5.2.3简单复合函数的导数 分层练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.3　简单复合函数的导数
基础过关练
题组一　复合函数的求导法则
1.下列求导结果正确的是(　　)
A.[(1-2x)2]'=2-4x
B.'=-sin
C.[ln(3x)]'=
D.[x·cos(-x)]'=cos x-xsin x
2.已知函数f(x)=2 025cos,则f '=(　　)
A.0　　　B.-2 025　　　
C.2 025　　　D.4 050
3.已知函数f(x)=asin 3x+bx3+3(a,b∈R),则f(2 021)+f(-2 021)+f '(2 022)-f '(-2 022)=(　　)
A.0　　　B.2 021　　　C.2 022　　　D.6
4.已知函数f(x)=e2x+f '(0)ln(x+4),则f '(0)=　　　　.
5.求下列函数的导数:
(1)y=e-x(x+1)2;
(2)y=cos(3x-1)-ln(-2x+1);
(3)y=sin 2x+cos2x;
(4)y=.
题组二　复合函数求导的应用
6.曲线f(x)=log2(3x)在点P处的切线方程为(　　)
A.3x-y-1=0　　　B.3x-3y-1=0
C.3x-(ln 2)y-1=0　　　D.3x-(3ln 2)y-1=0
7.已知f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,若f(x)为偶函数,且是周期为4的周期函数,则f '(100)=(　　)
A.-100　　　B.100　　　C.0　　　D.-1
8.已知定义在R上的连续函数f(x)的导函数为g(x),则下列说法错误的是(　　)
A.若f(x)的图象关于(a,0)中心对称,则g(x)的图象关于直线x=a对称
B.若g(x)的图象关于直线x=a对称,则f(x)的图象有对称中心
C.若f(x)为周期函数,则g(x)为周期函数
D.若f(x+1)为奇函数,g(x-1)为偶函数,则g(x)是周期为2的周期函数
9.曲线y=-x3+3x2-1的对称中心为　　　　.
10.曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标,曲线的曲率定义如下:若f'(x)是f(x)的导函数, f″(x)是f'(x)的导函数,则曲线y=f(x)在点(x, f(x))处的曲率K=.已知f(x)=2cos(x-1),则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的曲率为　　　　.
11.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),若曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为x-y+3=0,则该曲线在x=1处的切线方程为　　　　.
能力提升练
题组　复合函数的导数及其应用
1.已知定义在实数集R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy, f'(1)=,则f'(2)=(　　)
A.0　　　B.　　　C.1　　　D.
2.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著的经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P0·,其中P0为t=0时该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,则该放射性同位素含量为4.5贝克时,衰变所需时间为(　　)
A.20天　　　B.30天　　　C.45天　　　D.60天
3.设a∈R,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a(x+1)有且仅有1个实根,则a的取值范围为(　　)
A.(-∞,-1]∪[0,1]
B.[-1,0]∪[1,+∞)
C.[-1,1]
D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
4.(多选题)通常把导函数y=f '(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数,记作y=f ″(x),类似地,函数y=f(x)的(n-1)阶导数的导数叫做函数y=f(x)的n阶导数,记作y=f(n)(x).若f(x)=xex+sin 3x+cos 3x,则下面选项正确的是(　　)
A.f ″(1)=3e-9sin 3
B.f(3)(1)=4e-27cos 3+27sin 3
C.f(2 024)(0)=2 024+32 024
D.f(2 025)(0)=2 025+32 025
5.(多选题)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,记g(x)=f '(x),若f(x)的图象关于直线x=2对称,g(4+2x)为奇函数,则(　　)
A.f '(2)=0
B.g(2 024)=g(-2 020)
C.g(2)=g(18)
D.g(4)=2
6.已知函数f(x)满足f(x)=f(1-x),g(x)=f'(x)+,x∈R.若an=g(n∈N*),则数列{an}的前2 025项和为　　　　.
7.设函数f(x)=sin 2x-2cos x+ax-1,x∈,曲线y=f(x)有两条斜率为3的切线,则实数a的取值范围是　　　　.
8.已知曲线C1:y=ln x+2和曲线C2:y=ln(x+2).
(1)若P为曲线C1上的一动点,当点P到直线y=ex+2的距离最小时,求点P的坐标;
(2)若直线l既是曲线C1的切线,也是曲线C2的切线,求直线l的方程.
答案
基础过关练
1.D　[(1-2x)2]'=-2×2(1-2x)=8x-4,A错误;'=0,B错误;[ln(3x)]'==,C错误;[x·cos(-x)]'=(x·cos x)'=cos x+x·(-sin x)=cos x-xsin x,D正确.
