3.1.2函数的单调性 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.1.2函数的单调性
学习目标
1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性．
2．会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．
3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值．
二、重难点
重点：判断函数的单调性，求单调区间
难点：定义法判断函数的单调性，用单调性求函数的最值
三、知识梳理
1.增函数、减函数的概念
一般地，设函数的定义域为D，且I D：
（1）如果对任意，当时，都有________________，则称在I上是________________(也称在I上单调递增)，如图（1）所示；
（2）如果对任意，当时，都有________________，则称在I上是________________(也称在I上单调递减)，如图（2）所示．
两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)．
注意：一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．
2.最大值、最小值定义：
一般地，设函数的定义域为D，且：如果对任意x∈D，都有，则称的________为，而称为的________；如果对任意x∈D，都有，则称的________为，而称为的________.
最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.
3.函数的平均变化率
（1）直线的斜率
一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，当时，称_____________为直线AB的斜率；当时，称直线AB的斜率____________．
直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．
若记，相应的，则当时，斜率可记为．
（2）平均变化率
一般地，当时，称________________为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率．
4.在I上是增函数(减函数)的充要条件
一般地，若I是函数的定义域的子集，对任意且，记（即），则：
（1）在I上是增函数的充要条件是________________在I上恒成立；
（2）在I上是减函数的充要条件是________________在I上恒成立．
四、应用举例
例题1．证明：函数y＝在（－1，＋∞）上是增函数．
证明：设x1>x2>－1，则
y1－y2＝－＝．
∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴>0，即y1－y2>0，y1>y2，
∴y＝在（－1，＋∞）上是增函数．
例2：求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
（1）f（x）＝－；（2）f（x）＝
（3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3．
解：（1）函数f（x）＝－的单调区间为（－∞，0），（0，＋∞），其在（－∞，0），（0，＋∞）上都是增函数．
（2）当x≥1时，f（x）是增函数，当x<1时，f（x）是减函数，所以f（x）的单调区间为（－∞，1），[1，＋∞），并且函数f（x）在（－∞，1）上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数．
（3）因为f（x）＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f（x）的单调区间为（－∞，－1]，（－1，0），[0，1），[1，＋∞）．
f（x）在（－∞，－1]，[0，1）上是增函数，在（－1，0），[1，＋∞）上是减函数．
五、课堂训练
1.判断下列命题的真假：
（1）如果在区间I上是增函数，那么在该区间上，自变量减小时，函数值也减小；
（2）如果在区间I上，随着自变量的减小，函数值反而增大，那么在I上是减函数.
2.如图，已知函数，的图象（包括端点），根据图象写出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数.
3.判断函数，的单调性，并求这个函数的最值.
4.依据函数单调性的定义，证明函数，是递增的.
5.判断函数的单调性，并证明.
6.证明函数在上是增函数，在上是减函数，并求这个函数的最值.
7.已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么下列说法中，一定正确的是___________.
（1）；
（2）；
（3）在区间上有最大值，而且是最大值；
（4）与的大小关系不确定；
（5）在区间上有最小值；
（6）在区间上的最小值是.
8.判断下列命题的真假：
（1）如果在I上是增函数，且，那么当时，；
（2）如果在I上具有单调性，且，那么当时，.
9.已知函数的定义域为D，值域为，求D.
10.向一个圆台形的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为，则以下函数图象中，可能是的图象的是( ).
A. B. C. D.
11.求，的单调区间，并求这个函数的最值.
12.求证：不是函数的单调区间.
13.已知函数是R上的增函数，，且，求证：在R上也是增函数.
14.是否存在函数，其在定义域上既不是增函数，也不是减函数？如果不存在，说明理由；如果存在，举出实例.
六、课后练习
1.已知函数是减函数，那么a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知函数是R上的增函数，，是函数图象上的两点，那么的解集是( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则该函数在上的值域是( )
A. B. C. D.
4.已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知是定义在上的减函数，且，则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.（多选）函数是上的减函数，且，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
7.（多选）下列函数中，在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
8.若函数在R上是增函数，则实数k的取值范围是_____________.
9.已知函数.
（1）若的单调递增区间为，求实数a的值；
（2）若在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
10.设函数，
（1）方程有三个不等实根，求a的值;
（2）当且时，求函数的最大值.
答案及解析
三、知识梳理
1.（1） 增函数
（2） 减函数
2.最大值 最大值点 最小值 最小值点
3.（1） 不存在
（2）
4.
五、课堂训练
1.答案：（1）真命题
（2）真命题
解析：（1）真命题，若且为增函数，则，
所以当自变量减小时，函数值也减小.
