5.3.1函数的单调性 分层练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.1　函数的单调性
基础过关练
题组一　利用导数研究函数的图象变化
1.若函数y=f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　)
　　
　　
2.设f '(x)是函数f(x)的导函数,y=f(x)的图象如图所示,则xf '(x)>0的解集是(　　)
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,3)
C.(-∞,0)∪(0,2)
D.(0,1)∪(3,+∞)
3.函数f(x)=的图象大致为(　　)
　　
　　
题组二　利用导数确定函数的单调性与单调区间
4.已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(4-x),则f(x)的单调递增区间为(　　)
A.(2,3)　　　B.(3,4)
C.(-∞,3)　　　D.(3,+∞)
5.若曲线f(x)=与曲线g(x)=x3-ax在x=1处的切线平行,则g(x)的单调递减区间为(　　)
A.(-2,2)　　　B.
C.(-,)　　　D.
6.若f(x)=xsin x+cos x-1,x∈,则f(x)的零点个数为(　　)
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
7.已知函数f(x)=ln x+x2.
(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)求函数h(x)=f(x)-3x的单调区间.
题组三　利用导数解决含参函数的单调性问题
8.已知函数f(x)=++ax+1存在三个单调区间,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,4)
B.[0,4]
C.(-∞,0)∪(4,+∞)
D.(-∞,0]∪[4,+∞)
9.已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则实数a的最小值为(　　)
A.e2　　　B.e　　　
C.e-1　　　D.e-2
10.若f(x)=-x3+x2+2x+1是区间(m-1,m+4)上的单调函数,则实数m的取值范围是(　　)
A.m≤-5　　　
B.m≥3
C.m≤-5或m≥3　　　
D.-5≤m≤3
11.已知函数f(x)=ln x+x2+ax的单调递减区间为,则(　　)
A.a∈(-∞,-3]　　　
B.a=-3
C.a=3　　　
D.a∈(-∞,3]
12.若函数f(x)=-ln x在区间上不单调,则实数m的取值范围为(　　)
A.0C.≤m≤1　　　D.m>1
13.已知函数f(x)=aln x-(2a+1)x+x2.
(1)当a=-1时,求曲线f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若a>0,求f(x)的单调区间.
题组四　导数与函数单调性的应用
14.若a=ln,b=ln,c=-,则(　　)
A.c15.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f '(x),且f '(x)A.(-2,+∞)　　　B.(0,+∞)
C.(1,+∞)　　　D.(2,+∞)
16.已知函数f(x)的定义域为D,若 x1,x2,x3∈I(I D),当x1能力提升练
题组一　利用导数研究函数的单调性及其应用
1.(多选题)若函数g(x)=ex·f(x)在R上单调,则函数f(x)的解析式可以是(　　)
A.f(x)=2x+1　　　B.f(x)=x2+3
C.f(x)=　　　D.f(x)=-sin x-3
2.已知f(x)是可导函数,且f '(x)A.f(1)B.f(1)>ef(0), f(2 025)>e2 025f(0)
C.f(1)>ef(0), f(2 025)D.f(1)e2 025f(0)
3.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f '(x),若xf '(x)+(1-x)f(x)>0恒成立,且f(1)=e, f(4)=e3,则f(2)的取值可能为(　　)
A.5　　　B.4　　　C.3　　　D.2
4.已知实数a,b分别满足ln(a+1)=0.01,eb=1.01,且c=,则(　　)
A.aC.c5.(多选题)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=,双曲余弦函数cosh x=,双曲正切函数tanh x=.则下列说法正确的是(　　)
A.双曲正弦函数是增函数
B.双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数
D.tanh(x+y)=
6.已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f '(x), f '(x)>2, f(2)=4,则不等式xf(x-1)>2x2-2x的解集为　　　　.
7.已知曲线C1:y=2mxex,曲线C2:y=x-mex,若曲线C1,C2有两个交点,则实数m的取值范围为　　　　.
8.定义方程f(x)=f '(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”.
(1)设f(x)=sin x-cos x,则f(x)在(0,π)上的“新驻点”为　　　　;
(2)如果函数g(x)=ln(x+1)与h(x)=x+ex的“新驻点”分别为α,β,那么α和β的大小关系是　　　　.
题组二　利用导数解决含参函数的单调性问题
9.已知函数f(x)=ax2-4ax-ln x,则f(x)在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是(　　)
A.a∈　　　B.a∈
C.a∈　　　D.a∈
10.(多选题)若函数f(x)=loga|x3-3ax|(a>0且a≠1)在上单调递减,则a的取值可以为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.3
11.已知函数f(x)=ax-1-loga(x-1)(其中a>0,且a≠1)在定义域上单调,则实数a的取值范围为　　　　.
