4.3.1等比数列的概念 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 4.3.1等比数列的概念 学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 787.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-01 14:27:41 | ||
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文档简介
4.3.1 等比数列的概念
一、学习目标
1.通过实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，了解等比中项的概念.
2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题.
二、重难点
重点：等比数列的通项公式、等比数列的性质及应用.
难点：等比数列的运算、等比数列的性质及应用.
三、自主预习
1.等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示（显然）.
2.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么
叫做a与b的等比中项. 此时， .
3.等比数列的通项公式：设一个等比数列的首项为，公比为q，则通项公式为 .
四、应用举例
例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项.
解法1：由，，得，
②的两边分别除以①的两边，得，解得.
把代入①，得.此时，
把代入①，得.此时.
因此，的第5项是24或-24.
解法2：因为是与的等比中项，所以.
所以. 因此，的第5项是24或-24.
例2 已知等比数列的公比为，试用的第项表示.
解：由题意得①，②，
②的两边分别除以①的两边，得，
所以.
例3 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
解：设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，，80，，.
于是得，解得或.
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.
例4 用10000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，
首项，公比，
所以.
所以12个月后的利息为（元）.
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列，
则也是一个等比数列，首项，公比为1+r.
于是.
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元.
解不等式，得.
所以当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
例5 已知数列的首项.
(1)若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；
(2)若为等比数列，公比，证明数列为等差数列.
证明：（1）由，，得的通项公式为.
设，则.
又，
所以是以27为首项，9为公比的等比数列.
(2)由，，得.
两边取以3为底的对数，得.
所以.
又，
所以是首项为1，公差为-2的等差数列.
例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产．以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，.
由题意知，
，其中，
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是，
由计算工具计算（精确到0.1）并列表如下.
n 1 2 3 4 5 6 7
105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
n 8 9 10 11 12 13 14
106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且即可.
由，得，
所以当时，递减.
又，所以当时，.
所以生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内.
五、课堂练习
1.判断下列数列是不是等比数列.如果是，写出它的公比.
（1）3，9，15，21，27，33； （2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641；
（3），，，，，； （4）4，，16，，64，.
2.已知是一个公比为q的等比数列，在下表中填上适当的数.
q
2 8
2 0.2
3.在等比数列中，，.求和公比q.
4.对于数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是不是等比数列，并证明你的结论.
5.已知数列是等比数列.
（1），，是否构成等比数列？为什么？，，呢？
（2）当时，，，是否构成等比数列？为什么？当时，，，是否构成等比数列？
6.求满足下列条件的数：
（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；
（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列.
7.设数列，都是等比数列，分别研究下列数列是不是等比数列.若是，证明结论；若不是，请说明理由.
（1）数列，其中；
（2）数列，其中.
8.某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆.如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）？
9.某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240.这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少（精确到0.01）？
10.已知数列的通项公式为，求使取得最大值时n的值.
六、课后练习
1.已知数列a，，，…是等比数列，则实数a的取值范围是( )
A. B.或 C. D.且
2.在正项等比数列中，，是，的等差中项，则( )
A.16 B.27 C.32 D.54
3.在等比数列中，已知，，则( )
A.1 B.2 C.3 D.5
4.已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则( )
A.8 B.12 C.16 D.20
5.已知数列满足：，，则( )
A. B. C. D.
6.（多选）已知等比数列中，满足，公比，则( )
A.数列是等比数列 B.数列是等差数列
C.数列是等比数列 D.数列是等差数列
7.（多选）在正项等比数列中，公比为q，已知，，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知直角三角形的斜边边长为c，两条直角边边长分别为a和b，且a，b，c成等比数列，则___________.
9.已知各项均为正数的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值为___________.
10.已知数列，满足，其中是等差数列，若，则__________.
11.已知各项都为正数的数列满足.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式.
12.已知数列为等比数列，且，.数列的前n项和记为，满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
答案及解析
三、自主预习
1.比 公比 q
2.G
3.
