3.1.3函数的奇偶性
学习目标
1.理解奇函数、偶函数的定义.
2.了解奇函数、偶函数图像的特征.
3.掌握判断函数奇偶性的方法.
二、重难点
重点:函数奇、偶的判断方法,会判断函数奇、偶性
难点:分段函数奇、偶性判断,函数奇、偶性运用
三、知识梳理
1.偶函数的定义:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且____________,则称y=f(x)为偶函数.
2.偶函数的图象特征:
偶函数的图像关于________对称;反之,图象关于y轴对称的函数一定是________函数.
3.奇函数的定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且____________,则称y=f(x)为奇函数.
4.奇函数的图象特征:
奇函数的图像关于________对称;反之,图象关于原点对称的函数一定是________函数.
5.奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质
(1)奇(偶)函数的定义域关于____________对称.
(2)偶函数的实质是函数f(x)图像上任一点(x,f(x))关于y轴的对称点____________也在f(x)图象上.
(3)奇函数的实质是函数f(x)图像上任一点(x,f(x))关于原点的对称点____________也f(x)的图象上.
(4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则必有f(0)=0,即函数图象必过原点.
四、应用举例
例1:判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+x;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=
解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.
又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),
因此函数f(x)是奇函数.
(2)由得x2=1,即x=±1.
因此函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),
不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
f(-x)=
即f(-x)=
于是有f(-x)=-f(x).所以f(x)为奇函数.
例2:已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图像如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图像;
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
解:(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图像关于原点对称.
由y=f(x)在[0,5]上的图像,可知它在[-5,0]上的图像,如图所示.
(2)由图像知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
五、课堂训练
1.判断下列命题的真假:
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为奇函数;
(2)如果一个函数为奇函数,则它的定义域关于坐标原点对称;
(3)如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数为偶函数.
2.判断下列函数是否具有奇偶性:
(1); (2);
(3); (4),.
3.已知函数满足,分别在下列各条件下比较与的大小.
(1)是偶函数; (2)是奇函数.
4.如果定义域为R的函数满足,函数可能是奇函数吗?可能是偶函数吗?说明理由.
5.求证:二次函数的图象关于对称.
6.已知函数,且,求的值.
7.已知函数的定义域关于原点对称,判断下列函数的奇偶性:
(1);(2);(3).
8.如果函数和的定义域相同,且为偶函数,为奇函数,判断下列函数的奇偶性,并说明理由:
(1); (2).
9.已知函数的定义域为R,且函数图象关于对称,在区间上是增函数,判断在上的单调性.
10.是否存在函数,其既是奇函数,又是偶函数?如果不存在,说明理由;如果存在,举出实例.
11.研究函数的性质,并作出函数图象.
六、课后练习
1.已知奇函数的定义域为R,且,则( )
A.0 B.1 C.2 D.-1
2.已知函数是定义在R上的偶函数,当时,,则当时,的解析式是( )
A. B. C. D.
3.已知函数为奇函数,且,则( )
A.2 B.-5 C.1 D.3
4.设奇函数的定义域为,当时,函数的图象如图所示,则使的x的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知是定义域为R的奇函数,且,若,则( )
A.2 B.1 C. D.
6.(多选)下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
7.(多选)设为奇函数,为偶函数,则( )
A. B.
C. D.
8.已知为偶函数,且在上单调递增,若,则实数a的取值范围是_____________.
9.已知函数的定义域为R,为奇函数,当时,,则_______________.
10.已知函数是偶函数,当时,.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数在区间上单调,求实数a的取值范围;
(3)当时,记在区间上的最小值为,求的表达式.
答案及解析
三、知识梳理
1.
2.y轴 偶
3.
4.原点 奇
5.(1)原点
(2)
(3)
五、课堂训练
1.答案:(1)假命题
(2)真命题
(3)真命题
解析:(1)假命题.理由:函数定义域关于原点对称,但不一定成立,
例如:的定义域为R,
但,而,.
(2)真命题.理由:根据奇函数的定义知,
若x在定义域内,则也在定义域内,故定义域关于坐标原点对称.
(3)真命题.理由:函数图像上任一点关于y轴的对称点,也在图像上,
所以,故为偶函数.
2.答案:(1)奇函数
(2)偶函数
(3)既不是奇函数也不是偶函数
(4)非奇非偶函数
解析:(1)的定义域为R,关于原点对称,
又,
所以函数为奇函数.
(2)的定义域为R,关于原点对称,
又,
所以函数为偶函数.
