3.3函数的应用（一）学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.3函数的应用（一）学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 527.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-01 14:22:28 | ||
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文档简介
3.3函数的应用（一）
学习目标
1．了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．
2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．
二、重难点
重点：通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养
难点：实际问题中的最值问题，数学运算素养提升．
三、知识梳理
1.几类常见的函数模型
名称 解析式 条件
一次函数模型 ________ k≠0
反比例函数模型 ________ k≠0
二次函数模型 一般式：________ 顶点式：________ a≠0
分段函数模型 会利用分段函数解决与之相关的实际问题 数学 建模
2.解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
（一）________；（二）________；（三）________；（四）________.
这些步骤用框图表示如图：
应用举例
例1：某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2000套 B．3000套 C．4000套 D．5000套
答案：D
解析：因利润z＝12x－（6x＋30000），所以z＝6x－30000，由z≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套．
例2：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；
（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
思路点拨：本题中平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）是一个一次函数关系，虽然x∈[50，55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
解：（1）根据题意，得y＝90－3（x－50），
化简，得y＝－3x＋240（50≤x≤55，x∈N）．
（2）因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝（x－40）（－3x＋240）＝－3x2＋360x－9600（50≤x≤55，x∈N）．
（3）因为w＝－3x2＋360x－9600＝－3（x－60）2＋1200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125．
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元．
五、课堂训练
1.一种商品的售价上涨后，又下降了，求商品的最终售价y与原来的售价x之间的关系.
2.某村2006年年底共有2000人，全年工农业总产值为4320万元，若从2007年起，该村工农业总产值每年增加160万元，人口每年增加20人，设2006年后的第x年该村人均工农业产值为y万元，写出y与x之间的关系式.
3.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系（a，b，c是常数），如图，记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟
4.在经济学中，函数的边际函数定义为.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台（）的收入函数为（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差.
（1）求利润函数及边际利润函数；
（2）利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值？
5.某公司最近4年对某种产品投入的宣传费x万元与年销售量之间的关系如下表所示.
x 1 4 9 16
y 168.6 236.6 304.6 372.6
（1）根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适宜作为y与x的函数模型？
（2）已知这种产品的年利润z万元与x，y的关系为，则年宣传费x为多少时年利润最大？
六、课后练习
1.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是( )
A.56.6米 B.57.6米 C.58.6米 D.59.6米
2.某商场“双十二”期间搞促销活动，规定如表：如果顾客购物的总金额不超过600元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过600元，那么超过600元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按如表计算.
享受折扣的购物金额 折扣优惠
超过600元不超过1200元的部分
超过1200元的部分
李女士在商场获得的折扣优惠金额为60元，则她实际所付金额为( )
A.1600元 B.1540元 C.1400元 D.1340元
3.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系（a，b，c是常数），如图，记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟
4.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量是( )
每户每月用水量 水价
不超过的部分 3元
超过但不超过的部分 6元
超过的部分 9元
A. B. C. D.
5.一件工艺品的进价为100元，标价为135元，每天可售出100件.根据销售统计，可知若一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价( )
A.3.6元 B.5元 C.10元 D.12元
6.（多选）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费x（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是( )
A.此时利润率最大
B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C.再投入1万元研发经费时利润率最大
D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润
7.（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是( )
A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B.甲从家到公园的时间是30 min
C.当时，y与x的关系式为
D.当时，y与x的关系式为
8.某商场以每件30元的价格购进一种商品，根据销售经验，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元）满足一次函数，若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为_______________元.
9.李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒.为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的.
①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元.
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________.
10.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3200元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时（租金增加为50元的整数倍），未租出的车将会增加1辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）设租金为元/辆（），用x表示租赁公司的月收益y（单位：元）；
（3）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
答案及解析
三、知识梳理
1.
2.（一）发现问题，提出问题．
（二）分析问题，建立模型．
（三）确定参数，计算求解．
（四）验证结果，改进模型．
五、课堂训练
1.答案：
解析：.
2.答案：
解析：，即.
3.答案：B
解析：由已知得解得
，当时，p最大，即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.
4.答案：（1），
（2）没有
解析：（1）由题意知，，且，
，
.
