4.2.1等差数列的概念 分层练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1　等差数列的概念
基础过关练
题组一　等差数列的概念及其应用
1.已知数列{an}中,a1=1,an-an-1=2(n≥2),则a10=(　　)
A.18　　　B.19　　　C.20　　　D.21
2.已知{an}为等差数列,则“{an}单调递增”是“a1A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.若数列{an}是等差数列,则下列数列不一定是等差数列的是(　　)
A.{|an|}　　　B.{an+1-an}
C.{pan+q}(p,q为常数)　　　D.{2an+n}
4.设{an}是无穷数列,An=an+an+1(n∈N*),则“{an}是等差数列”是“{An}是等差数列”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题组二　等差中项
5.记等差数列{an}的公差为d(d≥0),若是与-2的等差中项,则d的值为(　　)
A.0　　　B.　　　C.1　　　D.2
6.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则2m-n和2n-m的等差中项是(　　)
A.8　　　B.6　　　C.4.5　　　D.3
7.已知中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 025,则该数列的首项为　　　　.
题组三　等差数列的通项公式及其应用
8.《周髀算经》是中国古老的天文学和数学著作,书中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水时的日影长之和是40.5尺,芒种时的日影长为4.5尺,则立春时的日影长为(　　)
A.10.5尺　　　B.11.5尺　　　C.12.5尺　　　D.13.5尺
9.已知等差数列{an}单调递增,且满足a1+a8=6,则a6的取值范围是(　　)
A.(-∞,3)　　　B.(3,6)
C.(3,+∞)　　　D.(6,+∞)
10.已知正项数列{an}满足an-an+1=anan+1,a4=,则a1=(　　)
A.1　　　B.2　　　
C.3　　　D.4
11.已知数列{an}满足loan+1=loan+1(n∈N*),若a5=3,则a1=(　　)
A.48　　　B.24　　　C.16　　　D.12
12.在等差数列{an}中,a2+a5=a4+11且a2+a4=a6+2,则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an=3n+2　　　B.an=3n-1
C.an=3n+5　　　D.an=2n+3
13.已知一次函数f(x)在R上单调递增,且f(2)·f(5)=22,f(1)+f(6)=13,若记an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的通项公式为　　　　.
14.已知无穷等差数列{an}的首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号为被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2的值;
(2)求{bn}的通项公式;
(3)判断{bn}中的第110项是{an}中的第几项.
15.设Sn为数列{an}的前n项和,且a1=,Sn+1=2-.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
题组四　等差数列的性质及其应用
16.在等差数列{an}中,a2+a4+a6+a8+a10=150,则a1+a11=(　　)
A.30　　　B.40　　　
C.50　　　D.60
17.已知数列{an}是等差数列,若s,t,p∈N*,则“2at=as+ap”是“2t=s+p”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
18.已知等差数列{an}中,an=m,am=n,且m≠n,则am+n=(　　)
A.0　　　B.m+n
C.m+n-1　　　D.n-m+1
19.(多选题)已知等差数列{an}满足a1>0,且a1+a2+a3+…+a101=0,则(　　)
A.a1+a101>0　　　B.a1+a101<0
C.a3+a99=0　　　D.a5120.已知做一个木梯需要7根横梁,从上到下这7根横梁的长度(单位:m)成等差数列,现有长为1.5 m的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁,长为2 m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁,求正中间的一根横梁的长度.
能力提升练
题组一　等差数列的通项公式及其应用
1.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=3n-1,bn=4n-3(n∈N*),设这两个数列的公共项构成集合A,则集合A∩{n|n≤2 023,n∈N*}中元素的个数为(　　)
A.166　　　B.168　　　C.169　　　D.170
2.已知数列{an}满足a1=,an-an+1=anan+1(n∈N*),则的最小值为(　　)
A.　　　B.　　　C.16　　　D.18
3.在数列{an}中,a1=2,(an+1)(an-1+2)=an-1+1(n≥2),则an=(　　)
A.-　　　B.3n2-n　　　
C.2n-1+1　　　D.
