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资源详情
高中数学
人教B版(2019)
必修 第一册
第二章 等式与不等式
2.2不等式
2.2.3一元二次不等式的解法
2.2.3一元二次不等式的解法 学案(含答案)2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册
文档属性
名称
2.2.3一元二次不等式的解法 学案(含答案)2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册
格式
docx
文件大小
483.0KB
资源类型
教案
版本资源
人教B版(2019)
科目
数学
更新时间
2025-09-01 10:30:31
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文档简介
2.2.3一元二次不等式的解法
学习目标
1. 会用因式分解法或配方法解一元二次不等式,借助二次函数的图像写出一元二次不等式的解集。
2. 能将简单的分式不等式转化为一元二次不等式求解.
二、重难点
重点:一元二次不等式的解法
难点:含参数的一元二次不等式的解法
三、知识梳理
1.实数符号之间的关系
________或
________或
2.一元二次不等式及其解集
(1)一元二次不等式:一般地,形如________的不等式称为一元二次不等式,其中是常数,而且,式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.
(2)一元二次不等式所有解组成的________为一元二次不等式的解集.
3.一元二次不等式的解法
(1)因式分解法:一般地,如果,则不等式的解集是________,不等式的解集是________.
(2)配方法:一元二次不等式通过配方可变为或的形式.
当时,的解集为________,的解集为________ .
当时,的解集为________,的解集为________.
当时,的解集为________,的解集为________.
应用举例
例1:解下列不等式:
(1)2x2+7x+3>0;
(2)-4x2+18x-≥0;
(3)-2x2+3x-2<0.
解:(1)因为Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,x2=-.又二次函数y=2x2+7x+3的图像开口向上,所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为2≤0,所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2-3x+2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0无实根,又二次函数y=2x2-3x+2的图像开口向上,所以原不等式的解集为R.
例2:解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
解:当a=0时,原不等式可化为x>1.
当a≠0时,原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0.
当a<0时,不等式可化为(x-1)>0,
∵<1,∴x<或x>1.
当a>0时,原不等式可化为(x-1)<0.
若<1,即a>1,则
若=1,即a=1,则x∈ ;
若>1,即0
综上所述,当a<0时,原不等式的解集为x或x>1;当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};当0
1时,原不等式的解集为.
五、课堂训练
1.求下列不等式的解集:
(1); (2);
(3); (4).
2.求下列不等式的解集:
(1); (2); (3);
(4); (5); (6).
3.求下列不等式的解集:
(1); (2).
4.已知,,求.
5.求下列不等式的解集:
(1); (2).
6.写出3个一元二次不等式,使它们的解集都是集合的子集.
7.求不等式的解集.
8.求关于x的不等式的解集.
六、课后练习
1.不等式的解集为( )
A. B.或
C.或 D.
2.不等式的解集为( )
A.或 B.
C. D.
3.定义行列式,若行列式,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4.某公司每个月的利润y(单位:万元)关于月份n的关系式为,则该公司12个月中,利润大于100万元的月份共有( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
5.若关于x的不等式的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C.或 D.或
6.已知关于x的一元二次不等式的解集为,则的值为( )
A. B. C. D.
7.(多选)已知a为实数,下列选项中可能为关于x的不等式解集的有( )
A. B.
C. D.
8.(多选)已知关于的不等式的解集中最多有1个整数,则整数的值可以是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
9.二次不等式的解集为或,则关于x的不等式的解集为_____________________.
10.不等式:的解集为A.
(1)求集合A;
(2)若不等式的解集为B,且,求a的取值范围.
答案及解析
三、知识梳理
1.
2.(1)
(2)集合
3.(1) 或
(2)或
五、课堂训练
1.答案:(1)
(2)
(3)
(4)
解析:(1),
不等式的解集为.
(2)原不等式等价于,
不等式的解集为.
(3),
原不等式等价于,
不等式的解集为.
(4),
不等式的解集为.
2.答案:(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解析:(1),
原不等式可化为,即.
两边开平方得,从而可知或.
即或.
不等式的解集为.
(2)一元二次不等式,
对应的一元二次方程的两个根为,
所以原不等式的解集为:.
(3)由于,所以原不等的解集为.
(4)依题意,所以原不等式的解集为.
(5)不等式,即,
对应一元二次方程的两个根为,
所以原不等式的解集为.
(6)由于,所以原不等式的解集为.
3.答案:(1)或
(2)
解析:(1)或,
所以解集为或.
(2),
所以解集为.
4.答案:或
解析:可化为,即,
.
又可化为,或.
或.
5.答案:(1)
(2)R
解析:(1)原不等式可化为,即,
所以原不等式的解集为.
(2)因为,所以原不等式可化为,
显然,这个不等式恒成立,即原不等式的集为R.
6.答案:见解析
解析:满足条件的一元二次不等式可以是,或,或.(答案不唯一)
7.答案:
解析:由题意知,原不等式两边同乘以,
得且,
即且,
因此原不等式的解集为.
8.答案:当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为
解析:原不等式可化为.
(1)当时,,
(2)当时,,
(3)当时,.
综上所述,当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.
六、课后练习
1.答案:B
解析:不等式可化为,即,解得或.故所求不等式的解集为或.故选B.
2.答案:D
解析:由得,所以,解得,所以不等式的解集为.故选D.
3.答案:D
解析:因为,由,得到,
整理得到,解得或,
故选:D.
4.答案:C
解析:由题意得:,解得或,
故、8、9、10、11、12,共6个月;
故选:C.
5.答案:C
解析:不等式可化为,
当时,不等式为,不等式的解集为,不符合题意;
当时,,解不等式得;
当时,,解不等式得.
因为不等式的解集中恰有两个整数,
所以或,即或.
所以m的取值范围是或.
故选C.
6.答案:B
解析:因为关于x的一元二次不等式的解集为,
所以关于x的一元二次方程的两个根分别为,2,
由根与系数的关系可得,,解得,,所以,
故选:B.
7.答案:ABD
解析:(1)当时,原不等式即,解得,故A正确;
(2)当时,原不等式即,
① 当时,,解得,故B正确;
② 当时,,解得或,故D正确;
③ 当时,,解得,且;
④ 当时,,解得或.
故选:ABD.
8.答案:BCD
解析:设,函数图象开口向上,且对称轴为,因此关于的不等式的解集中最多有1个整数时,需满足或解得,
又因为,所以或10或11满足题意.故选BCD.
9.答案:
解析:由题意可知所以
所以不等式为,又,
所以,解得.
故答案为:.
10.答案:(1)
(2)
解析:(1)由,得,即,
且,解得,故.
(2)由,得,
,,
当时,,不符合题意,舍去;
当时,不等式可化为,
又,,
,又,.
当时,不等式可化为,此时,不符合题意,舍去.
综上可知,a的取值范围是.
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同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1集合
1.2 常用逻辑用语
第二章 等式与不等式
2.1等式
2.2不等式
第三章 函数
3.1函数的概念与性质
3.2函数与方程、不等式之间的关系
3.3函数的应用(一)
3.4数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点
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