5.1.2导数的概念及其几何意义 分层练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2　导数的概念及其几何意义
基础过关练
题组一　平均变化率的求解
1.已知函数f(x)=2x2-x+1,则f(x)从1到1+Δx的平均变化率为(　　)
A.2Δx+3　　　B.4Δx+3
C.2(Δx)2+3Δx　　　D.2(Δx)2-Δx+1
2.函数f(x)=x2在区间[1,3]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,则m=(　　)
A.　　　B.1　　　C.2　　　D.
3.(多选题)蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为T(t)=+15,其中T(t)为蜥蜴的体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min),则(　　)
A.从t=0到t=5,蜥蜴的体温下降了12 ℃
B.从t=0到t=5,蜥蜴体温的平均变化率为-2.4 ℃/min
C.当t=5时,蜥蜴体温的瞬时变化率是-1.2 ℃/min
D.蜥蜴体温的瞬时变化率为-3 ℃/min时的时刻t=(2-5)min
4.函数f(x)=x4在区间[a,2a]上的平均变化率为15,则实数a的值为　　　　.
题组二　导数的概念及其应用
5.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为(　　)
A.f '(x0)=
B.f '(x0)=[f(x0+Δx)-f(x0)]
C.f '(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)
D.f '(x0)=
6.若函数f(x)满足f '(3)=1,则=(　　)
A.1　　　B.2　　　C.-1　　　D.-2
7.设函数f(x)满足=2,则f '(x0)=(　　)
A.-2　　　B.-1　　　C.1　　　D.2
8.已知函数f(x)=x-.
(1)用定义求f '(x);
(2)求f(x)的图象在其与x轴交点处的切线方程.
题组三　导数的几何意义及其应用
9.已知曲线f(x)在x=2处的切线方程为2x+y-1=0,则f '(2)+f(2)=(　　)
A.-5　　　B.-3　　　C.3　　　D.5
10.已知=2,f(3)=3,则曲线f(x)在(3,f(3))处的切线方程为(　　)
A.2x+y+9=0　　　B.2x+y-9=0
C.2x-y-9=0　　　D.2x-y+9=0
11.曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)　　　B.(-1,1)
C.(-∞,1)　　　D.(1,+∞)
12.已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,则下列不等式正确的是(　　)
A.B.f '(3)< C.f '(3)D.f '(1)< 13.已知可导函数f(x)的部分图象如图所示, f(2)=0, f '(x)为函数f(x)的导函数,下列结论不一定成立的是(　　)
A.f '(1)B.f '(5)C.f '(2)=f(2)
D.f '(3)14.(多选题)已知函数y=f(x)(x∈R)图象上任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x0-2)·(x0+4)(x-x0),则下列结论正确的有(　　)
A. f '(1)=-5
B.函数y=f(x)的图象在x=2处的切线平行或重合于x轴
C.切线斜率的最小值为1
D.曲线f(x)在x=4处的切线与直线x+16y-1=0垂直
15.已知函数g(x)与f(x)=x2(x∈[0,+∞))的图象关于直线y=x对称,将g(x)的图象先向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度得到h(x)的图象,若P,Q分别为函数f(x),h(x)图象上的点,则这两点间距离的最小值为　　　　.
16.已知函数f(x)=x2.
(1)求f(x)在区间[2 024,2 025]上的平均变化率;
(2)求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;
(3)求曲线y=f(x)过点(2,0)的切线方程.
答案
基础过关练
1.A　由f(x)=2x2-x+1可得f(1)=2, f(1+Δx)=2(1+Δx)2-(1+Δx)+1=2(Δx)2+3Δx+2,
所以f(x)从1到1+Δx的平均变化率为==2Δx+3.
2.C　f(x)=x2在区间[1,3]上的平均变化率为==2,
因为====x,所以f '(x)=x,
故x=m时的瞬时变化率为f '(m)=m,则m=2.
3.ABC　对于A,由题意得T(0)=+15=39,T(5)=+15=27,故从t=0到t=5,蜥蜴的体温下降了39-27=12 ℃,A正确;
对于B,从t=0到t=5,蜥蜴体温的平均变化率为=-2.4 ℃/min,B正确;
对于C,由====-,得T'(t)=-,
则T'(5)=-=-1.2 ℃/min,C正确;
对于D,当T'(t)=-=-3时,t=2-5或t=-2-5(舍去),
所以蜥蜴体温的瞬时变化率为-3 ℃/min时的时刻t=(2-5)min,D错误.