2.B　易得f '(x)=-4 050sin,因此f '=-4 050sin=-4 050cos=-2 025.
3.D　由f(x)=asin 3x+bx3+3,可得f(x)的定义域为R,且f(-x)=-(asin 3x+bx3)+3,
所以f(x)+f(-x)=6,故f(2 021)+f(-2 021)=6.
易得f '(x)=3acos 3x+3bx2,所以f '(-x)=f '(x),
则f '(2 022)-f '(-2 022)=0,
所以f(2 021)+f(-2 021)+f '(2 022)-f '(-2 022)=6.
4.答案　
解析　由题意得f '(x)=2e2x+ ,则f '(0)=2+ ,解得f '(0)=.
5.解析　(1)y'=-e-x(x+1)2+e-x·2(x+1)=e-x(1-x2).
(2)y'=-3sin(3x-1)-=-3sin(3x-1)-.
(3)y'=2cos 2x+2cos x(-sin x)=2cos 2x-sin 2x.
(4)y'===.
6.C　由已知得f '(x)==,
所以f '=,
所以切线方程为y=,即3x-(ln 2)y-1=0.
7.C　由题可知f(x)=f(-x), f(x+4)=f(x),
求导可得f '(x)=-f '(-x), f '(x+4)=f '(x),
所以f '(x)是周期为4的奇函数,
在f '(x)=-f '(-x)中,令x=0,得f '(0)=0,
所以f '(100)=f '(4×25+0)=f '(0)=0.
8.D　对于A,若f(x)的图象关于(a,0)中心对称,则f(x)+f(2a-x)=0,两边求导,可得f '(x)-f '(2a-x)=0,即g(x)=g(2a-x),所以g(x)的图象关于直线x=a对称,故A中说法正确;
对于B,若g(x)的图象关于直线x=a对称,则g(x)=g(2a-x),令F(x)=f(x)+f(2a-x),则F'(x)=f '(x)-f '(2a-x)=g(x)-g(2a-x)=0,所以F(x)=C(C为常数),即f(x)+f(2a-x)=C,所以f(x)的图象有对称中心,为,故B中说法正确;
对于C,若f(x)为周期函数,设其周期T(T≠0),则f(x+T)=f(x),两边求导,可得f '(x+T)=f '(x),即g(x+T)=g(x),故C中说法正确;
对于D,若f(x+1)为奇函数,则f(-x+1)=-f(x+1),两边求导,可得-f '(-x+1)=-f '(x+1),
即g(-x+1)=g(x+1)①,
因为g(x-1)为偶函数,所以g(-x-1)=g(x-1),可得g(-(x-2)-1)=g((x-2)-1),
即g(-x+1)=g(x-3)②,
由①②可得g(x+1)=g(x-3),所以g(x)=g(x+4),故g(x)是周期为4的周期函数,故D中说法错误.
9.答案　(1,1)
解析　设f(x)=-x3+3x2-1, f(x)图象的对称中心为(a,b),则f(a+x)+f(a-x)=2b,
两边求导得f '(a+x)-f '(a-x)=0,即f '(a+x)=f '(a-x),所以f '(x)的图象关于直线x=a对称,
因为f '(x)=-3x2+6x=-3(x-1)2+3,所以f '(x)的图象关于直线x=1对称,则a=1, 把a=1代入f(a+x)+f(a-x)=2b,得b=1,
故曲线y=-x3+3x2-1的对称中心为(1,1).
10.答案　2
解析　由题意得f'(x)=-2sin(x-1), f″(x)=-2cos(x-1),故f'(1)=-2sin 0=0, f″(1)=-2cos 0=-2,
则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的曲率K===2.
11.答案　x+y-3=0
解析　因为曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为x-y+3=0,所以f(-1)=2,且f '(-1)=1,
因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,且-f '(-x)=f '(x),
所以f(1)=f(-1)=2, f '(1)=-f '(-1)=-1,
所以该曲线在x=1处的切线方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
能力提升练
1.D　对于f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,令y=x,得f(2x)=2f(x)+x2,则2f'(2x)=2f'(x)+2x,
令x=1,可得2f'(2)=2f'(1)+2=3,所以f'(2)=.
2.D　由题意得P'(t)=-·P0·ln 2,则P'(15)=-·P0=-,解得P0=18,则P(t)=18·,令P(t)=4.5,得18·=4.5,即=,所以-=-2,解得t=60.
