4.2.1等差数列的概念 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 4.2.1等差数列的概念 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 737.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-01 14:23:48 | ||
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文档简介
4.2.1 等差数列的概念
一、学习目标
1.等差数列的概念、通项公式及其应用；
2.等差数列与一次函数的关系；
3.等差数列项与项之间的关系.
二、重难点
重点：用实例归纳等差数列定义及通项公式，用累加法进行证明.
难点 ：等差规律的符号化表达，等差数列通项公式的推导.
三、自主预习
1.等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 都等于同一个 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示.
2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
叫做a与b的等差中项. 根据等差数列定义知道， .
3.等差数列的通项公式：设一个等差数列的首项为，公差为d，则通项公式为 .
四、应用举例
例1 已知等差数列的通项公式为，求等差数列的首项和公差.
分析1：有了通项公式，只要将代入，就能求得；由通项公式写出的表达式，由可求得公差.
解1：把代入通项公式，得.
当时，.
于是.
所以，数列的首项为3，公差为－2.
分析2：由于已知数列为等差数列，所以每一项与它前一项的差都等于公差，已求出首项，只需再求出，即为公差.
解2：把代入通项公式，得.
于是.
分析3：由于等差数列通项公式是关于的一次函数，即.一次项系数记为公差，可以直接从通项公式看出公差的值.
解3：因为，所以公差.
例2 求等差数列8，5，2，… 的通项公式和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？
分析：只要知道首项和公差，就可以求得数列的通项公式，从而可以求得第20项.公差可以由任意一项和它前一项的差求得.求得通项公式以后，它是一个关于的方程，判断－289是否是数列中的项，只需要看－289是否能使得该方程有正整数解即可．
解：由已知条件，得.
把，代入，得
.
所以.
令，得.
所以－289是该数列中的第100项.
五、课堂练习
（一）课本练习
1.判断下列数列是不是等差数列.如果是，写出它的公差.
（1）95，82，69，56，43，30；
（2）1，1.1，1.11，1.111，1.1111，1.11111；
（3）1，，3，，5，；
（4）1，，，，，，.
2.求下列各组数的等差中项：
（1）647和895；
（2）和.
3.已知是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数.
d
8
2
4.已知在等差数列中，，.求.
5.在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.
6.某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位.你能用表示第n排的座位数吗？第10排有多少个座位？
7.画出数列的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率.
8.在等差数列中，，，且，求.
9.已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足.
（1）数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由.
（2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式.
10.已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d.
（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（2）依次取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（3）依次取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？
（二）课本习题
1.已知为等差数列，，.求.
2.1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的年份.
3.已知等差数列的公差为d，求证.你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗？
4.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列.
（1）写出数列的一个递推公式；
（2）根据(1)中的递推公式，写出数列的一个通项公式.
六、课后练习
1.下列数列中，不是等差数列的是( )
A.1，4，7，10 B.，，，
C.，，， D.10，8，6，4，2
2.“”是“数列为等差数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前三项分别为，，，则该数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
5.在数列中，若，则数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则( )
A.17 B.37 C.107 D.128
7.已知等差数列是递增数列，若，，则( )
A.2024 B.2023 C.4048 D.4046
8.若不全相等的非零实数a，b，c成等差数列且公差为d，那么，，( )
A.可能是等差数列 B.一定不是等差数列
C.一定是等差数列，且公差为 D.一定是等差数列，且公差为d
9.等差数列中，，公差为，，，则公差d的值为( )
A.1 B.0 C. D.
10.写出一个同时具有下列性质①②的等差数列的通项公式：__________.
①（，）；
②是递增数列.
11.已知数列满足，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式.
12.已知正项数列满足，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足不等式的正整数n的最小值.
答案及解析
三、自主预习
1.差 常数 d
2.A
3.
五、课堂练习
（一）课本练习
1.答案：（1）是等差数列，公差为
（2）不是等差数列
（3）不是等差数列
（4）是等差数列，公差为
解析：（1）由，
即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数，
所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为；
（2）通过观察可知，，，…
该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，
所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；
（3）通过观察可知，，，…
该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，
所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；
（4）由，
即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数，
所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为.
2.答案：（1）771
（2）
解析：（1）设647和895的等差中项为a，则，
故647和895的等差中项为771；
（2）设和的等差中项为b，则，
故和的等差中项为.
