2.2.4均值不等式及其应用
学习目标
1.掌握均值不等式,明确均值不等式成立的条件.
2.会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小.
二、重难点
重点:均值不等式运用,均值不等式成立的条件
难点:运用均值不等式求最值
三、知识梳理
1.均值不等式(基本不等式)
(1)算术平均值与几何平均值
前提 给定两个正数
结论 数________称为的算术平均值
数________称为的几何平均值
(2)均值不等式
前提 都是________数
结论
符号成立的条件 当且仅当________时,等号成立
几何意义 所有周长一定的矩形中,正方形的面积最大
2. 均值不等式与最值
(1)已知均为正实数,如果积是定值,那么当时,和有最小值,为________.
(2)已知均为正实数,如果和是定值,那么当时,积有最大值,为________.
(3)上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大.
运用以上结论求最值要注意下列三个条件:
①一正:要求各数均为________;
②二定:要求和或积为________;
③三相等:要保证具备________成立的条件.
应用举例
例1:给出下面三个推导过程:
①∵a,b为正实数,∴+≥2=2;
②∵a∈R,a≠0,∴+a≥2=4;
③∵x,y∈R,xy<0,∴+=--+-≤-2=-2.
其中正确的推导为( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
答案:B
解析:①∵a,b为正实数,∴,为正实数,符合均值不等式的条件,故①的推导正确.
②∵a∈R,a≠0,不符合均值不等式的条件,
∴+a≥2=4是错误的.
③由xy<0,得,均为负数,但在推导过程中将整体+提出负号后,,均变为正数,符合均值不等式的条件,故③正确.
例2:(1)已知a,b∈(0,+∞),则下列各式中不一定成立的是( )
A.a+b≥2 B.+≥2 C.≥2 D.≥
(2)已知a,b,c是两两不等的实数,则p=a2+b2+c2与q=ab+bc+ca的大小关系是________.
答案:(1)D
(2)a2+b2+c2>ab+bc+ac
解析:(1)由≥得a+b=2,
∴A成立;
∵+≥2=2,∴B成立;
∵≥=2,∴C成立;
∵≤=,∴D不一定成立.
(2)∵a,b,c互不相等,
∴a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,a2+c2>2ac.
∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac).
即a2+b2+c2>ab+bc+ac.
五、课堂训练
1.已知,求的最小值,并说明x为何值时y取得最小值.
2.已知,求证:,并推导出等号成立的条件.
3.(1)把49写成两个正数的积,当这两个正数各取何值时,它们的和最小?
(2)把12写成两个正数的和,当这两个正数各取何值时,它们的积最大?
4.已知,求的最大值,以及y取得最大值时x的值.
5.已知,求的最大值,以及y取得最大值时x的值.
6.已知a,b都是正数,求证:.
7.用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地(墙的长大于),矩形的长、宽各为多少时,菜地的面积最大?并求出这个最大值.
六、课后练习
1.已知,则的最小值为( )
A.16 B.18 C.8 D.20
2.已知实数x,y满足,且,则的最小值为( )
A. B.8 C. D.
3.函数在上的最小值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.已知正实数m,n满足,则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.若矩形的周长为4,则的最小值为( )
A.8 B.4 C.9 D.4.5
6.已知,,则的最小值为( )
A. B. C.4 D.2
7.(多选)设正数x,y满足,则下列说法正确的是( )
A.的最小值为 B.的最小值为4
C.的最大值为 D.的最小值为
8.(多选)下列命题中,正确的有( )
A.最小值是4
B.“”是的充分不必要条件
C.若,则
D.若a,,且,则的最小值为9
9.如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为,四周空白的宽度为,两栏之间的中缝空白的宽度为,则矩形广告的总面积最小值为__________.
10.某单位决定投资3200元建一仓库(长方体形状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米造价40元,两侧墙砌砖,每米造价45元,顶部每平方米造价20元.
(1)仓库顶部面积S(平方米)的最大允许值是多少?
(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么铁栅应设计为多长?
答案及解析
三、知识梳理
1.(1)
(2)正
2.(1)
(2)
(3)正数 定值 等号
五、课堂训练
1.答案:当时,y取得最小值
解析:,.
当且仅当,即时,等号成立.
即当时,y取得最小值.
2.答案:证明见解析;时,取等号
解析:因为,所以,,
所以,
当且仅当时,即时,取等号.
3.答案:(1)当时,取得最小值14
(2)当时,xy取得最大值36
解析:(1)设,,,
由均值不等式,得,
当且仅当时,取等号.
由得,
即当时,取得最小值14.
(2)设,,,
由均值不等式,得.
当且仅当时,取等号.
由得.
即当时,xy取得最大值36.
4.答案:当时,y取得最大值
解析:,,,
.
当且仅当,即时,取等号.
即当时,y取得最大值.
5.答案:当时,y取得最大值
解析:,,
由均值不等式得,
,
当且仅当,即时,取等号,
即当时,y取得最大值.
6.答案:证明见解析
解析:,,
由均值不等式得,.
由不等式的性质,得,
当且仅当且时,等号成立.即证.
7.答案:当矩形的长为,宽为时,菜地的面积最大,最大值为
解析:设矩形菜地的长为,宽为,
由题意可知,,.
由均值不等式,得,即,
当且仅当时,等号成立.
故当矩形的长为,宽为时,菜地的面积最大,最大值为.
六、课后练习
1.答案:B
解析:因为,所以,又因为,所以(当且仅当,即时,等号成立),故选B.
2.答案:A
解析:因为,且,
所以,
从而,
等号成立当且仅当,
所以的最小值为.
故选:A
3.答案:C
解析:因为,可得,
所以,
当且仅当时,即时,等号成立,
此时函数在上的最小值是2.
故选:C
4.答案:A
解析:可以转化为,
所以,
当且仅当,即,时等号成立,此时的最小值为.
故选:A.
5.答案:D
解析:由矩形的周长为4,
得,且,
则
,
当且仅当,
即,时,等号成立.
则的最小值为4.5.
故选:D.
6.答案:D
解析:因为,,所以,当且仅当,且,即,时,取等号,所以的最小值为2.故选:D.
7.答案:BCD
解析:A选项,,
当且仅当即,时等号成立,故的最大值为,A错误;
B选项,,当且仅当时等号成立,故B正确;
C选项,由,得,
所以,当且仅当,时等号成立,故C正确;
D选项,由,得,
当且仅当,时等号成立,故D正确;
故选:BCD.
8.答案:BD
解析:当时,(当且仅当时取等号),
当时,(当且仅当时取等号),
所以没有最小值,故A错误;
由得或,
所以“”是的充分不必要条件,故B正确;
当,时,,但,故C错误;
因为,所以,
当且仅当,即时等号成立,故D选项正确.
故选:BD
9.答案:24500
解析:设矩形栏目的高为,宽为,①
广告的高为,宽为,其中,.
广告的面积
,当且仅当时,等号成立,
此时,代入①式得,从而,即当,时,S取得最小值24500,故广告的高为,宽为时,可使广告的面积最小,最小值为.
10.答案:(1)100
(2)15米
解析:(1)设铁栅长为x米,一侧砖墙长为y米,则顶部面积平方米.
由题意,知,
由基本不等式,得(当且仅当时取“=”),
所以,即,
解得.
由题意知,故,从而.
故仓库顶部面积S(平方米)的最大允许值是100.
(2)S取得最大值100的条件是,且100,
解得,即铁栅应设计为15米长.