可得，解得或.
又由（1）知，所以.
学习目标
1.会解一元二次方程，能够对二次三项式实施因式分解，会通过因式分解解一元二次方程。
2.理解一元二次方程根与系数的关系。
二、重难点
重点：一元二次方程的解法
难点：一元二次方程根与系数的关系应用
三、知识梳理
1.一元二次方程的解集：
一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．
(1)当 Δ>0时，方程的解集为________________；
(2)当 Δ＝0时，方程的解集为________；
(3)当 Δ<0时，方程的解集为________．
注意：一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2；二是二次项系数不为0.判断方程解的情况，需依据判别式的符号。若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论.
2.一元二次方程的解法
配方法 解法步骤：（1）化二次项系数为________； （2）移项：把________项移到方程的右边，二次项和一次项移到方程的左边； （3）配方：方程两边都加上________，使左边配成完全平方的形式； （4）解方程：若方程右边是非负数，通过直接开平方法求方程的根.
公式法 一元二次方程当时，________.
因式分解法 一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生的形式，则可将原方程化为两个________方程，即0或，从而得方程的两根
3.一元二次方程根与系数的关系：
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝________，x1x2＝________．
四、应用举例
例1 已知一元二次方程的两根为与，求下列各式的值.
（1） （2）
例2 已知关于的方程的两根同号，求范围.
五、课堂训练
1.已知，，求，.
2.已知关于x的方程有两个相等的实数根，求实数m的取值集合.
3.求下列方程的解集：
（1）； （2）.
4.已知关于x的方程的解集为空集，求实数m的取值范围.
5.已知方程的两根为与，求下列各式的值：
（1）； （2）.
6.已知关于x的方程的两根同号，求实数m的取值范围.
7.求关于x的方程的解集.
8.《九章算术》第九章“勾股”问题十二：今有户①不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从②之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪③各几何.
①户：门；②从：通“纵”；③邪：指门的对角线长.
三、课后练习
1.若下列3个关于x的方程，，中最多有两个方程没有实数根，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.已知二次方程的一个根为1，则另一个根为( )
A. B. C.2 D.4
3.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数q的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若m，n满足，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.设关于x的一元二次方程有两个实根，，则( )
A. B.-1 C.1 D.m
6.已知与直线交于两点，它们的横坐标是、，若直线与x轴交点的横坐标是，则( )
A. B.
C. D.
7.（多选）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是( )
A.方程有一个正根和一个负根的充要条件是
B.方程有两个正根的充要条件是或
C.方程无实数根的一个必要条件是
D.当时，方程的两个实数根之和为0
8.关于x的方程的两个根为素数，则___________.
9.已知一元二次方程有两个正实根，则实数m的取值范围是___________.
10.已知关于x的方程的两个实数根为，.
（1）求实数k的取值范围；
（2）当时，求的值；
（3）若，求实数k的值.
答案及解析
三、知识梳理
1.（1）
（2）
（3）
2.配方法：1 常数 一次项系数一半的平方
公式法：
因式分解法：一元一次
3.－
五、课堂训练
1.答案：，
解析：，
，
，.
2.答案：
解析：方程有两个相等的实数根，
，
解得.
实数m的取值集合为.
3.答案：（1）
（2）
解析：（1），
，
解得或，
故、、、，
方程的解集为.
（2），
，
，
解得或，
方程的解集为.
4.答案：
解析：当时，方程化为，解得，不合题意；
当时，要使方程的解集为空集，
则，解得.
综上，实数m的取值范围是.
5.答案：（1）
（2）
解析：由方程得，.
（1）；
（2）.
6.答案：
解析：由已知关于x的方程的两根同号，
可得解得.
故实数m的取值范围是.
7.答案：见解析
解析：原方程化为，
当时，方程的解集为；
当时，方程的解集为；
当时，方程的解集为.
8.答案：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺
解析：根据题意，作图如下：
设门的对角线长为x尺，即，
则；
.
又在直角三角形BCD中，，
由勾股定理，得，
即.
整理得，
因式分解，得，
解得，.
因为且，所以舍去，
所以（尺），（尺）.
故门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺.
六、课后练习
1.答案：A
解析：假设3个关于x的方程都没有实数根，则即所以，
所以若这3个关于x的方程中最多有两个方程没有实数根，则实数a的取值范围是.
故选：A.
2.答案：A
解析：设另一根为x，由韦达定理可知，，
即，
故选：A.
3.答案：B
解析：因为有两个不相等的实数根，所以，所以.
4.答案：A
解析：由题意知m，n是方程的两个不同实根，则，，所以.
5.答案：C
解析：由题意知，，故.
6.答案：C
解析：由题设，、是方程的两个根，且，
所以，，则，，
综上，，.
故选：C.
7.答案：BC
解析：设方程有两个根，.对于A，，所以该方程不可能有一个正根和一个负根，所以A错误；对于B，方程有两个正根的充要条件是解得或，所以B正确；对于C，方程无实数根，则，解得，又，所以C正确；对于D，当时，方程无实数根，所以D错误.
8.答案：14
解析：设关于x的方程的两根分别为、，且
则因为、均为素数，所以、中一个是偶数一个是奇数，
故，，所以.
故答案为：.
9.答案：
解析：设两个正实数根分别为，.
故答案为：.
10.答案：（1）实数k的取值范围为
（2）
（3）
解析：（1）因为方程有两个实数根，
所以，即，解得，
即实数k的取值范围为.
（2）当时，方程为，
则所以.
（3），
又所以，
整理可得，解得或.
又由（1）知，所以.