4.设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an+n2-4n+2,且ar,as(r,s∈N*)的等差中项为11,则r+s=(　　)
A.4　　　B.8　　　C.10　　　D.12
5.(多选题)已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入k个数,使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{bn},以下说法正确的是(　　)
A.an=8n-6
B.当k=3时,bn=2n
C.当k=3时,b29不是数列{an}中的项
D.若b9是数列{an}中的项,则k的值可能为7
6.已知数列{an}满足a1=,且=(n≥2),设bn=.
(1)求证:数列{bn}为等差数列;
(2)a1a2是不是数列{an}中的项 如果是,是第几项 如果不是,请说明理由.
题组二　等差数列的性质及其应用
7.已知函数f(x)是定义在R上的连续函数,且f(1)=5, f(3)=9,若 a,b∈R,都有f=[f(a)+f(b)],则f(2 023)=(　　)
A.5　　　B.9　　　C.4 023　　　D.4 049
8.设公差d≠0的等差数列{an}满足=a3a8,则的值为　　　　.
9.若关于x的方程x2-x+m=0和x2-x+n=0(m,n∈R且m≠n)的四个不相等的实数根可组成首项为的等差数列,则数列的公差d=　　　　,m+n的值为　　　　.
题组三　等差数列的综合应用
10.若数列{cn}满足cn+1=,则称{cn}为“平方递推数列”.已知数列{an}是“平方递推数列”,且a1>0,a1≠1,则(　　)
A.{lg an}是等差数列
B.{lg an+1-lg an}是等差数列
C.{anan+1}是“平方递推数列”
D.{an+1+an}是“平方递推数列”
11.(多选题)过圆x2+5x+y2-12y=0内一点A(-5,6)有n(n∈N*)条弦的长度成等差数列,数列的首项a1等于过点A的最短弦的长度,an等于过点A的最长弦的长度,若公差d∈,则n的值可能是(　　)
A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6
12.某公司购置了一台价值220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d>0)万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废,但若每年花费1万元进行设备维护,则可使设备的使用年限提升至20年,每经过一年其价值就会减少d1(d1>0)万元,超过20年,它的价值将低于所有花费的5%,设备将报废,则d1的取值范围为　　　　.
13.已知数列{an}的各项均为非负实数,且 n≥2,n∈N*,均有an+1=an-an-1+n.
(1)若a1,a2,a3成等差数列,证明:存在无穷多个正整数k,使得ak=k;
(2)若a2a2 022=1,求a2 023的最大值.
答案
基础过关练
1.B　∵a1=1,an-an-1=2(n≥2),∴数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,
∴an=1+2(n-1)=2n-1,∴a10=2×10-1=19.
2.A　设等差数列{an}的公差为d,若{an}单调递增,则d>0,∴a1+d>a1,即a2>a1;反之,若a2>a1,则a1+d>a1,∴d>0,∴{an}单调递增.故“{an}单调递增”是“a13.A　设等差数列{an}的公差为d.
对于A,若an=n-2,则|a1|=1,|a2|=0,|a3|=1,|a4|=2,
此时数列{|an|}不是等差数列,所以A符合题意;
对于B,易得an+1-an=d,所以数列{an+1-an}为常数列,所以数列{an+1-an}一定是等差数列,所以B不符合题意;
对于C,(pan+1+q)-(pan+q)=p(an+1-an)=pd,为常数,所以数列{pan+q}一定是等差数列,所以C不符合题意;
对于D,(2an+1+n+1)-(2an+n)=2(an+1-an)+1=2d+1,为常数,所以数列{2an+n}一定是等差数列,所以D不符合题意.
4.A　若{an}是等差数列,设其公差为d1,由An=an+an+1,可得An+1-An=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=2d1,所以{An}是等差数列,故充分性成立;
若{An}是等差数列,设其公差为d2,则An+1-An=an+1+an+2-(an+an+1)=an+2-an=d2,
即{an}的奇数项成等差数列,偶数项成等差数列,但{an}不一定是等差数列,故必要性不成立.