12.已知函数f(x)=ax+ex(a∈R).
(1)讨论函数y=f(x)的单调性;
(2)设函数g(x)=f(x)-sin x,若y=g(x)在[0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
13.已知函数f(x)=aln x-ax+1(a∈R,且a≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:当n≥2时,++…+>.
答案
基础过关练
1.C　设导函数y=f '(x)的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,则x1由题图可知,当x0,当x1x3时, f '(x)<0,
因此y=f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,x3)上单调递增,在(x3,+∞)上单调递减,只有C满足.
2.C　由题图知f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增,
故当x∈(-∞,0)∪(2,+∞)时, f '(x)<0;当x∈(0,2)时, f '(x)>0.
由xf '(x)>0,得或解得0所以不等式xf '(x)>0的解集为(-∞,0)∪(0,2).
3.C　函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)==-=-f(x),
所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A,B;
当x>0时, f(x)=,则f '(x)=,
当00, f(x)单调递增,当x>e时, f '(x)<0, f(x)单调递减,排除D.
4.A　由得2易得f '(x)=-=,
∴当x∈(2,3)时, f '(x)>0;当x∈(3,4)时, f '(x)<0,∴f(x)的单调递增区间为(2,3).
5.B　由题意知f'(x)=-,g'(x)=3x2-a,
因为曲线f(x)=与曲线g(x)=x3-ax在x=1处的切线平行,所以f'(1)=g'(1),即-2=3-a,解得a=5,
故g'(x)=3x2-5,令g'(x)<0,解得-所以g(x)的单调递减区间为.
6.C　易得f '(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,
当x∈时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
当x∈时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
易得f=-1>0, f(0)=0, f=-1>0, f(π)=-2<0,
画出f(x)=xsin x+cos x-1在上的大致图象,如图:
由图象可得函数f(x)的零点个数为2.
7.解析　(1)由题意得f '(x)=+2x,则切线的斜率k=f '(1)=3,又f(1)=1,
所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
(2)h(x)=f(x)-3x=ln x+x2-3x(x>0),
所以h'(x)=+2x-3=(x>0),
令h'(x)=0,得x=1或x=,列表如下:
x 1 (1,+∞)
h'(x) + 0 - 0 +
h(x) ↗ ↘ ↗
所以函数h(x)的单调递增区间为,(1,+∞),单调递减区间为.
8.C　由f(x)=++ax+1,可得f '(x)=x2+ax+a,
因为函数f(x)存在三个单调区间,所以f '(x)=0有两个不相等的实数根,
则Δ=a2-4a>0,解得a<0或a>4,
即实数a的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).
9.C　依题可知f '(x)=aex-≥0在(1,2)上恒成立,显然a>0,所以xex≥在(1,2)上恒成立,
设g(x)=xex,x∈(1,2),则g'(x)=(x+1)ex>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增,
则g(x)>g(1)=e,因此e≥,即a≥=e-1,即a的最小值为e-1.
10.C　由题意得f '(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1),
令f '(x)>0,解得-12,
所以f(x)在(-1,2)上单调递增,在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递减,
若f(x)在区间(m-1,m+4)上单调,
则m+4≤-1或m-1≥2或
解得m≤-5或m≥3.
11.B　由f(x)=ln x+x2+ax得f '(x)=,因为f(x)的单调递减区间是,所以和1是方程=0的两个根,代入得a=-3.经检验满足题意.
12.B　f(x)的定义域为(0,+∞),且f '(x)=x-==,
令f '(x)=0,得x=1(负值舍去),
因为f(x)在区间上不单调,
所以解得13.解析　(1)当a=-1时, f(x)=-ln x+x+x2,
则f '(x)=-+1+2x,
∴曲线f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为f '(1)=2,又f(1)=2,∴切点坐标为(1,2),
∴切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.
(2)由已知得f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=,
令f '(x)=0,得x=a或x=.
当0x (0,a) a
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ ↘ ↗
∴f(x)的单调递增区间为(0,a),,单调递减区间为;
当a=时, f '(x)≥0恒成立,∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;
当a>时,列表如下:
x a (a,+∞)
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ ↘ ↗
∴f(x)的单调递增区间为,(a,+∞),单调递减区间为.
14.C　令f(x)=xln x,x∈,则f '(x)=1+ln x>0在上恒成立,
所以f(x)在上单调递增,所以f15.D　设g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f '(x)-x.
因为f '(x)由f(2)=1得g(2)=f(2)-×22=1-2=-1,
由f(x)2,
所以不等式f(x)16.答案　[-3,+∞)
解析　由f(x)=x3+可得f'(x)=3x2-.因为函数f(x)为区间[1,2]上的“递进函数”,所以f'(x)在[1,2]上单调递增(关键点),
令g(x)=3x2-,则g'(x)=6x+≥0在[1,2]上恒成立,即a≥-3x4在[1,2]上恒成立,
所以a≥(-3x4)max,x∈[1,2],即a≥-3.