4.答案　1
解析　由题意可知2a>a,即a>0,
由 ==15a3=15,解得a=1.
5.A　
6.C　∵函数f(x)满足f '(3)=1,
∴=-=-f '(3)=-1.
7.B　=-2
=-2f '(x0)=2,∴f '(x0)=-1.
8.解析　(1)由导数的定义可得,
f '(x)==
===1+.
(2)令x-=0,得x=±1,故函数f(x)=x-的图象与x轴有两个交点,分别为(1,0),(-1,0),
结合(1)得f '(1)=2, f '(-1)=2,
∴所求切线方程为y=2(x-1)和y=2(x+1),即2x-y-2=0和2x-y+2=0.
9.A　因为曲线f(x)在x=2处的切线方程为2x+y-1=0,
所以f '(2)=-2,且2×2+f(2)-1=0,所以f(2)=-3,
所以f '(2)+f(2)=-2-3=-5.
10.B　令Δx=x-2,则==-=-f'(3)=2,∴f '(3)=-2,
∴曲线f(x)在(3,f(3))处的切线方程为y-3=-2(x-3),即2x+y-9=0.
11.C　设P(x0,y0),则曲线y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率k=y'=
==1-<1,即k<1.
12.B　设A(1, f(1)),B(3, f(3)),连接AB.
易知f '(1)表示函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率, f '(3)表示f(x)的图象在x=3处的切线的斜率,=表示割线AB的斜率,
由题图可知f '(3)< 13.B　由题图可知f(1)>0,由导数的几何意义知f '(1)<0,所以f '(1)f '(5)>0, f(5)>0,但不确定f '(5)与f(5)的大小关系,B中结论不一定成立;
f '(2)=f(2)=0,C中结论一定成立;
由题图知函数f(x)在区间[3,5]上单调递增,且增长速度越来越快,所以f '(3)14.ABD　由题意可得f '(x)=(x-2)(x+4).
对于A, f '(1)=(1-2)×(1+4)=-5,故A正确;
对于B, f '(2)=0,故函数y=f(x)的图象在x=2处的切线平行或重合于x轴,故B正确;
对于C, f '(x)=(x-2)(x+4)=x2+2x-8=(x+1)2-9≥-9,故切线斜率的最小值为-9,故C错误;
对于D, f '(4)=(4-2)×(4+4)=16,直线x+16y-1=0的斜率为-,16×=-1,故D正确.
15.答案　
解析　由已知得,将直线y=x先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度可得函数f(x)和h(x)图象的对称轴,即直线y=x-2,
所以P,Q两点之间距离的最小值等于P到直线y=x-2距离的最小值的2倍,易知当点P到直线y=x-2的距离最小时, f(x)的图象在点P处的切线平行于直线y=x-2,设P(x0,y0),
则 ===Δx+2x0,当Δx→0时,→2x0,故函数f(x)=x2的图象在点P处的切线斜率为2x0,故2x0=1,解得x0=,则y0=,所以点P到直线y=x-2距离的最小值为=,
所以P,Q两点之间距离的最小值为2×=.
16.解析　(1)因为f(x)=x2,所以f(x)在区间[2 024,2 025]上的平均变化率为=2 0252-2 0242=(2 025-2 024)×(2 025+2 024)=4 049.
(2)由f(x)=x2,得===(Δx+2x)=2x,
故f '(x)=2x,从而f '(2)=2×2=4,又f(2)=22=4,
所以曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y-4=4(x-2),即y=4x-4.
(3)易知直线x=2与曲线y=f(x)不相切,故设切点为(x0,)(x0≠2),
则由f '(x0)=得2x0=,即x0(x0-4)=0,解得x0=0或x0=4,
当x0=0时,切点为(0,0), f '(x0)=2x0=0,
此时切线方程为y=0;
当x0=4时,切点为(4,16), f '(x0)=2x0=8,
此时切线方程为y-16=8(x-4),即y=8x-16.
综上所述,所求切线方程为y=0或y=8x-16.