故“{an}是等差数列”是“{An}是等差数列”的充分不必要条件.
5.C　由是与-2的等差中项,得2=+-2,即2(a1+d)2=+(a1+2d)2-2,整理得d2=1,又d≥0,所以d=1.
6.D　由已知得m+2n=8,2m+n=10,∴m=4,n=2,
∴2m-n和2n-m的等差中项是==3.
7.答案　-5
解析　设该数列的首项为a1,则a1与2 025的等差中项是1 010,因此a1+2 025=2×1 010,解得a1=-5.
8.C　设从冬至起,这十二个节气的日影长(单位:尺)成等差数列{an},其公差为d,
则由题可得即
解得所以a4=a1+3d=15.5+3×(-1)=12.5,即立春时的日影长为12.5尺.
9.C　设等差数列{an}的公差为d,
因为数列{an}单调递增,所以d>0,
所以a1+a8=a3+a6=2a6-3d=6,
则2a6-6=3d>0,解得a6>3.
10.A　因为{an}是正项数列,所以可将an-an+1=anan+1等号两边同时除以anan+1,得-=1,
因此数列是公差为1的等差数列,则=+(n-1)×1,则=+(4-1)×1=4,解得a1=1.
11.A　由loan+1=loan+1得loan+1-loan=1,
所以数列{loan}是公差为1的等差数列,
所以loa5=loa1+4=lo3,
所以loa1=lo3-4=lo3-lo=lo48,
所以a1=48.
12.A　设等差数列{an}的公差为d,则a3=a1+2d=a2+a5-a4=11,
故a2+a4=2a3=22,
即a6+2=22,解得a6=20,
所以d==3,则数列{an}的通项公式为an=11+3(n-3)=3n+2.
13.答案　an=3n-4
解析　由一次函数f(x)在R上单调递增可设f(x)=bx+c,b>0,则an=f(n)=bn+c,b>0,
易得an+1-an=b(n+1)+c-(bn+c)=b,又b>0,所以数列{an}是递增的等差数列,
由题意得a2a5=22,a1+a6=a2+a5=13,又a2所以数列{an}的通项公式为an=a2+(n-2)×3=3n-4.
14.解析　(1)因为a1=3,d=-5,所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n,
因为数列{an}中序号被4除余3的项依次是第3项,第7项,第11项,……,
所以b1=a3=-7,b2=a7=-27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第k项,即bk=am,则m=3+4(k-1)=4k-1,
所以bk=am=a4k-1=8-5(4k-1)=13-20k,
所以{bn}的通项公式为bn=13-20n(n∈N*).
(3)设b110是{an}中的第i项,因为b110=13-20×110=-2 187,所以8-5i=-2 187,则i=439,
所以b110是{an}中的第439项.
15.解析　(1)证明:由Sn+1=2-,可得Sn+1-1=1-=,则=,
所以-=-==1,
因为S1=a1=,
所以=2,
所以数列是首项为2,公差为1的等差数列.
(2)由数列是首项为2,公差为1的等差数列,可得=2+(n-1)×1=n+1,所以Sn=+1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=+1-=-,
因为a1=不满足上式,
所以数列{an}的通项公式为an=
16.D　由{an}为等差数列,a2+a4+a6+a8+a10=150,得5a6=150,即a6=30,所以a1+a11=2a6=60.
17.B　当an=1时,满足2at=as+ap,但不一定满足2t=s+p,故充分性不成立;
设等差数列{an}的公差为d,若2t=s+p,则as+ap=a1+(s-1)d+a1+(p-1)d=2a1+(s+p-2)d=2a1+(2t-2)d=2[a1+(t-1)d]=2at,故必要性成立.
综上,“2at=as+ap”是“2t=s+p”的必要不充分条件.
18.A　设等差数列{an}的公差为d,
则an-am=(n-m)d=m-n,又m≠n,所以d=-1,
所以am+n=am+nd=n-n=0.