故实数a的取值范围是[-3,+∞).
能力提升练
1.BD　依题意得g'(x)=ex·f(x)+ex·f '(x)=ex[f(x)+f '(x)],
若g(x)在R上单调,则f(x)+f '(x)≥0或f(x)+f '(x)≤0在R上恒成立.
对于A, f(x)+f '(x)=2x+1+2=2x+3,不满足题意,A错误;
对于B, f(x)+f '(x)=x2+3+2x=(x+1)2+2≥2>0恒成立,B正确;
对于C, f(x)+f '(x)=+==,
则f(-1)+f '(-1)==-<0, f(0)+f '(0)=1>0,不满足题意,C错误;
对于D, f(x)+f '(x)=-sin x-3-cos x=-sin-3≤-3<0恒成立,D正确.
2.A　设F(x)=,x∈R,则F'(x)=<0,所以F(x)在R上单调递减,
所以F(0)>F(1),F(0)>F(2 025),
即 >,>,
所以f(1)3.AB　令g(x)=,x∈R,
则g'(x)=
==>0,
所以g(x)=在R上单调递增,
所以g(1)又f(1)=e, f(4)=e3,
所以1<<,所以又e≈2.718,所以2e≈5.436,≈3.694,
结合选项可知f(2)的可能取值为4,5.
4.C　由ln(a+1)=0.01,eb=1.01,得a=e0.01-1,b=ln 1.01.
设g(x)=ex-x-1(x∈R),则g'(x)=ex-1,
所以当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)≥g(0)=0,即ex-1≥x,
同理可证ln(x+1)≤x,所以ln(x+1)≤x≤ex-1,
当x=0.01时,可得ln 1.01设f(x)=ln x-(x>0),则f '(x)=,
所以当x∈(0,1)时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
所以f(1.01)>f(1),即ln 1.01->ln 1,整理得ln 1.01>,即b>c,所以c5.ACD　对于A,令f(x)=sinh x=,
则f '(x)=>0恒成立,故双曲正弦函数是增函数,故A正确;
对于B,令g(x)=cosh x=,则g'(x)=,
由A知,g'(x)为增函数,又g'(0)==0,
所以当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,故g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故B错误;
对于C,tanh x=====1-,
由y=e2x+1在R上单调递增,且y=e2x+1>1,
得tanh x=1-是增函数,故C正确;
对于D,由C知tanh x=,则tanh(x+y)=,
=
=
=
==,
故tanh(x+y)=,故D正确.
6.答案　(-∞,0)∪(3,+∞)
解析　构造函数g(x)=f(x)-2x,则g'(x)=f '(x)-2>0,所以函数g(x)在R上单调递增,且g(2)=f(2)-2×2=0.
①当x<0时,由xf(x-1)>2x2-2x可得f(x-1)<2(x-1),即f(x-1)-2(x-1)<0,即g(x-1)可得x-1<2,解得x<3,此时x<0;
②当x>0时,由xf(x-1)>2x2-2x可得f(x-1)>2(x-1),即f(x-1)-2(x-1)>0,即g(x-1)>g(2),
可得x-1>2,解得x>3,此时x>3.
综上所述,不等式xf(x-1)>2x2-2x的解集为(-∞,0)∪(3,+∞).
7.答案　∪(e,+∞)
解析　由曲线C1,C2有两个交点,知方程2mxex=x-mex有两个不同的实数解.
由2mxex=x-mex,得(2x+1)mex=x,显然当m=0时,不满足题意,故m≠0,
则·ex=ex=,即直线y=与函数y=ex的图象有两个交点.
令f(x)=ex,则f '(x)=ex=·ex=(x+1)(2x-1).
令f '(x)=0,得x=或x=-1,
当f '(x)>0时,x∈(-∞,-1)∪,当f '(x)<0时,x∈(-1,0)∪,
故f(x)在(-∞,-1),上单调递增,在(-1,0),上单调递减.
易得f(-1)=e-1, f=4, f=0,当x→-∞时, f(x)>0且f(x)→0,当x<0,且x→0时, f(x)→-∞,当x>0且x→0时, f(x)→+∞,当x→+∞时, f(x)→+∞,
据此可得f(x)的大致图象如图:
由图可知>4或0<<,解得0e.
故m的取值范围为∪(e,+∞).