3.答案：见解析
解析：对第一行：由题意得，，，，
利用等差数列性质知，解得：；
又，解得：，
对第二行：由题意得，，，，，，
故可填写表格如下：
d
8
15 2
4.答案：6
解析：设等差数列的公差为d，则在等差数列中，
，，
，
.
5.答案：10.5，14，17.5
解析：在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列，
，解得，
，
，
，
插入的这3个数为10.5，14，17.5.
6.答案：，第10排的座位数33个
解析：由条件可知，每排的座位数，看成等差数列，首项，，
则，
.
综上可知，，第10排的座位数个.
7.答案：
解析：由题知，数列是一个等差数列，
其首项为18，公差为，则，可得图象如下：
因此，通过图象上所有点的直线的斜率为.
8.答案：
解析：设等差数列的公差为d，
则，
所以.
9.答案：（1）数列是等差数列，证明见解析
（2）
解析：（1）数列是等差数列，
证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为，，
所以，，
又因为，
故
，
而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知：数列是以为首项，为公差的等差数列，
而，，
所以.
10.答案：（1）这个新数列是等差数列，首项为，公差为d
（2）这个新数列是等差数列，首项为，公差为2d
（2）这个新数列是等差数列，猜想见解析
解析：（1）由题意可知，将无穷等差数列的前m项去掉，
其余各项组成一个新的数列为：，，，…，
这个新数列是等差数列，首项为，公差为d.
（2）由题意可知，取出无穷等差数列中的所有奇数项，
组成一个新的数列为：，，，…，，…，
这个新数列是等差数列，首项为，公差为2d.
（3）由题意可知，取出无穷等差数列中所有序号为7的倍数的项，
组成一个新的数列为：，，，…，，…，
这个新数列是等差数列，首项为，公差为.
猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.
（二）课本习题
1.答案：1
解析：由题意，知，，
，，
，.
2.答案：列表略，本世纪回归的年份为2062年
解析：根据历史记载，哈雷彗星在1607年以后的回归时间依次为1682年，1759年，1835年，1910年，1986年.列表略.预测它在本世纪回归的年份为2062年.
3.答案：见解析
解析：等差数列的通项公式.
数列的图像是直线上的一系列孤立的点，且直线的斜率为d，
又直线的斜率公式，.
4.（1）答案：
解析：由题意，知数列：1，3，6，…，.
（2）答案：
解析：，，，，，
…，
，
以上个式子相加，，.又也符合上式，.
六、课后练习
1.答案：C
解析：
A 是 （常数），所以是等差数列.
B 是 （常数），所以是等差数列.
C 不是 ，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.
D 是 （常数），所以是等差数列.
2.答案：B
解析：如果数列是等差数列，
根据等差中项的定义可得，
反之成立，
不一定得到数列是等差数列.
故选B.
3.答案：A
解析：设等差数列的公差为d，依题意得解得所以.
4.答案：C
解析：设该等差数列的公差为d.因为等差数列的前三项分别为，，，所以，解得，所以，，所以.故选C.
5.答案：A
解析：因为，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.故选A.
6.答案：C
解析：因为能被3除余2且被7除余2，所以既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，且，所以，即，所以.故选C.
7.答案：C
解析：设等差数列的公差为.
方法一：因为，，所以所以所以.
方法二：由，得，即，所以，所以.
8.答案：B
解析：若，，是等差数列，则，因为a，b，c成等差数列，所以，则，整理化简得，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，所以，，一定不是等差数列.故选B.
9.答案：A
解析：，，又，，即，解得，由于，所以，故选A.
10.答案：2n（答案不唯一）
解析：设数列的公差为d，则由性质①可得，整理得，所以，再根据②可知，显然满足题意.取，则（【另解】注意到，不妨令，满足题意）.（注：满足题意的答案均可.）
11.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）将两边取倒数，
得，即，
即，故数列是等差数列.
（2）由（1）知数列是等差数列，且公差为2，首项，
所以，
即数列的通项公式为.
12.答案：（1）
（2）5
解析：（1）由已知得，，
所以数列是等差数列，设其公差为d.
由，得.
所以，即，所以.
（2）由，得，所以原不等式可化为，
不等式的两边同时平方可得，即，
所以，整理得，解得或.