五、课堂练习
1.答案：（1）不是等比数列
（2）是等比数列，公比
（3）不是等比数列
（4）是等比数列，公比
解析：（1）3，9，15，21，27，33；因为，故不是等比数列；
（2），，，，，
所以，所以是等比数列，公比；
（3），，，，，；
显然，故不是等比数列；
（4）因为，，，，，；
所以，所以是等比数列，公比.
2.答案：见解析
解析：第一行：，，
所以，.
第二行：，，，.
3.答案：或
解析：设等比数列的首项为，公比为q，
因为，，
由等比数列的性质可得，，
又，
，，
，解得：，
当时，由，所以；
当时，由，所以.
所以或.
4.答案：是，证明见解析
解析：由题意知：，
因为，，，为定值常数.
且，
所以数列为以cq为首项，q为公比的等比数列.
5.答案：（1），，成等比数列，理由见解析；，，成等比数列
（2），，成等比数列，理由见解析；，，是等比数列
解析：（1）设等比数列的公比为，
则，，
，则，，成等比数列，
又，则，所以，，成等比数列；
（2），，
，所以，，成等比数列；
又，则，
所以，，是等比数列.
6.答案：（1）27、81
（2）、40、、10
解析：（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，
设等比数列的公比为q，则，解得，
所以在9与243中间插入2个数为27、81.
（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列，
设等比数列的公比为q，则，解得.
所以在160与中间插入4个数为、40、、10.
7.答案：（1）数列为等比数列
（2）数列为等比数列
解析：数列，都是等比数列，设公比分别为、（，均不为0），
（1）由，则，
所以数列为等比数列.
（2）由，则.
所以数列为等比数列.
8.答案：128145辆
解析：根据题意，从2017年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，
设为，则，公比，
所以，
则2025年全年约生产新能源汽车为（辆），
故2025年全年约生产新能源汽车128145辆.
9.答案：0.51
解析：设平均增长率p，依题意可得，，
则，
所以，
故平均增长率约为0.51.
10.答案：3
解析：设时，最大，
因为，，
所以，
所以，
即，故，，
，
即，所以，
故当取最大值时，.
六、课后练习
1.答案：D
解析：由等比数列的定义知，数列中不能出现为0的项，且公比不为0，所以且，所以且.故选D.
2.答案：D
解析：设数列的公比为q，，则，，解得或（舍去），.故选D.
3.答案：A
解析：方法一：因为数列是等比数列，所以，，，成等比数列，且公比为，所以.
方法二：设等比数列的公比为q，则，，所以，所以.
4.答案：C
解析：设方程的四个根由小到大依次为，，，.不妨设的一个根为1，则另一个根为27，所以.又由等比数列的性质可知，所以，，所以等比数列，，，的公比，所以，.由根与系数的关系得.所以.故选C.
5.答案：C
解析：由题意，，即，故.又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而，解得.
6.答案：CD
解析：因为在等比数列中，满足，公比，所以.
对于A，，不是等比数列，故A错误；
对于B，，不是等差数列，故B错误；对于C，，是等比数列，故C正确；
对于D，，是等差数列，故D正确.故选CD.
7.答案：BD
解析：已知正项等比数列的公比为，则.由，，得，，B正确；而，于是，即，A错误；而，则，C错误；由得，即，因为，所以，显然，所以，解得，D正确.故选BD.
8.答案：
解析：设等比数列a，b，c的公比为，则，.因为，所以，整理得，得，所以.
9.答案：8
解析：设等比数列的公比为q.由题意得，，，即，从而，当且仅当时取等号，则的最小值为8.
10.答案：117
解析：因为数列为等差数列，设公差为d，则，，，则，故为等比数列，所以，所以.
11.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由，得.
因为数列的各项都为正数，所以，
所以是公比为3的等比数列.
（2）由（1）得，
整理得.
又，所以，所以，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
12.答案：（1）；
（2）
解析：（1）设数列的公比为，由得，
又，，.
，，且，
则当时，，则，
当时，也满足上式..
（2），，，.
