2.2 基本不等式课后 同步训练（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2基本不等式课后同步训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学
一、单项选择题
1．已知实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．12
2．设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（ ）
A． B． C． D．
3．设，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，都是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．不存在
6．若，且满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，若，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、多项选择题
9．已知，且，则（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是4
D．的最小值是
10．设正实数m，n满足，则（ ）
A．的最小值为
B．的最大值为2
C．的最大值为
D．的最小值为
11．已知，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则的最小值为
三、填空题.
12．已知，若，则的取值范围是 ．
13．已知，且，则的最小值为 ．
14．已知，且，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知，且．
(1)证明：；
(2)求的最小值．
16．已知，．
(1)者，求的最小值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，求的最大值．
17．已知正数a，b满足．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值．
18．已知，，且.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值.
19．已知，，．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值；
(3)求的最小值．
20．已知实数，，满足.
(1)若，求证：；
(2)若，，，求的最小值.
21．问题：正数a，b满足，求的最小值.
有一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
(1)正数a，b满足，求的最小值；
(2)若正数a，b，x，y满足，求证：
(3)利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得M最小的m的值.
参考答案
一、单项选择题
1．C
2．A
3．B
4．B
5．A
6．B
7．D
8．D
二、多项选择题
9．AC
10．AB
11．BC
三、填空题
12．
13．
14．1
四、解答题
15．【解】（1）已知，且，
由基本不等式得，即，解得，
当且仅当，即时，等号成立，证毕；
（2）因为，且，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为
16．【解】（1）由，得，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
（2）由，得，而，
，
当且仅当，即时取等号，而，因此，则，
所以实数的取值范围为.
（3）由，得，，当且仅当时取得等号，
因此，
所以的最大值为.
17．【解】（1）因为，
当且仅当时，取得等号，所以，故的最小值为2．
（2）由得，，
，
当且仅当，即，时，取得等号，
故的最小值为．
18．【解】（1）由，得，即，
因为，，所以，，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
故；
（2）由，得，即，，
因为，，所以，，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
故.
19．【解】（1）因为，，，
所以，所以，解得，
所以，当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为；
（2），
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为；
（3）因为，且，所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
20．【解】（1）由，且，得，，
故，所以，所以，即.
（2）由且，，，得，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
21．【解】（1）∵a＞0，b＞0，a＋b＝1
∴
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为9.
（2），
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当且时，等号成立.
（3）记，
构造，
由，解得，
因为，所以，，，
所以
取等号时，，解得，即，
所以时，M取得最小值.