因为，所以n的最小值为5.
一、学习目标
1.等差数列的概念、通项公式及其应用；
2.等差数列与一次函数的关系；
3.等差数列项与项之间的关系.
二、重难点
重点：用实例归纳等差数列定义及通项公式，用累加法进行证明.
难点 ：等差规律的符号化表达，等差数列通项公式的推导.
三、自主预习
1.等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 都等于同一个 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示.
2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
叫做a与b的等差中项. 根据等差数列定义知道， .
3.等差数列的通项公式：设一个等差数列的首项为，公差为d，则通项公式为 .
四、应用举例
例1 已知等差数列的通项公式为，求等差数列的首项和公差.
分析1：有了通项公式，只要将代入，就能求得；由通项公式写出的表达式，由可求得公差.
解1：把代入通项公式，得.
当时，.
于是.
所以，数列的首项为3，公差为－2.
分析2：由于已知数列为等差数列，所以每一项与它前一项的差都等于公差，已求出首项，只需再求出，即为公差.
解2：把代入通项公式，得.
于是.
分析3：由于等差数列通项公式是关于的一次函数，即.一次项系数记为公差，可以直接从通项公式看出公差的值.
解3：因为，所以公差.
例2 求等差数列8，5，2，… 的通项公式和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？
分析：只要知道首项和公差，就可以求得数列的通项公式，从而可以求得第20项.公差可以由任意一项和它前一项的差求得.求得通项公式以后，它是一个关于的方程，判断－289是否是数列中的项，只需要看－289是否能使得该方程有正整数解即可．
解：由已知条件，得.
把，代入，得
.
所以.
令，得.
所以－289是该数列中的第100项.
五、课堂练习
（一）课本练习
1.判断下列数列是不是等差数列.如果是，写出它的公差.
（1）95，82，69，56，43，30；
（2）1，1.1，1.11，1.111，1.1111，1.11111；
（3）1，，3，，5，；
（4）1，，，，，，.
2.求下列各组数的等差中项：
（1）647和895；
（2）和.
3.已知是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数.
d
8
2
4.已知在等差数列中，，.求.
5.在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.
6.某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位.你能用表示第n排的座位数吗？第10排有多少个座位？
7.画出数列的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率.
8.在等差数列中，，，且，求.
9.已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足.
（1）数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由.
（2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式.
10.已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d.
（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（2）依次取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（3）依次取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？
（二）课本习题
1.已知为等差数列，，.求.
2.1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的年份.
3.已知等差数列的公差为d，求证.你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗？
4.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列.
（1）写出数列的一个递推公式；
（2）根据(1)中的递推公式，写出数列的一个通项公式.
六、课后练习
1.下列数列中，不是等差数列的是( )
A.1，4，7，10 B.，，，
C.，，， D.10，8，6，4，2
2.“”是“数列为等差数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前三项分别为，，，则该数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
5.在数列中，若，则数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则( )
A.17 B.37 C.107 D.128
7.已知等差数列是递增数列，若，，则( )
A.2024 B.2023 C.4048 D.4046
8.若不全相等的非零实数a，b，c成等差数列且公差为d，那么，，( )
A.可能是等差数列 B.一定不是等差数列
C.一定是等差数列，且公差为 D.一定是等差数列，且公差为d
9.等差数列中，，公差为，，，则公差d的值为( )
A.1 B.0 C. D.
10.写出一个同时具有下列性质①②的等差数列的通项公式：__________.
①（，）；
②是递增数列.
11.已知数列满足，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式.
12.已知正项数列满足，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足不等式的正整数n的最小值.
答案及解析
三、自主预习
1.差 常数 d
2.A
3.
五、课堂练习
（一）课本练习
1.答案：（1）是等差数列，公差为
（2）不是等差数列
（3）不是等差数列
（4）是等差数列，公差为
解析：（1）由，
即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数，
所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为；
（2）通过观察可知，，，…
该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，
所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；
（3）通过观察可知，，，…
该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，
所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；
（4）由，
即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数，
所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为.
2.答案：（1）771
（2）
解析：（1）设647和895的等差中项为a，则，
故647和895的等差中项为771；
（2）设和的等差中项为b，则，
故和的等差中项为.
