4.4数学归纳法 学案(含答案)-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

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名称 4.4数学归纳法 学案(含答案)-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
格式 docx
文件大小 867.5KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-09-01 14:30:50

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文档简介

4.4* 数学归纳法
学习目标
1.了解归纳法的意义,形成观察、归纳、发现的能力,能区分不完全归纳法与完全归纳法;学会由特殊到一般的思维方式;
2.了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤;
二、重难点
重点:归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析;
难点:数学归纳法中递推思想的理解。
三、自主预习
1.数学归纳法原理:一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当 时命题成立;
(2)(归纳递推)以“当 时命题成立”为条件,推出“当 时命题也成立”.
完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有 都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系:记是一个关于正整数n的命题,用数学归纳法证明的形式改写如下:
条件:(1)为 ;(2)若,为真,则 也为真.
结论: 为真.
应用举例
例1 用数学归纳法证明:如果{an}是一个等差数列,那么an=a1+(n-1)d对一切n∈N*都成立。
证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1+0·d=a1,等式成立。
(2)假设当n=k时等式成立,就是ak=a1+(k-1) d。
那么ak+1=ak+d=[a1+(k-1)d]+d=a1+[(k+1)-1]d,这就是说,当n=k+1时,等式也成立。
由(1)和(2)可以判定,等式对任何n∈N*都成立。
例2 用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2。
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立。
(2)假设当n=k时,等式成立,就是1+3+5+…+(2k-1)=k2,那么1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2。
∴n=k+1时也成立。
由(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立。
五、课堂练习
(一)课本练习
1.下列各题在应用数学归纳法证明的过程中,有没有错误?如果有错误,错在哪里?
(1)求证:当时,.
证明:假设当时,等式成立,即.
则当时,左边右边.
所以当时,等式也成立.
由此得出,对任何,等式都成立.
(2)用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是.
证明:①当时,左边,右边,等式成立.
②假设当时,等式成立,即.
则当时,,

上面两式相加并除以2,可得,
即当时,等式也成立.
由①②可知,等差数列的前n项和公式是.
2.用数学归纳法证明:首项为,公比为q的等比数列的通项公式是,前n项和公式是.
3.用数学归纳法证明:.
4.若数列,,,…,,…的前n项和为,计算,,,由此推测计算的公式,并用数学归纳法进行证明.
5.观察下列两个数列,:
数列:1,4,9,16,25,36,49,64,81,…;
数列:2,4,8,16,32,64,128,256,512,….
猜想从第几项起小于,并证明你的结论.
6.猜想满足,的数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.
(二)课本习题
1.用数学归纳法证明下列等式:.要验证当时等式成立,其左边的式子应为( ).
A. B. C. D.
2.已知数列,满足,.计算,,,由此猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明.
3.已知数列,,,…,,…的前n项和为.计算,,,,由此猜想的表达式,并用数学归纳法证明.
4.用数学归纳法证明:.
5.已知数列,的通项公式分别为,,其中.试推断对哪些正整数n成立,证明你的结论.
6.已知数列满足,.试用数学归纳法证明,并比较与的大小关系.
7.证明:能够被6整除.
8.一本旧教材上有一个关于正整数n的恒等式
其中问号处由于年代久远,只能看出它是关于n的二次三项式,具体的系数已经看不清楚了.请你猜想这个恒等式的形式,并用数学归纳法证明.
9.已知命题:设,为非负实数,,为正实数,若,则.
请将该命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.
六、课后练习
1.用数学归纳法证明(,)时,第一步应验证不等式( )
A. B. C. D.
2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,能被整除”时,第二步归纳假设应写成( )
A.假设当时成立,再推出当时成立
B.假设当时成立,再推出当时成立
C.假设当时成立,再推出当时成立
D.假设当时成立,再推出当时成立
3.设是定义在正整数集上的函数,且满足:当成立时,总有成立.则下列命题总成立的是( )
A.若成立,则成立
B.若成立,则当时,均有成立
C.若成立,则成立
D.若成立,则当时,均有成立
4.若命题在时成立,则有时命题成立,现知在时命题成立,则有( )
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于的正整数不成立,对大于或等于的正整数都成立
C.命题对小于的正整数成立与否不能确定,对大于或等于的正整数都成立
D.以上说法都不正确
5.用数学归纳法证明不等式时,初始值应等于__________.
6.用数学归纳法证明:能被133整除.
7.设等差数列的前n项和为,已知,且.
(1)求和.
(2)是否存在等差数列,对任意的都有成立?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由.
答案及解析
三、自主预习
1. 正整数n
2.真
五、课堂练习
(一)课本练习
1.答案:(1)错误在于没有证明第(1)步
(2)错误在于证明时,没有应用时的假设
解析:(1)有错误,错误在于没有证明第(1)步,即没有证明时等式成立;
(2)有错误,错误在于证明时,没有应用时的假设,而是应用了倒序相加法,这不符合数学归纳法的证明过程,
2.答案:证明见解析
解析:由题意,等比数列的首项为,公比为q,
①当时,,显然满足;
②假设时,成立,
则当时,成立,
由①②可知,对于任意,都有成立.
证明:前n项和公式,
③当时,成立;
④假设时,成立,
则当时,成立,
由③④可知,对于任意,都有成立.
3.答案:证明见解析
解析:证明:①当时,左边,右边,左边=右边,等式成立.
②假设当(,)时,等式成立,
即,
那么当时,

