5.2.2导数的四则运算法则 分层练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.2　导数的四则运算法则
基础过关练
题组一　导数的四则运算法则
1.下列求导运算结果正确的是(　　)
A.'=1+　　　B.(xln x)'=ln x+1
C.(sin π)'=cos π　　　D.'=
2.已知函数f(x)=xex+cos x,则=(　　)
A.1　　　B.-1　　　C.0　　　D.2
3.已知函数f(x)=+f '(4),则f(2)=(　　)
A.6　　　B.6　　　C.4　　　D.4
4.若f'(x)=,则f(x)的一个解析式为　　　　.
5.已知函数f(x)=,则f '=　　　　.
6.求下列函数的导数.
(1)y=2x3-9x2+12x+7;(2)y=x2sin x;
(3)y=;(4)y=xtan x.
题组二　求导法则的应用
7.吹气球时,气球的半径r(单位:dm)与体积V(单位:L)之间的关系式为r(V)=,则V=2 L时气球的瞬时膨胀率大约是V=16 L时气球的瞬时膨胀率的(　　)
A.2倍　　　B.4倍　　　C.　　　D.
8.已知点P在曲线y=x3-x+上,设曲线在点P处的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是(　　)
A.　　　B.∪
C.　　　D.∪
9.(多选题)直线y=kx-7与曲线y=x3+ax2+b相切于点A(2,1),则(　　)
A.k=4　　　B.a=-2　　　C.b=1　　　D.kab=8
10.曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标,曲线的曲率定义如下:记f '(x)是f(x)的导函数, f ″(x)是f '(x)的导函数,那么曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的曲率K=,则曲线f(x)=sin x+cos x在点处的曲率为(　　)
A.0　　　B.　　　C.　　　D.
11.已知函数f(x)=-2ax2,若a=1,则f '(x)=　　　　;若曲线f(x)在(1, f(1))处的切线与直线ax-3y-2=0垂直,则a的值为　　　　.
能力提升练
题组　求导法则的综合应用
1.函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)(x-9)(x-12)的图象在x=4处的切线的斜率为(　　)
A.-900　　　B.-960　　　C.900　　　D.960
2.(多选题)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f '(x)存在,且导函数f '(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f ″(x)=[f '(x)]'.若f ″(x)≥0在D上恒成立,则称f(x)在D上是“下凸函数”.下列函数在定义域上是“下凸函数”的是(　　)
A.f(x)=x2-4x+3　　　B.g(x)=lox
C.h(x)=x2+2cos x　　　D.φ(x)=x2ln x
3.若函数f(x)=x2-ax与函数g(x)=ln x+2x的图象在公共点处有相同的切线,则实数a=(　　)
A.-2　　　B.-1　　　C.e　　　D.-2e
4.若曲线y=(x-a)·ex有两条过坐标原点的切线,则实数a的取值范围为　　　　　.
5.曲线f(x)=x2-4在点(xn, f(xn))(n∈N*)处的切线与x轴交点的横坐标为xn+1,x1=3,则下列命题正确的是　　　　.(写出正确的序号)
①数列为等差数列;②xn=;③数列{xn-2}的前n项和小于2.
6.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0),给出定义:设f '(x)是函数f(x)的导数,f ″(x)是f '(x)的导数,若方程f ″(x)=0有实数解x0,则称点(x0, f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数的图象都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=x3-x2+3x-,则f(x)的拐点为　　　　, f +f +f +…+f =　　　　.
7.已知函数f(x)=+bln x+2c.
(1)若a=b=1,c=0,求f '(1);
(2)若a=c=0,曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=3x+d,求b+d的值;
(3)若a=b=0,c=1,求曲线y=f(x)与曲线(x-1)2+y2=4的公切线方程.
答案
基础过关练
1.B　'=1-,故A错误;
(xln x)'=ln x+x·=ln x+1,故B正确;
(sin π)'=0,故C错误;
'==,故D错误.
2.A　由f(x)=xex+cos x得f '(x)=ex+xex-sin x,
∴==f '(0)=1.
3.A　依题意得f '(x)=+f '(4),所以f '(4)=3+f '(4),解得f '(4)=4,
则f(x)=+4,所以f(2)=6.
4.答案　f(x)=(答案不唯一)
解析　因为f'(x)=,所以由求导法则可设f(x)=+c,c∈R,当c=0时, f(x)=.
5.答案　
解析　f '(x)=
=,∴f '=.
6.解析　(1)y'=6x2-18x+12.
(2)y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x.
(3)y'==.
(4)y'=tan x+x'=tan x+x·=tan x+.
7.B　由题意得r'(V)=×,则V=2 L时气球的瞬时膨胀率大约是V=16 L时气球的瞬时膨胀率的=4倍.