（2），
当或63时，最大，最大值为74120元.
是减函数，
当时，最大，最大值为2440，
与没有相同的最大值.
5.答案：（1）更适宜作为y与x的函数模型
（2）
解析：（1）将，代入得
.
当时，.
将，代入得
.
当时，，
更适宜作为y与x的函数模型.
（2），，
.
当，即时，年利润最大.
六、课后练习
1.答案：B
解析：依题意，，当且仅当时取等号，
所以烟花爆裂的高度是57.6米.
故选：B
2.答案：D
解析：设李女士在商场购物的总金额为x元，
由题意可得：，
则，
解得，
即她实际所付金额为元.
故选：D
3.答案：B
解析：由已知得解得
，当时，p最大，即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.
4.答案：C
解析：由题意：当用水量不超过时，水费小于或等于元；
当用水量超过但不超过时，水费不超过：元；
交纳水费为90元时，用水量为：
故选：C.
5.答案：B
解析：设每天的销售量为m件，每件工艺品的售价为x元，则m关于x的函数为一次函数，设.由题意可得解得则.设每天获得的利润为y元，则，可知当时，每天获得的利润最大，此时每件需降价（元）.
6.答案：BC
解析：当时，，故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误.，当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
7.答案：BCD
解析：由图象可知，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，故A错误，
由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30 min，故B正确，
当时，设，则，解得，故C正确，
当时，设，直线过点，，
则，故y与x的关系式为，故D正确.
故选：BCD.
8.答案：40
解析：设某商场每天获得销售利润为y（元），
则，
因为，所以当（元）时，y取得最大值为（元）.
所以若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为40元.
故答案为：40.
9.答案：①90
②10
解析：①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，由草莓40元/盒，西瓜60元/盒，
得总价为（元）.
因为一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付10元，所以需要支付（元）.
②设订单总价为M元，
若，没有优惠，符合题意；
若，则，，而，
所以，故x的最大值为10.
10.答案：（1）92辆
（2）
（3）当每辆车的月租金定为4150元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是323050元
解析：（1）由题意得，，即能租出92辆车.
（2）
.
（3）由（2）知，
当时，，，
当每辆车的月租金定为4150元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是323050元.
学习目标
1．了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．
2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．
二、重难点
重点：通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养
难点：实际问题中的最值问题，数学运算素养提升．
三、知识梳理
1.几类常见的函数模型
名称 解析式 条件
一次函数模型 ________ k≠0
反比例函数模型 ________ k≠0
二次函数模型 一般式：________ 顶点式：________ a≠0
分段函数模型 会利用分段函数解决与之相关的实际问题 数学 建模
2.解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
（一）________；（二）________；（三）________；（四）________.
这些步骤用框图表示如图：
应用举例
例1：某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2000套 B．3000套 C．4000套 D．5000套
答案：D
解析：因利润z＝12x－（6x＋30000），所以z＝6x－30000，由z≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套．
例2：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；
（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
思路点拨：本题中平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）是一个一次函数关系，虽然x∈[50，55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
解：（1）根据题意，得y＝90－3（x－50），
化简，得y＝－3x＋240（50≤x≤55，x∈N）．
（2）因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝（x－40）（－3x＋240）＝－3x2＋360x－9600（50≤x≤55，x∈N）．
（3）因为w＝－3x2＋360x－9600＝－3（x－60）2＋1200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125．
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元．
五、课堂训练
1.一种商品的售价上涨后，又下降了，求商品的最终售价y与原来的售价x之间的关系.
2.某村2006年年底共有2000人，全年工农业总产值为4320万元，若从2007年起，该村工农业总产值每年增加160万元，人口每年增加20人，设2006年后的第x年该村人均工农业产值为y万元，写出y与x之间的关系式.
3.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系（a，b，c是常数），如图，记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟
4.在经济学中，函数的边际函数定义为.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台（）的收入函数为（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差.