19.CD　设等差数列{an}的公差为d,根据等差数列的性质得a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,
因为a1+a2+a3+…+a101=0,所以101a51=0,所以a51=0,所以a1+a101=a3+a99=2a51=0,
又a1>0,所以d<0,所以a51=a50+d20.解析　记从上到下7根横梁的长度(单位:m)构成等差数列{an}(1≤n≤7,n∈N),
由题意得a1+a2+a3=1.5, a5+a6+a7=2,∴3a2=1.5,3a6=2,故a2=,a6=,∵2a4=a2+a6,∴a4=,即正中间的一根横梁的长度是 m.
能力提升练
1.C　依题意,令am=bk,m,k∈N*,即3m-1=4k-3,整理得m=k-1+,
因此k+1是3的正整数倍,令k+1=3n,n∈N*,即k=3n-1,
设数列{an},{bn}的公共项构成数列{cn},
则cn=b3n-1=4(3n-1)-3=12n-7,
令12n-7≤2 023,得n≤169,所以集合A∩{n|n≤2 023,n∈N*}中元素的个数为169.
2.C　易知an≠0.∵an-an+1=anan+1(n∈N*),
∴-=1,
∴数列是以=10为首项,1为公差的等差数列,
∴=10+(n-1)×1=n+9,∴an=,
∴==n++10≥2+10=16,当且仅当n=,即n=3时取等号,故的最小值为16.
3.A　由(an+1)(an-1+2)=an-1+1(n≥2),得anan-1+2an+1=0,即an(an-1+2)=-1,所以an-1+2≠0,an≠0,
所以an+1=(n≥2),两边取倒数得=+1,所以数列是首项为=,公差为1的等差数列,所以=+n-1=,
所以an=-1==-.
4.D　对于Sn=2an+n2-4n+2,
当n=1时,a1=2a1-1,得a1=1,
当n≥2时,Sn-1=2an-1+(n-1)2-4(n-1)+2,
所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1+2n-5(n≥2),
则an=2an-1-2n+5(n≥2),
令an=bn+an+b,则bn+an+b=2bn-1+2(a-1)n-2a+2b+5,即bn=2bn-1+(a-2)n-2a+b+5,
令得
所以an=bn+2n-1,即bn=an-(2n-1),
所以an-(2n-1)=2[an-1-(2n-3)],
因为a1-(2×1-1)=0,所以an-(2n-1)=0,即an=2n-1,所以{an}是等差数列.
因为ar+as=22=2a6,所以r+s=12.
5.ABD　对于A,由题意得an=2+8(n-1)=8n-6,A正确;
对于B,当k=3时,数列{bn}的首项为2,公差为=2,故bn=2+2(n-1)=2n,B正确;
对于C,由B选项知b29=58,令8n-6=58,得n=8,即b29是数列{an}中的第8项,C错误;
对于D,由已知得a1=b1,a2=bk+2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,……,
故等差数列{an}中的项在等差数列{bn}中对应项的下标是以1为首项,k+1为公差的等差数列,所以an=b1+(n-1)(k+1),又b9是数列{an}中的项,所以1+(n-1)·(k+1)=9,当k=7时,n=2,满足题意,D正确.
6.解析　(1)证明:由=得=,整理得-=4,即bn-bn-1=4(n≥2),
又b1==5,
∴{bn}是首项为5,公差为4的等差数列.
(2)由(1)知bn=5+4×(n-1)=4n+1,
∴an==,∴a2=.又a1=,∴a1a2=.
令an==,解得n=11,即a1a2=a11,
∴a1a2是数列{an}中的第11项.
7.D　令a=n-1,b=n+1,n∈N*,由f =[f(a)+f(b)]可得f =,
即2f(n)=f(n-1)+f(n+1),
所以数列{f(n)}为等差数列,又f(1)=5, f(3)=9,
所以公差为 =2,
所以f(2 023)=5+2×(2 023-1)=4 049.