8.B　依题意得y'=3x2-1,所以切线的斜率存在,所以α≠,设P(m,n),则曲线在点P处的切线的斜率为3m2-1≥-1,则tan α≥-1,又α∈[0,π),α≠,所以α∈∪.
9.ABC　因为直线y=kx-7与曲线y=x3+ax2+b相切于点A(2,1),所以点A在直线y=kx-7上,把点A(2,1)代入y=kx-7,可得k=4,A正确;
令f(x)=x3+ax2+b,则f '(x)=3x2+2ax,
因此f '(2)=12+4a=4,解得a=-2,B正确;
把点A(2,1)代入f(x)的解析式,得f(2)=23-2×22+b=1,解得b=1,故kab=-8,C正确,D错误.
10.D　对f(x)=sin x+cos x求导,得f '(x)=cos x-sin x,对f '(x)求导,得f ″(x)=-sin x-cos x,所以f '=cos-sin=0, f ″=-sin-cos=-,
所以曲线f(x)=sin x+cos x在点处的曲率K===.
11.答案　;1或-
解析　易得f '(x)=-4ax,若a=1,则f '(x)=-4x=.
若曲线f(x)在(1, f(1))处的切线与直线ax-3y-2=0垂直,则f '(1)·=-1,即(1-4a)·=-1,即4a2-a-3=0,
所以(4a+3)(a-1)=0,解得a=1或a=-.
能力提升练
1.D　令g(x)=x(x-1)(x-2)(x-9)(x-12),则f(x)=(x-4)g(x),则f '(x)=g(x)+(x-4)g'(x),
所以f '(4)=g(4)=4×3×2×(-5)×(-8)=960,
所以函数f(x)的图象在x=4处的切线的斜率为960.
2.ABC　对于A, f(x)的定义域为R, f '(x)=2x-4, f ″(x)=2>0,A正确;
对于B,g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)==-,g″(x)=>0,B正确;
对于C,h(x)的定义域为R,h'(x)=2x-2sin x,h″(x)=2-2cos x≥0,C正确;
对于D,φ(x)的定义域为(0,+∞),φ'(x)=2xln x+x2·=2xln x+x,φ″(x)=2ln x+2x·+1=2ln x+3,当03.B　设函数f(x)=x2-ax与函数g(x)=ln x+2x的图象的公共点为(x0,y0),
由已知得f '(x)=2x-a,g'(x)=+2,
则得
令函数h(x)=x2+ln x-1,显然函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,且h(1)=0,
则当h(x)=0时,x=1,因此x0=1,则a=-1.
4.答案　(-∞,0)∪(4,+∞)
解析　由y=(x-a)ex得y'=(x-a+1)ex,
设切点为(x0,(x0-a)),则切线的斜率为(x0-a+1),
故切线方程为y-(x0-a)=(x0-a+1)(x-x0),
因为切线过坐标原点,所以0-(x0-a)=(x0-a+1)·(0-x0),整理得-ax0+a=0,
因为曲线有两条过坐标原点的切线,所以该方程有两个不同的实数解,所以Δ=a2-4a>0,解得a<0或a>4.
故a的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞).
5.答案　②③
解析　由题意得f '(x)=2x,则f '(xn)=2xn,
又f(xn)=-4,所以曲线f(x)在点(xn, f(xn))处的切线方程为y-(-4)=2xn(x-xn),
令y=0,得x=+,即xn+1=+.
对于①,===,
两边取自然对数,得ln=ln=2ln,又ln=ln 5,所以数列是以ln 5为首项,2为公比的等比数列,①错误;
对于②,由①知ln=2n-1·ln 5=ln ,则=,得xn=,②正确;
对于③,x1-2=1>0,xn-2=-2=>0,则xn>2,
则xn+1-2=+-2==<,
设an=xn-2,则an+1<,a1=1,故a2<=,a3<<×<,a4<<×<,……,an<,
因此a1+a2+…+an≤1+++…+==<<2,
即数列{xn-2}的前n项和小于2,③正确.
6.答案　;2 022
解析　f '(x)=x2-x+3,则f ″(x)=2x-1,
令f ″(x)=0,解得x=,又f=1,∴f(x)的拐点为,即函数f(x)图象的对称中心为,
∴f(1-x)+f(x)=2,
∴f+f+f+…+f
=f+f+f+f+…+f+f=×(2×2 022)=2 022.
7.解析　(1)由题设知f(x)=+ln x,则f '(x)=+,所以f '(1)=1.
(2)由已知得f(x)=bln x,则f '(x)=,因此f '(1)=b=3,又f(1)=0,所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=3(x-1),结合已知得d=-3,所以b+d=0.
(3)由已知得f(x)=2,则f '(x)=,则曲线f(x)在(x0, f(x0))(x0>0)处的切线方程为y=(x-x0)+2,即x-y+x0=0,
又该切线与圆(x-1)2+y2=4相切,所以=2,则x0=3,所以公切线方程为x-y+3=0.