8.答案　(1)　(2)α<β
解析　(1)由f(x)=sin x-cos x得f '(x)=cos x+sin x,令sin x-cos x=cos x+sin x,得cos x=0,
又x∈(0,π),所以x=,
所以函数f(x)在(0,π)上的“新驻点”为.
(2)由h(x)=x+ex,得h'(x)=1+ex,
令x+ex=1+ex,得x=1,即β=1.
由g(x)=ln(x+1),得g'(x)=,由“新驻点”的定义可得g(x)=ln(x+1)的“新驻点”即为方程ln(x+1)=的实数根,
令φ(x)=ln(x+1)-,x>-1,
则φ'(x)=+>0,即函数φ(x)在(-1,+∞)上单调递增,
又φ(0)=-1<0,φ(1)=ln 2->ln -=0,
所以函数φ(x)在(-1,+∞)上存在唯一的零点α,且α∈(0,1),所以α<β.
9.B　由已知得f '(x)=(x>0),
令g(x)=2ax2-4ax-1(x>0),
因为f(x)在(1,3)上不单调,所以f '(x)在(1,3)上有变号零点,即g(x)在(1,3)上有变号零点.
当a=0时,g(x)=-1,不成立;
当a≠0时,只需g(1)·g(3)<0,即(-2a-1)(6a-1)<0,解得a<-或a>,
所以f(x)在(1,3)上不单调的充要条件是a<-或a>,所以f(x)在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件可以是a>.
10.AC　令g(x)=x3-3ax,a>0且a≠1,
则g'(x)=3x2-3a=3(x+)(x-),
∴当x∈(-∞,-)∪(,+∞)时,g'(x)>0;当x∈(-,)时,g'(x)<0,
∴g(x)在(-∞,-),(,+∞)上单调递增,在(-,)上单调递减.
令g(x)=0,解得x=0或x=±,
画出y=|g(x)|的大致图象,如图所示,
当a>1时,若f(x)在上单调递减,则y=|g(x)|在上单调递减,
∴≤<2≤,解得≤a≤;
当0∴2≤或≥,解得a≥4或a≤,
又0综上,实数a的取值范围为∪,结合选项知a的可能取值为和.
11.答案　[e-e,1)
解析　由题意知f(x)的定义域为(1,+∞),
f(x)=ax-1-loga(x-1)=-=[axln a-aln(x-1)],
记h(x)=axln a-aln(x-1),
∵f(x)在定义域上单调,∴h(x)也为单调函数.
若h(x)单调递增,则h'(x)=ax(ln a)2-≥0恒成立,即(x-1)ax-1≥,令s=x-1,则s>0,
∴sas≥,当s→0+时,sas→0,不符合题意.
若h(x)单调递减,则h'(x)=ax(ln a)2-≤0恒成立,即(x-1)ax-1≤,令t=x-1,则t>0,
∴tat≤,∴(tat)max≤,
设G(t)=tat,则G'(t)=(1+tln a)at,
令G'(t)=0,得t=-,
当a>1时,t<0,即x-1<0,与题意不符;
当00,
∴G(t)在上单调递增,在上单调递减,∴(tat)max=-·,
∴-·≤,即≤-,
∴-·ln a≤ln,即-1≤ln,解得a≥e-e,又012.解析　(1)由题意得f '(x)=a+ex,x∈R,
当a≥0时, f '(x)>0恒成立,函数f(x)在R上单调递增;
当a<0时,令f '(x)>0,解得x>ln(-a),
令f '(x)<0,解得x所以f(x)在(ln(-a),+∞)上单调递增,在(-∞,ln(-a))上单调递减.
综上所述,当a≥0时,函数f(x)在R上单调递增;
当a<0时,函数f(x)在(-∞,ln(-a))上单调递减,在(ln(-a),+∞)上单调递增.
(2)由题意得g(x)=ax+ex-sin x,因为y=g(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以g'(x)=a+ex-cos x≥0在[0,+∞)上恒成立,即-a≤ex-cos x在[0,+∞)上恒成立.
令h(x)=ex-cos x,x∈[0,+∞),则h'(x)=ex+sin x>0在[0,+∞)上恒成立,所以h(x)在[0,+∞)上单调递增,所以h(x)min=h(0)=0.
所以-a≤0,解得a≥0,
故实数a的取值范围为[0,+∞).
13.解析　(1)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f '(x)=-a=.
①当a>0时,若00,若x>1,则f '(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞);
②当a<0时,若01,则f '(x)>0,所以f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).
(2)证明:令a=1,则f(x)=ln x-x+1,
由(1)知f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故f(x)≤f(1)=0(当且仅当x=1时取等号),即ln x≤x-1,
当x≥2时,0因此>>0,
令x=n(n≥2),则>=-,
所以++…+>-+-+-+…+-=1-=,
故当n≥2时,++…+>.