2.2.1不等式及其性质 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.2.1不等式及其性质
学习目标
1．了解不等式的性质，会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系．
2．会用比较法比较两实数的大小．
二、重难点
重点：不等式的性质运用，用比较法比较大小
难点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系．
三、知识梳理
1.比较实数大小的依据
依据 如果________，那么； 如果________，那么； 如果________，那么
结论 确定任意两个实数的大小关系，只需确定它们的差与________的大小关系即可
通过比较两式之差的符号来判断两式大小的方法通常称为________.
2.不等式的性质
性质1：如果，那么________.
性质2：如果，那么________.
性质3：如果，那么________.
性质4：如果，那么.
性质5：.
3.不等式的几个常用推论
推论1：如果，那么________.
推论2：如果，那么________.
推论3：如果，那么________.
推论4：如果，那么.
推论5：如果，那么.
4.反证法
首先假设结论的________成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立. 这种得到数学结论的方法称为反证法，反证法是一种间接证明的方法.
5.综合法
综合法中，最重要的推理形式为________，其中是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论.
应用举例
例1：京沪线上，复兴号列车跑出了350km/h的速度，这个速度的2倍再加上100km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
解：设复兴号列车速度为v1，
民航飞机速度为v2，
普通客车速度为v3．
v1，v2的关系：2v1＋100≤v2，
v1，v3的关系：v1＞3v3．
例2：已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
解：3x3－（3x2－x＋1）＝（3x3－3x2）＋（x－1）
＝3x2（x－1）＋（x－1）＝（3x2＋1）（x－1）．
∵x≤1，∴x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴（3x2＋1）（x－1）≤0，∴3x3≤3x2－x＋1．
例3：某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
解：设该单位职工有n人（n∈N*），全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·（n－1）＝x＋xn，y2＝nx．
因为y1－y2＝x＋xn－nx
＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2．
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
五、课堂训练
1.正文中不等式的性质和推论，如果都加上等号，结论仍然成立吗？把成立的结论重新叙述一遍.
2.判断下列命题的真假：
（1）当时，；（2）当时，；（3）当且时，.
3.用“>”或“<”填空：
（1）__________； （2）__________；
（3）__________； （4）当c__________0时，；
（5）__________；（6），__________bd.
4.求证：如果，，那么.
5.用反证法证明.
6.利用正比例函数给出不等式性质2和性质3的直观解释.
7.用“>”或“<”填空：
（1）__________； （2）__________；
（3），__________bc； （4）__________1；
（5）__________； （6）__________.
8.证明，并说明等号成立的条件.
9.已知a，b，m都是正实数，，求证：.
六、课后练习
1.若，，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题为真命题的是( )
A.若，则 B.若，，则
C.若，则 D.若，则
3.从平面直角坐标系的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列关于所取点的说法中一定正确的是( )
A.第一象限的点比第二象限的点多 B.第二象限的点比第三象限的点多
C.第三象限的点比第一象限的点多 D.第四象限的点比第二象限的点多
4.下列叙述正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
5.已知a，b，，则下列说法中错误的是( )
A.， B.，
C. D.
6.（多选）下列命题中成立的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，，则 D.若，，则
7.（多选）下列说法中正确的是( )
A.若，，则：
B.若，，则：
C.若，，则：
D.若，，则：
8.用不等号“>”或“<”填空：
（1）如果，，那么_________；
（2）如果，，那么ac_________bd；
（3）如果，那么_________；
（4）如果，那么_________.
9.设，，，，则A，B的大小关系是__________.
10.（1）已知，，求证：；
（2）已知，，求证：；
（3）已知，，求证：.
答案及解析
三、知识梳理
1. 0
作差比较法
2.
3.
4.否定
5.
五、课堂训练
1.答案：见解析
解析：正文中不等式的性质和推论，如果都加上等号，结论仍然成立，成立的结论如下：
性质1：，
性质2：，，
性质3：若，
性质3推论：，，
性质4：若，，
性质4推论：，，
性质5：，，
性质6：，.
2.答案：（1）真命题
（2）假命题
（3）真命题
解析：（1）因为，可得，即“当时，”为真命题；
（2）当时，不妨取，不能推出，即“时，”为假命题；
（3）当且时，可得，即“当且时，”为真命题.
3.答案：（1）> （2）< （3）> （4）< （5）> （6）<
解析：（1），；
（2），，；
（3），，；
（4）当时，；
（5），，；
（6），，，则，即.
故答案为：（1）>（2）<（3）>（4）<（5）>（6）<.
4.答案：证明见解析
解析：证明：因为，所以.
又，所以.
因为，
所以，
即.
5.答案：证明见解析
解析：证明：假设，即，
两边平方得.
即，即，这与矛盾，
因此假设不成立，
故.
6.答案：见解析
解析：设正比例函数为，则不等式的性质2和性质3可解释如下：
当时，函数值y随x的增大而增大，
因为，所以.
当时，函数值y随x的增大而减小，
因为，所以.
7.答案：（1）> （2）> （3）> （4）< （5）> （6）<
解析：（1）由，则；
（2）由，则，则，即；
（3）由，，则，即，即；
（4）由，则，则，即，即；
（5）由，则，，则，即，则；
（6），，，即.
故答案为：（1）>（2）>（3）>（4）<（5）>（6）<.
8.答案：证明见解析
解析：证明：因为.
因为，，当且仅当时，等号成立.
所以，
所以，当且仅当时，等号成立.
9.答案：证明见解析
解析：证明：因为，
又a，b，m都是正数，且，
所以，，
所以.
即.
六、课后练习
1.答案：D
解析：因为，，则当时，，A说法错误;
因为，所以，B说法错误;
因为，，所以，C说法错误，D说法正确;
故选：D
2.答案：D
解析：对于A，因为，所以，，所以，即，故A错误；
对于B，因为，所以，又，所以，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，若，则，，所以，故D正确.故选D.
3.答案：D
解析：设分别从第一、二、三，四象限中取，，，个点，则，两式相加得，所以，故选D.
4.答案：D
解析：对于A，若，不妨取，，则，故A错误；
对于B，若，不妨取，，此时，故B错误；
对于C，若，不妨取，，此时，故C错误；
对于D，因为幂函数在R上单调递增，若，即，则，故D正确；
故选：D.
5.答案：C
解析：对于A，，不等式两边同时除以可得，A正确;
对于B，，不等式两边同时乘以c，可得，B正确;
对于C，因为，所以，所以，C错误;
对于D，，，所以，D正确.
故选:C.
6.答案：BC
解析：对于A，，时，，，不满足，故A错误，
对于B，由于，，故，B正确，
对于C，若，则，
又，故，C正确，
对于D，若，则，
结合，则，故，D错误，
故选：BC
7.答案：AC
解析：对于A，由，，即，则，故A正确;
对于B，由，则，由，则，故B错误;
对于C，由，则，由，则，故C正确;
对于D，当，且时，，即，故D错误.
故选：AC.
8.答案：（1）> （2）< （3）< （4）<
解析：（1），.，.
（2），.，，.
（3），，，，，
，即.
（4）.所以，.
于是，即，即.
，.
故答案为：（1）>；（2）<；（3）<；（4）<.
9.答案：
解析：，，因为，，所以，所以，所以.
10.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）证明：因为，，所以，.
根据推论2，得.
（2）证明：因为，所以.
又因为，所以，
即，因此.
（3）证明：因为，根据（2）的结论，得.
又因为，所以根据推论3可知，
即.