5.2.1基本初等函数的导数 分层练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.1　基本初等函数的导数
基础过关练
题组一　利用导数公式求函数的导数
1.已知f(x)=-,则f'(x)=　　(　　)
A.-　　　B.　　　C.　　　D.-
2.已知=1,x0∈,则sin x0=(　　)
A.　　　B.　　　C.1　　　D.0
3.(多选题)下列计算不正确的有(　　)
A.'=cos　　　B.(2x)'=2xlog2e
C.(lg x)'=　　　D.(cos x)'=sin x
4.已知f1(x)=sin x, fn+1(x)=f'n(x),n∈N*,则f2 028= (　　)
A.-　　　B.-　　　C.　　　D.
5.求下列函数的导数:
(1)f(x)=;(2)f(x)=log2x;(3)f(x)=5x;
(4)f(x)=-2sin1-2cos2.
题组二　导数公式的应用
6.(多选题)设t为实数,若直线y=x+t是曲线y=f(x)的切线,则f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)=　　　B.f(x)=x4
C.f(x)=ex　　　D.f(x)=cos x
7.若点P是曲线y=ln x上任意一点,则点P到直线y=x+3的距离的最小值为(　　)
A.1　　　B.　　　C.　　　D.2
8.法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出一个定理:如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上是连续不断的,且在开区间(a,b)上可导,那么在区间(a,b)上至少存在一个实数t,使得f(b)-f(a)=f '(t)(b-a),其中t称为“拉格朗日中值”.函数g(x)=ex在区间[0,1]上的“拉格朗日中值”t=　　　　.
9.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1x2x3…x2 024=　　　　.
10.已知函数y1=的图象与函数y2=ax(a>0且a≠1)的图象在公共点处有相同的切线,则a=　　　　.
11.已知A(x1,y1),B(x2,y2)为曲线y=ex上两个不同的点,过A,B分别作y=ex的两条切线,若这两条切线交于点C(x0,y0),且这两条切线的斜率之积为1,则当-取得最小值时,x1=　　　　.
答案
基础过关练
1.B　由题意可得f'(x)='=(-x-3)'=3x-4=.
2.D　令f(x)=sin x,则=f '(x0)=1,又f '(x)=cos x,所以f '(x0)=cos x0=1,又x0∈,所以x0=0,所以sin x0=0.
3.ABD　'=0,A中计算错误;(2x)'=2xln 2,B中计算错误;(lg x)'=,C中计算正确;(cos x)'=-sin x,D中计算错误.
4.D　由题意得f2(x)=f'1(x)=cos x, f3(x)=f'2(x)=-sin x, f4(x)=f'3(x)=-cos x, f5(x)=f'4(x)=sin x=f1(x),……,故f2 028(x)=f4(x)=-cos x,
所以f2 028=-cos=.
5.解析　(1)因为f(x)==,
所以f '(x)==.
(2)因为f(x)=log2x,所以f '(x)=.
(3)因为f(x)=5x,所以f '(x)=5xln 5.
(4)因为f(x)=-2sin=2sin·=2sincos=sin x,
所以f '(x)=(sin x)'=cos x.
6.BC　若直线y=x+t为函数y=f(x)图象的切线,则f'(x)=有解.
对于A, f'(x)=-<0,所以f'(x)不可能等于,故A错误﹔
对于B, f'(x)=4x3,令4x3=,解得x=,故B正确;
对于C, f'(x)=ex,令ex=,解得x=ln ,故C正确;
对于D, f'(x)=-sin x∈[-1,1],所以f'(x)不可能等于,故D错误.
7.D　易知当曲线y=ln x在点P处的切线与直线y=x+3平行时,点P到直线y=x+3的距离最小,设P(x0,ln x0).
由y=ln x得y'=,故y'==1,得x0=1,所以P(1,0),所以点P(1,0)到直线y=x+3的距离为=2.
8.答案　ln(e-1)
解析　由f(b)-f(a)=f '(t)(b-a),a所以et===e-1,解得t=ln(e-1).
9.答案　
解析　由y=xn+1(n∈N*)得y'=(n+1)xn,所以曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线的斜率为n+1,
所以切线方程为y-1=(n+1)(x-1),
令y=0,解得x=-+1=,
所以x1x2x3…x2 024=×××…×=.
10.答案　
解析　由题意得y'1=,y'2=axln a,设两个函数图象的公共点为(x0,y0),
则可得ln a=,且x0=,即ln x0=2x0ln a=1,解得x0=e,则a=.
11.答案　-
解析　对y=ex求导,得y'=ex,则y'=,y'=,
则两条切线方程分别为y=(x-x1)+,y=(x-x2)+,
联立解得即x0=-1,y0=,
因为两条切线的斜率之积为1,所以==1,故x1+x2=0,
则x0=-1,y0=,
所以-=-=+≥2=,当且仅当=,即x1=-时取等号,即当-取得最小值时,x1=-.