3.A　问题转化为函数y=f(x)和y=a(x+1)的图象有且仅有一个交点,
由解析式知y=f(x)和y=a(x+1)的图象都经过点(-1,0),所以只需直线y=a(x+1)与函数y=f(x)的图象在其他点处均不相交.
作出直线y=a(x+1)与函数y=f(x)的图象,如图,
对于y=x2+3x+2,y'=2x+3,故y'|x=-1=1;
对于y=ln(-x),y'=,
故y'|x=-1=-1.
结合图象可知,当a≤-1或0≤a≤1时,y=f(x)与y=a(x+1)的图象有且仅有一个交点,
所以a∈(-∞,-1]∪[0,1].
4.BCD　由题意得f '(x)=(x+1)ex+3(cos 3x-sin 3x),
f ″(x)=(x+2)ex+32(-sin 3x-cos 3x),
f(3)(x)=(x+3)ex+33(-cos 3x+sin 3x),
f(4)(x)=(x+4)ex+34(sin 3x+cos 3x),
f(5)(x)=(x+5)ex+35(cos 3x-sin 3x),
依此类推, f(2 024)(x)=(x+2 024)ex+32 024(sin 3x+cos 3x),
f(2 025)(x)=(x+2 025)ex+32 025(cos 3x-sin 3x),
所以f ″(1)=(1+2)e+32(-sin 3-cos 3)=3e-9sin 3-9cos 3,A错误;
f(3)(1)=(1+3)e+33(-cos 3+sin 3)=4e-27cos 3+27sin 3,B正确;
f(2 024)(0)=2 024+32 024,C正确;
f(2 025)(0)=2 025+32 025,D正确.
5.ABC　因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x+2)=f(-x+2),所以f '(x+2)=-f '(-x+2),令x=0,得f '(2)=0,A正确;
由f(x+2)=f(-x+2)得f(x)=f(-x+4),
所以f '(x)=-f '(-x+4),所以g(x)=-g(-x+4)①,
因此g(x)的图象关于点(2,0)中心对称,
所以g(2 024)=g(-2 020),B正确;
因为g(4+2x)为奇函数,所以g(4-2x)=-g(4+2x),即g(4-x)=-g(4+x),因此g(x)=-g(8-x)②,
则由①②得g(8-x)=g(4-x),所以g(4+x)=g(x),所以函数g(x)是周期为4的周期函数,所以g(18)=g(4×4+2)=g(2),C正确;
由g(4-x)=-g(4+x),得函数g(x)的图象关于点(4,0)对称,所以g(4)=0,D错误.
6.答案　675
解析　由题意知f'(x)=-f'(1-x),即f'(x)+f'(1-x)=0,
因为g(x)=f'(x)+,所以g(x)+g(1-x)=f'(x)+f'(1-x)+=,
设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),
则S2 025=a1+a2+a3+…+a2 025=g+g+g+…+g①,
S2 025=g+g+g+…+g②,
由①②得S2 025==675.
7.答案　
解析　因为f(x)=sin 2x-2cos x+ax-1,
所以f '(x)=2cos 2x+2sin x+a=2(1-2sin2x)+2sin x+a=-4sin2x+2sin x+a+2,
令f '(x)=3,可得-4sin2x+2sin x+a+2=3,
即4sin2x-2sin x+1-a=0,
令t=sin x,由x∈得-1≤t≤1,
令h(t)=4t2-2t+1-a,-1≤t≤1,
因为曲线y=f(x)有两条斜率为3的切线,
所以函数h(t)在[-1,1]上有两个不相等的零点,
所以解得因此,实数a的取值范围是.
8.解析　(1)由题意知,当点P到直线y=ex+2的距离最小时,曲线C1在点P处的切线与直线y=ex+2平行,对y=ln x+2求导,得y'=,令=e,得x=,所以点P的坐标为.
(2)设直线l与曲线C1相切于点A(x1,ln x1+2),
易知曲线C1在点A处的切线斜率为,所以切线l的方程为y-(ln x1+2)=(x-x1),整理得y=x+ln x1+1①.
设直线l与曲线C2相切于点B(x2,ln(x2+2)),对y=ln(x+2)求导,得y'=,
则曲线C2在点B处的切线斜率为,可得切线l的方程为y-ln(x2+2)=(x-x2),整理得y=·x+ln(x2+2)-②.
因为①②均表示直线l,所以=③,且ln x1+1=ln(x2+2)-④.
由③可得x1=x2+2,将其代入④得ln(x2+2)+1=ln(x2+2)-,解得x2=-1,
把x2=-1代入②式得直线l的方程为y=x+1.