8.答案　
解析　因为{an}为等差数列,其公差为d,
所以a5=a1+4d,a3=a1+2d,a8=a1+7d,
因为=a3a8,所以(a1+4d)2=(a1+2d)·(a1+7d),
展开得+8a1d+16d2=+9a1d+14d2,即a1d=2d2,
因为d≠0,所以a1=2d,根据等差数列的性质得a1+a3+a5=3a3=3(a1+2d)=12d,
a1+a4+a7=3a4=3(a1+3d)=15d,
所以==.
9.答案　;
解析　由题意得1-4m>0,1-4n>0,设x2-x+m=0的两个不相等的实数根分别为x1,x2,x2-x+n=0的两个不相等的实数根分别为x3,x4,则x1+x2=x3+x4=1.
不妨设数列的首项为x1,则根据等差数列的性质,可知数列的第4项为x2.
由题意知x1=,则x2=,则数列的公差d==,
所以数列的中间两项分别为+=,+=,
则m=x1·x2=,n=x3·x4=×=,
所以m+n=+=.
10.C　对于A,B,因为{an}是“平方递推数列”,所以an+1=,又a1>0,所以an>0,则lg an+1-lg an=lg=lg an,(lg an+2-lg an+1)-(lg an+1-lg an)=lg an+1-lg an=lg an,所以{lg an},{lg an+1-lg an}不是等差数列,所以A,B不正确.
对于C,因为an+2an+1==(an+1an)2,所以{anan+1}是“平方递推数列”,所以C正确.
对于D,因为an+2+an+1=+≠(an+1+an)2,
所以{an+1+an}不是“平方递推数列”,所以D不正确.
11.CD　方程x2+5x+y2-12y=0可化为+(y-6)2=,所以圆心为,记为C,半径r=.
易知点A在圆C内,过点A(-5,6)的最短的弦与AC垂直,
因为A(-5,6),C,
所以|AC|==,
则a1=2=2×=12.
易知过点A(-5,6)的最长的弦为直径,所以an=2r=13.
由等差数列的通项公式,可得13=12+(n-1)d,即n-1=,
因为d∈,所以4≤<,即4≤n-1<,解得5≤n<,又n∈N*,所以n的值是5或6.
12.答案　
解析　若对设备进行维护,设该设备使用n年后的价值为an万元,
由已知可得an=an-1-d1(n≥2),所以数列{an}是公差为-d1的等差数列,
因为购进价格为220万元,所以a1=220-d1,
所以an=220-d1+(n-1)·(-d1)=220-d1n,
由题可知
即解得故d1的取值范围是.
13.解析　(1)证明:由an+1=an-an-1+n,得an+3=an+2-an+1+n+2=an+1-an+n+1-an+1+n+2=2n+3-an,
则an+6=2(n+3)+3-an+3=an+6,
故{an}中序号相差6的项形成的子数列是以6为公差的等差数列,
因为a1,a2,a3成等差数列,所以2a2-a1=a3=a2-a1+2,解得a2=2,所以a3=4-a1,a4=a3-a2+3=5-a1,a5=a4-a3+4=5,a6=a1+5,
又an+6=an+6,所以an+6m=an+6m(m∈N),
当n=2时,a2+6m=2+6m,当n=5时,a5+6m=5+6m,
所以当k=6m+2或k=6m+5(m∈N)时,ak=k恒成立,即存在无穷多个正整数k,使得ak=k.
(2)易得a3=a2-a1+2,a4=5-a1,a5=7-a2,a6=7+a1-a2=9-a3,又an+6m=an+6m(m∈N),
所以a2 022=a6+2 016=2 025-a3,a2 023=a1+2 022,
又a2a2 022=1,所以a2===a3+a1-2,
则a1=-a3+2=+2 025-a3-2 023,
因为数列{an}的各项均为非负实数,所以a3≥0,
由a6=9-a3≥0,得0≤a3≤9,故2 016≤2 025-a3≤2 025,
由对勾函数的单调性易知当2 025-a3=2 025时,(a1)max=2,
所以(a2 023)max=(a1)max+2 022=2 024.