(3)的定义域为R,关于原点对称,
又,,
所以函数既不是奇函数也不是偶函数.
(4),,定义域不关于原点对称,
所以函数为非奇非偶函数.
3.答案:(1)
(2)
解析:(1)因为函数是偶函数,
所以,
因此,,从而由条件可知.
(2)因为函数是奇函数,所以,
因此,,
由条件可知,因此.
4.答案:不可能是奇函数,但可能是偶函数
解析:不可能是奇函数,但可能是偶函数.
因为若是奇函数,则,
可求得,这与已知是矛盾的.
5.答案:证明见解析
解析:证明:任取,
因为,,
所以,
因此函数的图像关于对称.
6.答案:
解析:,
设,则,
,
,
,,
.
7.答案:(1)偶函数
(2)奇函数
(3)偶函数
解析:(1)令,因为的定义域关于原点对称,
所以的定义域关于原点对称,且,
因此函数为偶函数.
(2)令,则定义域关于原点对称,
且,
因此函数为奇函数.
(3)令,则定义域关于原点对称.
因为,所以函数为偶函数.
8.答案:(1)奇函数,理由见解析
(2)非奇非偶函数,理由见解析
解析:(1)因为函数,的定义域相同,是偶函数,为奇函数,
所以定义域关于原点对称,
所以,
因此是奇函数.
(2)因为函数,定义域相同,是偶函数,为奇函数,
所以的定义域关于原点对称,所以,
所以且,所以函数为非奇非偶函数.
9.答案:减函数
解析:因为函数的图像关于对称,所以.
设,则,所以.任取,且,
则.因为在上为增函数,
所以,
所以,因此函数在为减函数.
10.答案:存在
解析:存在,定义域关于原点对称即可.
因为定义域关于原点对称,
且有,
根据奇函数和偶函数的定义可得(定义域关于原点对称即可)既是奇函数又是偶函数.
11.答案:见解析
解析:要使函数有意义,需有,因此函数的定义域为.
对任意,都有,而且,所以函数是奇函数,
函数的图像关于原点对称.下面研究上的性质及图像.
任取,且,
则,
当时,由,,,
所以,即
所以函数在上是增函数.
当时,由,,,
所以,即,
所以函数在上是减函数.
所以当时,函数,无最大值,
因此图像在右边部分一定在第一象限.
列表:
x 1 3 9
10 6 10
描点、连线.
又函数为奇函数,所以图像关于原点对称,即得函数的图像.
如图所示:
函数具有以下性质:
定义域,值域:或.
单调性:在,上是增函数;在,上是减函数.
奇偶性:奇函数.
六、课后练习
1.答案:A
解析:因为是定义在R上的奇函数,所以.
令,得.
故选:A
2.答案:A
解析:函数是定义在R上的偶函数,
当时,,
当时,,
则.
故选:A
3.答案:B
解析:由函数为奇函数,
可得:.
故选:B.
4.答案:B
解析:因为函数是奇函数,所以在上的图象关于坐标原点对称,由在上的图象,知它在上的图象,
如图所示.
所以由题可知使的x的取值范围为.故选B.
5.答案:D
解析:因为是定义域为R的奇函数,且,
则,故,
所以,函数是周期为4的周期函数,由奇函数的性质可得,
所以,,,
因此,.
故选:D.
6.答案:BD
解析:的定义域是,
故函数为非奇非偶函数,故A错误;的定义域为R,其图象的对称轴为直线,故函数是偶函数且在区间上单调递增,故B正确;令,,则,则是奇函数,故C错误;
令,,则,则为偶函数,当时,单调递增,故D正确.故选BD.
7.答案:ABC
解析:,
,
,
A,B,C均正确.
,D错误.
故选:ABC.
8.答案:
解析:因为为偶函数,所以,
函数的图象关于对称,
又在上单调递增,,
所以,解得.
故答案为:.
9.答案:
解析:由题意可得,所以,
所以,所以,
又,所以,所以.
故答案为:.
10.答案:(1)
(2)或
(3)
解析:(1)当时,,可得,
又为偶函数,所以,
所以当时,,
所以
(2)作出函数的图象,如图,
可得的单调递增区间为,,单调递减区间为,.
若函数在区间上单调,
则或,
即或,解得或,
故实数a的取值范围是或.
(3)由于a的取值范围不同会影响函数的单调性,进而影响的最小值,故应对a的取值范围进行分类讨论.
当时,,此时;
当时,在区间上单调递增,所以.
综上可知,