（1）求利润函数及边际利润函数；
（2）利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值？
5.某公司最近4年对某种产品投入的宣传费x万元与年销售量之间的关系如下表所示.
x 1 4 9 16
y 168.6 236.6 304.6 372.6
（1）根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适宜作为y与x的函数模型？
（2）已知这种产品的年利润z万元与x，y的关系为，则年宣传费x为多少时年利润最大？
六、课后练习
1.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是( )
A.56.6米 B.57.6米 C.58.6米 D.59.6米
2.某商场“双十二”期间搞促销活动，规定如表：如果顾客购物的总金额不超过600元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过600元，那么超过600元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按如表计算.
享受折扣的购物金额 折扣优惠
超过600元不超过1200元的部分
超过1200元的部分
李女士在商场获得的折扣优惠金额为60元，则她实际所付金额为( )
A.1600元 B.1540元 C.1400元 D.1340元
3.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系（a，b，c是常数），如图，记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟
4.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量是( )
每户每月用水量 水价
不超过的部分 3元
超过但不超过的部分 6元
超过的部分 9元
A. B. C. D.
5.一件工艺品的进价为100元，标价为135元，每天可售出100件.根据销售统计，可知若一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价( )
A.3.6元 B.5元 C.10元 D.12元
6.（多选）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费x（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是( )
A.此时利润率最大
B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C.再投入1万元研发经费时利润率最大
D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润
7.（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是( )
A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B.甲从家到公园的时间是30 min
C.当时，y与x的关系式为
D.当时，y与x的关系式为
8.某商场以每件30元的价格购进一种商品，根据销售经验，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元）满足一次函数，若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为_______________元.
9.李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒.为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的.
①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元.
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________.
10.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3200元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时（租金增加为50元的整数倍），未租出的车将会增加1辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）设租金为元/辆（），用x表示租赁公司的月收益y（单位：元）；
（3）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
答案及解析
三、知识梳理
1.
2.（一）发现问题，提出问题．
（二）分析问题，建立模型．
（三）确定参数，计算求解．
（四）验证结果，改进模型．
五、课堂训练
1.答案：
解析：.
2.答案：
解析：，即.
3.答案：B
解析：由已知得解得
，当时，p最大，即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.
4.答案：（1），
（2）没有
解析：（1）由题意知，，且，
，
.
（2），
当或63时，最大，最大值为74120元.
是减函数，
当时，最大，最大值为2440，
与没有相同的最大值.
5.答案：（1）更适宜作为y与x的函数模型
（2）
解析：（1）将，代入得
.
当时，.
将，代入得
.
当时，，
更适宜作为y与x的函数模型.
（2），，
.
当，即时，年利润最大.
六、课后练习
1.答案：B
解析：依题意，，当且仅当时取等号，
所以烟花爆裂的高度是57.6米.
故选：B
2.答案：D
解析：设李女士在商场购物的总金额为x元，
由题意可得：，
则，
解得，
即她实际所付金额为元.
故选：D
3.答案：B
解析：由已知得解得
，当时，p最大，即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.
4.答案：C
解析：由题意：当用水量不超过时，水费小于或等于元；
当用水量超过但不超过时，水费不超过：元；
交纳水费为90元时，用水量为：
故选：C.
5.答案：B
解析：设每天的销售量为m件，每件工艺品的售价为x元，则m关于x的函数为一次函数，设.由题意可得解得则.设每天获得的利润为y元，则，可知当时，每天获得的利润最大，此时每件需降价（元）.
6.答案：BC
解析：当时，，故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误.，当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
7.答案：BCD
解析：由图象可知，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，故A错误，
由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30 min，故B正确，
当时，设，则，解得，故C正确，
当时，设，直线过点，，
则，故y与x的关系式为，故D正确.
故选：BCD.
8.答案：40
解析：设某商场每天获得销售利润为y（元），
则，
因为，所以当（元）时，y取得最大值为（元）.
所以若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为40元.
故答案为：40.
9.答案：①90
②10
解析：①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，由草莓40元/盒，西瓜60元/盒，
得总价为（元）.
因为一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付10元，所以需要支付（元）.
②设订单总价为M元，
若，没有优惠，符合题意；
若，则，，而，
所以，故x的最大值为10.
10.答案：（1）92辆
（2）
（3）当每辆车的月租金定为4150元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是323050元
解析：（1）由题意得，，即能租出92辆车.
（2）
.
（3）由（2）知，
当时，，，
当每辆车的月租金定为4150元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是323050元.