记，则，
当时，，则；
当时，，则.
.则，即实数的取值范围为.
一、学习目标
1.通过实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，了解等比中项的概念.
2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题.
二、重难点
重点：等比数列的通项公式、等比数列的性质及应用.
难点：等比数列的运算、等比数列的性质及应用.
三、自主预习
1.等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示（显然）.
2.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么
叫做a与b的等比中项. 此时， .
3.等比数列的通项公式：设一个等比数列的首项为，公比为q，则通项公式为 .
四、应用举例
例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项.
解法1：由，，得，
②的两边分别除以①的两边，得，解得.
把代入①，得.此时，
把代入①，得.此时.
因此，的第5项是24或-24.
解法2：因为是与的等比中项，所以.
所以. 因此，的第5项是24或-24.
例2 已知等比数列的公比为，试用的第项表示.
解：由题意得①，②，
②的两边分别除以①的两边，得，
所以.
例3 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
解：设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，，80，，.
于是得，解得或.
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.
例4 用10000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，
首项，公比，
所以.
所以12个月后的利息为（元）.
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列，
则也是一个等比数列，首项，公比为1+r.
于是.
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元.
解不等式，得.
所以当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
例5 已知数列的首项.
(1)若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；
(2)若为等比数列，公比，证明数列为等差数列.
证明：（1）由，，得的通项公式为.
设，则.
又，
所以是以27为首项，9为公比的等比数列.
(2)由，，得.
两边取以3为底的对数，得.
所以.
又，
所以是首项为1，公差为-2的等差数列.
例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产．以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，.
由题意知，
，其中，
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是，
由计算工具计算（精确到0.1）并列表如下.
n 1 2 3 4 5 6 7
105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
n 8 9 10 11 12 13 14
106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且即可.
由，得，
所以当时，递减.
又，所以当时，.
所以生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内.
五、课堂练习
1.判断下列数列是不是等比数列.如果是，写出它的公比.
（1）3，9，15，21，27，33； （2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641；
（3），，，，，； （4）4，，16，，64，.
2.已知是一个公比为q的等比数列，在下表中填上适当的数.
q
2 8
2 0.2
3.在等比数列中，，.求和公比q.
4.对于数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是不是等比数列，并证明你的结论.
5.已知数列是等比数列.
（1），，是否构成等比数列？为什么？，，呢？
（2）当时，，，是否构成等比数列？为什么？当时，，，是否构成等比数列？
6.求满足下列条件的数：
（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；
（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列.
7.设数列，都是等比数列，分别研究下列数列是不是等比数列.若是，证明结论；若不是，请说明理由.
（1）数列，其中；
（2）数列，其中.
8.某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆.如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）？
9.某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240.这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少（精确到0.01）？
10.已知数列的通项公式为，求使取得最大值时n的值.
六、课后练习
1.已知数列a，，，…是等比数列，则实数a的取值范围是( )
A. B.或 C. D.且
2.在正项等比数列中，，是，的等差中项，则( )
A.16 B.27 C.32 D.54
3.在等比数列中，已知，，则( )
A.1 B.2 C.3 D.5
4.已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则( )
A.8 B.12 C.16 D.20
5.已知数列满足：，，则( )
A. B. C. D.
6.（多选）已知等比数列中，满足，公比，则( )
A.数列是等比数列 B.数列是等差数列
C.数列是等比数列 D.数列是等差数列
7.（多选）在正项等比数列中，公比为q，已知，，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知直角三角形的斜边边长为c，两条直角边边长分别为a和b，且a，b，c成等比数列，则___________.
9.已知各项均为正数的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值为___________.
10.已知数列，满足，其中是等差数列，若，则__________.
11.已知各项都为正数的数列满足.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式.
12.已知数列为等比数列，且，.数列的前n项和记为，满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
答案及解析
三、自主预习
1.比 公比 q
2.G
3.