（2）真命题.设且，
由减函数定义知在I上是减函数.
2.答案：（1）函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数
（2）函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数
解析：（1）从的图象可知：
在区间上，函数的图象是下降的；在区间上，函数的图象是上升的；
在区间上，函数的图象是下降的；在区间上，函数的图象是上升的.
所以函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数.
（2）从的图象可知：
函数的图象在上是下降的；在上函数的图象是上升的；
在上函数的图象是下降的.
所以函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数.
3.答案：这个函数是增函数；最小值为，最大值为36
解析：这个函数是增函数，证明如下：
任取且，则，
那么，
所以这个函数是增函数，
因此当时，有，即.
从而这个函数的最小值为，最大值为36.
4.答案：证明见解析
解析：证明：任取，且，则，
那么
，，.
又，，从而，
因此，函数，是递增的.
5.答案：这个函数是增函数，证明见解析
解析：这个函数是增函数，证明如下：函数的定义域为.
任取且，则，，
又.
所以这个函数是增函数.
6.答案：证明见解析；没有最小值，是函数的最大值
解析：证明：设任意，，
则.
因为，，故即且，
故即，因此在上是增函数.
同理可证：在上是减函数.
由函数的单调性可知，函数没有最小值，而且当时，有，当时，不等式也成立，
因此是函数的最大值.
7.答案：（1）（3）（4）（5）
解析：在区间上递增，，故（1）正确.
函数在区间上递减，，故（2）错误.
函数在区间上递增，在区间上递减，
函数在区间上有最大值，也有最小值，且是最大值，或是最小值，故（3）（5）正确，（6）不正确，而与的大小不确定，故（4）正确.
故答案为：（1）（3）（4）（5）.
8.答案：（1）假命题
（2）真命题
解析：（1）假命题.
假设该命题为真命题，
即“如果在I上是增函数，且，那么当时，”为真命题.
因为在I上是增函数，，故，矛盾.
故假设不成立，所以该命题为假命题.
（2）真命题.
设在I上为增函数，
若，故，与矛盾；
若，故，与矛盾.
故只能成立.
故命题“如果在I上为增函数，且，那么当时，”为真命题.
同理可证命题“如果在I上为减函数，且，那么当时，”为真命题.
所以命题：“如果在I上具有单调性，且，那么当时，”为真命题.
9.答案：
解析：函数，故函数在R上为减函数.
又，，，.
10.答案：D
解析：由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，
故函数的图象越来越平缓.
故选：D.
11.答案：在上是增函数，在上是减函数；，
解析：图象的对称轴为，开口向上，
因此在上是增函数，在上是减函数，
，而，，
所以，.
12.答案：证明见解析
解析：取，，则，，但，
故不是函数的单调区间.
13.答案：证明见解析
解析：证明：设，
则.
函数是R上的增函数，，
因为.所以即，
在R上也是增函数.
14.答案：存在，理由见解析
解析：存在，如，因，
故在R上既不是增函数也不是减函数.
如，因，故在上不是减函数，
因，故在上不是增函数，
在上既不是增函数也不是减函数.
六、课后练习
1.答案：B
解析：由函数是减函数，
则，解得.
故选：B.
2.答案：D
解析：可化为或，
因为A，B为图象上的两点，所以，，
所以或，
又为R上的增函数，所以或，解得或，
即不等式的解集为.故选D.
3.答案：A
解析：，
在上单调递减，在上单调递增，
是在上的最小值，且，，
在上的值域为．
故选：A．
4.答案：A
解析：由于函数是定义在R上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，
函数在区间上为减函数，且有，
即，解得.
因此，实数a的取值范围是.
故选：A.
5.答案：A
解析：由题意，函数是定义在上的减函数，
因为，得，
解得，所以x的取值范围是.
故选：A.
6.答案：ABC
解析：A，B选项，是上的减函数，且，故，则，A，B正确；
C，D选项，因为，，所以，，C正确，D错误.故选ABC.
7.答案：AD
解析：画出函数图象如图所示，
由图可得A，D中的函数在上单调递增，B，C中的函数在上不单调.
故选：AD.
8.答案：
解析：因为函数为R上的增函数，
所以，解得，
所以实数k的取值范围为，
故答案为：.
9.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知
函数的单调递增区间为，
，解得.
（2）由（1）可知，的单调递增区间为，
在上单调递增，
，即.
实数a的取值范围为.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）有三个不等实根，
则当时，
（舍去）
（2）当且时，对称轴
①时，
，
1）
解得
2)
，
②，时，
，
综上，