3.答案：见解析
解析：对第一行：由题意得，，，，
利用等差数列性质知，解得：；
又，解得：，
对第二行：由题意得，，，，，，
故可填写表格如下：
d
8
15 2
4.答案：6
解析：设等差数列的公差为d，则在等差数列中，
，，
，
.
5.答案：10.5，14，17.5
解析：在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列，
，解得，
，
，
，
插入的这3个数为10.5，14，17.5.
6.答案：，第10排的座位数33个
解析：由条件可知，每排的座位数，看成等差数列，首项，，
则，
.
综上可知，，第10排的座位数个.
7.答案：
解析：由题知，数列是一个等差数列，
其首项为18，公差为，则，可得图象如下：
因此，通过图象上所有点的直线的斜率为.
8.答案：
解析：设等差数列的公差为d，
则，
所以.
9.答案：（1）数列是等差数列，证明见解析
（2）
解析：（1）数列是等差数列，
证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为，，
所以，，
又因为，
故
，
而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知：数列是以为首项，为公差的等差数列，
而，，
所以.
10.答案：（1）这个新数列是等差数列，首项为，公差为d
（2）这个新数列是等差数列，首项为，公差为2d
（2）这个新数列是等差数列，猜想见解析
解析：（1）由题意可知，将无穷等差数列的前m项去掉，
其余各项组成一个新的数列为：，，，…，
这个新数列是等差数列，首项为，公差为d.
（2）由题意可知，取出无穷等差数列中的所有奇数项，
组成一个新的数列为：，，，…，，…，
这个新数列是等差数列，首项为，公差为2d.
（3）由题意可知，取出无穷等差数列中所有序号为7的倍数的项，
组成一个新的数列为：，，，…，，…，
这个新数列是等差数列，首项为，公差为.
猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.
（二）课本习题
1.答案：1
解析：由题意，知，，
，，
，.
2.答案：列表略，本世纪回归的年份为2062年
解析：根据历史记载，哈雷彗星在1607年以后的回归时间依次为1682年，1759年，1835年，1910年，1986年.列表略.预测它在本世纪回归的年份为2062年.
3.答案：见解析
解析：等差数列的通项公式.
数列的图像是直线上的一系列孤立的点，且直线的斜率为d，
又直线的斜率公式，.
4.（1）答案：
解析：由题意，知数列：1，3，6，…，.
（2）答案：
解析：，，，，，
…，
，
以上个式子相加，，.又也符合上式，.
六、课后练习
1.答案：C
解析：
A 是 （常数），所以是等差数列.
B 是 （常数），所以是等差数列.
C 不是 ，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.
D 是 （常数），所以是等差数列.
2.答案：B
解析：如果数列是等差数列，
根据等差中项的定义可得，
反之成立，
不一定得到数列是等差数列.
故选B.
3.答案：A
解析：设等差数列的公差为d，依题意得解得所以.
4.答案：C
解析：设该等差数列的公差为d.因为等差数列的前三项分别为，，，所以，解得，所以，，所以.故选C.
5.答案：A
解析：因为，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.故选A.
6.答案：C
解析：因为能被3除余2且被7除余2，所以既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，且，所以，即，所以.故选C.
7.答案：C
解析：设等差数列的公差为.
方法一：因为，，所以所以所以.
方法二：由，得，即，所以，所以.
8.答案：B
解析：若，，是等差数列，则，因为a，b，c成等差数列，所以，则，整理化简得，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，所以，，一定不是等差数列.故选B.
9.答案：A
解析：，，又，，即，解得，由于，所以，故选A.
10.答案：2n（答案不唯一）
解析：设数列的公差为d，则由性质①可得，整理得，所以，再根据②可知，显然满足题意.取，则（【另解】注意到，不妨令，满足题意）.（注：满足题意的答案均可.）
11.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）将两边取倒数，
得，即，
即，故数列是等差数列.
（2）由（1）知数列是等差数列，且公差为2，首项，
所以，
即数列的通项公式为.
12.答案：（1）
（2）5
解析：（1）由已知得，，
所以数列是等差数列，设其公差为d.
由，得.
所以，即，所以.
（2）由，得，所以原不等式可化为，
不等式的两边同时平方可得，即，
所以，整理得，解得或.
因为，所以n的最小值为5.