五、课堂练习
1.答案：（1）不是等比数列
（2）是等比数列，公比
（3）不是等比数列
（4）是等比数列，公比
解析：（1）3，9，15，21，27，33；因为，故不是等比数列；
（2），，，，，
所以，所以是等比数列，公比；
（3），，，，，；
显然，故不是等比数列；
（4）因为，，，，，；
所以，所以是等比数列，公比.
2.答案：见解析
解析：第一行：，，
所以，.
第二行：，，，.
3.答案：或
解析：设等比数列的首项为，公比为q，
因为，，
由等比数列的性质可得，，
又，
，，
，解得：，
当时，由，所以；
当时，由，所以.
所以或.
4.答案：是，证明见解析
解析：由题意知：，
因为，，，为定值常数.
且，
所以数列为以cq为首项，q为公比的等比数列.
5.答案：（1），，成等比数列，理由见解析；，，成等比数列
（2），，成等比数列，理由见解析；，，是等比数列
解析：（1）设等比数列的公比为，
则，，
，则，，成等比数列，
又，则，所以，，成等比数列；
（2），，
，所以，，成等比数列；
又，则，
所以，，是等比数列.
6.答案：（1）27、81
（2）、40、、10
解析：（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，
设等比数列的公比为q，则，解得，
所以在9与243中间插入2个数为27、81.
（2）在160与中间插入4个数，使这6个数成等比数列，
设等比数列的公比为q，则，解得.
所以在160与中间插入4个数为、40、、10.
7.答案：（1）数列为等比数列
（2）数列为等比数列
解析：数列，都是等比数列，设公比分别为、（，均不为0），
（1）由，则，
所以数列为等比数列.
（2）由，则.
所以数列为等比数列.
8.答案：128145辆
解析：根据题意，从2017年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，
设为，则，公比，
所以，
则2025年全年约生产新能源汽车为（辆），
故2025年全年约生产新能源汽车128145辆.
9.答案：0.51
解析：设平均增长率p，依题意可得，，
则，
所以，
故平均增长率约为0.51.
10.答案：3
解析：设时，最大，
因为，，
所以，
所以，
即，故，，
，
即，所以，
故当取最大值时，.
六、课后练习
1.答案：D
解析：由等比数列的定义知，数列中不能出现为0的项，且公比不为0，所以且，所以且.故选D.
2.答案：D
解析：设数列的公比为q，，则，，解得或（舍去），.故选D.
3.答案：A
解析：方法一：因为数列是等比数列，所以，，，成等比数列，且公比为，所以.
方法二：设等比数列的公比为q，则，，所以，所以.
4.答案：C
解析：设方程的四个根由小到大依次为，，，.不妨设的一个根为1，则另一个根为27，所以.又由等比数列的性质可知，所以，，所以等比数列，，，的公比，所以，.由根与系数的关系得.所以.故选C.
5.答案：C
解析：由题意，，即，故.又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而，解得.
6.答案：CD
解析：因为在等比数列中，满足，公比，所以.
对于A，，不是等比数列，故A错误；
对于B，，不是等差数列，故B错误；对于C，，是等比数列，故C正确；
对于D，，是等差数列，故D正确.故选CD.
7.答案：BD
解析：已知正项等比数列的公比为，则.由，，得，，B正确；而，于是，即，A错误；而，则，C错误；由得，即，因为，所以，显然，所以，解得，D正确.故选BD.
8.答案：
解析：设等比数列a，b，c的公比为，则，.因为，所以，整理得，得，所以.
9.答案：8
解析：设等比数列的公比为q.由题意得，，，即，从而，当且仅当时取等号，则的最小值为8.
10.答案：117
解析：因为数列为等差数列，设公差为d，则，，，则，故为等比数列，所以，所以.
11.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由，得.
因为数列的各项都为正数，所以，
所以是公比为3的等比数列.
（2）由（1）得，
整理得.
又，所以，所以，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
12.答案：（1）；
（2）
解析：（1）设数列的公比为，由得，
又，，.
，，且，
则当时，，则，
当时，也满足上式..
（2），，，.
记，则，
当时，，则；
当时，，则.
.则，即实数的取值范围为.