当时,等式也成立.
由数学归纳法基本原理知等式成立.
4.答案:猜想,证明见解析
解析:,,;
由,,,猜想,下面用数学归纳法加以证明:
检验初始值时等式成立,假设时命题成立,证明当时,命题也成立.
①时,,成立;
②假设时,有成立,则当时,

所以,
时,猜想也成立,
故由①,②可知,猜想对都成立.
5.答案:猜想从第5项起,证明见解析
解析:根据题意可得:数列的通项公式为,
数列的通项公式为,
由,,,,,,,
猜想从第5项起,
即证当时,,
(1)当时,,,显然,猜想成立;
(2)假设当,(,)时,猜想成立,即,
当时,

即,
即当时,猜想成立,
由(1)(2)可知,当,时,都有,即.
6.答案:,证明见解析
解析:由可得,
得,

.
推测.
下面用数学归纳法证明:
①当时,左边,
右边,结论成立.
②假设时等式成立,
有,
则当时,

故当时,结论也成立.
由①②可知,对任何*都有.
(二)课本习题
1.答案:C
解析:当时,,左边的式子应为.
答案:C.
2.答案:见解析
解析:由,.
,,同理,,.
对于以上归纳,猜想.
证明:(1)当时,猜想成立.
(2)假设时,猜想成立,即,
则当时,,所以当时猜想成立.
由(1)(2)可知,猜想对任意都成立.
3.答案:见解析
解析:;;
;.
可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为.于是可以猜想.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
(1)当时,左边,右边,猜想成立.
(2)假设当时猜想成立,即,
那么,

所以,当时猜想也成立,
根据(1)(2),可知猜想对任何都成立.
4.答案:见解析
解析:证明:(1)当时,左边,右边,左边=右边,等式成立.
(2)假设等式成立,即,则当时,

当时等式成立.
由(1)(2)可知,等式对任意都成立.
5.答案:见解析
解析:当时,,,;
当时,,,;
当时,,,;
当时,,,;
当时,,,;
当时,,,;
当时,,,;
当时,,,;
当时,,,;
当时,,,;
当时,,,;
当时,,,;
当吋,,,;
当时,,,;
当时,,,;
当时,,,;
当时,,,;
当时,,,.
猜想,当或时,.
下面证明时,.
证明:(1)当时,不等式成立.
(2)假设(且)时不等式成立,即,
则当时,.
,,,
,,,
,时,不等式成立.
由(1)(2)可知,不等式对任意,都成立.
6.答案:见解析
解析:先证.
证明:(1)当时,,不等式成立.
(2)假设当时,,则当时,若,则,这与矛盾,当时,.
由(1)(2)可知,不等式对任意都成立.
由上述证明知,,,.
又,,.
7.答案:见解析
解析:证明:(1)当时,,能够被6整除,命题成立.
(2)假设命题成立,即能够被6整除.
那么当时,,
由假设知能够被6整除,而为偶数,也能够被6整除,也能够被6整除,故能够被6整除,当时,命题成立.
由(1)(2)可知,命题对任意都成立.
8.答案:见解析
解析:设 ,则恒等式为.
当时,左边,右边,

当时,左边,右边,

当时,左边,
右边,,
联立,得得
猜想.
证明:(1)当时,左边,右边,等式成立.
(2)假设当时,等式成立,即.
那么当时,

当时,等式成立.
由(1)(2)可知,等式对任意的都成立.
9.答案:见解析
解析:将该命题推广到一般形式:
设,,…,为非负实数,,,…,为正实数,
当,则.
证明:(1)当时,,左边,右边,,不等式成立.
(2)假设当时,不等式成立,即当时,
成立.
那么当时,时,
,(*)
,时,
(*)式.(★)
又,
(★)式.
当时,等式成立.
由(1)(2)可知,命题对任意都成立.
六、课后练习
1.答案:B
解析:由题意得,当时,不等式为,故选B.
2.答案:B
解析:第二步假设当时成立,再推出当时成立.
3.答案:D
解析:根据题意,若成立,则(,)成立,即成立,结合,所以当时,均有成立.故选D.
4.答案:C
解析:由已知可得时命题成立,则有时命题成立,在时命题成立的前提下,可推得时命题也成立,以此类推,可知命题对大于或等于的正整数都成立,但命题对小于的正整数成立与否不能确定.故选C.
5.答案:6
解析:由题意,当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,,所以用数学归纳法证明不等式时,初始值应等于6.
6.答案:证明见解析
解析:证明:①当时,能被133整除,
所以当时结论成立.
②假设当时,能被133整除,
那么当时,
.
由假设可知能被133整除,即能被133整除,
所以当时结论也成立.
综上,能被133整除.
7.答案:(1),
(2)存在
解析:(1)设数列的公差为d,
则解得
所以,所以.
(2)设,
由,可得,
由,可得,
由,可得,
故猜想存在等差数列满足条件,其中.
现用数学归纳法证明如下:
①当时,由上面过程可知,等式成立.
②假设当时,等式成立,
即,
则当时,

即当时,等式成立.
由①②可知对任意的都有成立,其中.