5.3.2.1函数的极值 分层练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2.1 函数的极值
基础过关练
题组一　函数极值的概念及其求解
1.下列关于函数极值的说法正确的是(　　)
A.函数的极值可能在区间端点处取到
B.函数在定义域内必有一个极小值和一个极大值
C.若f(x)在区间(a,b)上有极值,则f(x)在区间(a,b)上不单调
D.函数的极值点是平面内的一个点
2.(多选题)如图所示的是y=f(x)的导函数y=f '(x)的图象,则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)在区间(-1,2),(4,+∞)上单调递增
B.x=-1是f(x)的极小值点
C.f(x)在区间(2,4)上单调递减
D.x=2是f(x)的极小值点
3.已知函数f(x)=x(x-1)2,则(　　)
A.f(x)有极小值,无极大值
B.f(x)有极大值,无极小值
C.f(x)既有极小值又有极大值
D.f(x)无极小值也无极大值
4.一个矩形铁皮的长为8 cm,宽为5 cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,若小正方形的边长为x cm,小盒子的容积为V cm3,则(　　)
A.当x=1时,V有极小值
B.当x=1时,V有极大值
C.当x=时,V有极小值
D.当x=时,V有极大值
5.已知函数f(x)=(x2-4)(2x-1).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)的极值.
题组二　含参函数的极值问题
6.若函数f(x)=x3-2ax2+4x+a不存在极值,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-,]　　　B.(-,)
C.[-2,2]　　　D.(-2,2)
7.若函数f(x)=-x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
8.已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处取得极值0,则f '(1)=(　　)
A.6　　　B.12　　　C.24　　　D.12或24
9.已知函数f(x)的导函数f '(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,则实数a的值为(　　)
A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.2
10.已知函数f(x)=ex(x3+a)既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-4,0)　　　B.[-4,0]　　　
C.(0,4)　　　D.[0,4]
11.若函数f(x)=e3x-e2x-ex -a存在零点,则实数a的取值范围为(　　)
A.[-2,+∞)　　　B.[-e,+∞)
C.[-e2,+∞)　　　D.[-1,+∞)
12.若函数f(x)=ln x+x2+ax有两个极值点x1,x2,且f(x1)+f(x2)≤-9,则(　　)
A.a≤-4　　　B.a≥4
C.a≤-4　　　D.a≥2
13.已知函数f(x)=在x=1处取得极值.
(1)求a,b;
(2)证明:当t>0时,(t+1)f(t)14.已知函数f(x)=aln x+-x.
(1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线的方程;
(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.
能力提升练
题组一　函数极值的求解
1.(多选题)已知函数f(x)与其导函数f '(x)的部分图象如图所示,若函数g(x)=,则下列结论正确的是(　　)
A.f(3)>ef(2)
B.g(x)在区间(-3,1)上单调递增
C.当x=1时,函数g(x)有极小值
D.当x=-3时,函数g(x)有极小值
2.(多选题)设函数f(x)=,则下列说法中正确的是(　　)
A.f(x)的定义域是(0,+∞)
B.当x∈(0,1)时, f(x)的图象位于x轴下方
C.f(x)不存在单调递增区间
D.f(x)有且仅有一个极值点
3.定义域均为R的函数f(x),g(x)的导数分别为f '(x),g'(x),且f '(x)=g(x), f(x)+g'(x)=0,则(　　)
A.当x0是f(x)的零点时,x0是g(x)的极大值点
B.当x0是f(x)的零点时,x0是g(x)的极小值点
C.f(x),g(x)可能有相同的零点
D.f(x),g(x)可能有相同的极值点
4.已知函数f(x)=axa+b的导函数为f '(x)=6x2,点P(t, f(t))(t≠0)为曲线f(x)上任意一点,则曲线f(x)在点P处的切线的一般式方程为　　　　,该切线在x轴,y轴上的截距之和的极大值为　　　　.
题组二　含参函数的极值问题
5.已知函数f(x)的导函数f '(x)=(x-1)(x+ln x-a),若x=1是函数f(x)的极大值点,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,1)　　　B.(1,+∞)
C.(-∞,1]　　　D.[1,+∞)
6.若函数f(x)=ex-ax2在区间(0,+∞)上无零点,但有2个极值点,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　B.　　　C.(0,e)　　　D.
7.已知函数f(x)=aex-sin x,a>0.
(1)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)在区间内有唯一的极值点,求a的取值范围.
题组三　函数极值的综合应用
8.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R)的大致图象如图所示,则(　　)
A.a>0,b>0,c<0
B.a>0,b<0,c<0
C.a>0,b<0,c>0
D.a<0,b>0,c>0
9.已知函数f(x)=-x3+2x2-x,若过点P(1,t)可作曲线y=f(x)的三条切线,则t的取值范围为(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
10.已知函数f(x)的导函数为f '(x),且对任意的实数x都有f '(x)=e-x(2x+3)-f(x), f(0)=1,若关于x的不等式f(x)-m<0的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是(　　)
A.[-e,0)　　　B.[-e2,0)　　　
C.(-e,0]　　　D.(-e2,0]
11.(多选题)函数f(x)=x+cos x(x>0)的所有极值点从小到大排列构成数列{an},设Sn是{an}的前n项和,则(　　)
A.{an}为等差数列
B.a4=π
C.a3为f(x)的极大值点
D.sin S2 023=
12.(多选题)已知f(x)=2x3-3x2+(1-a)x+b(a,b∈R),则下列结论正确的是(　　)
A.若f(x)在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(-∞,0)
B.若f(x)满足f(1-x)=2-f(x),则a-2b=2
C.当a=1时,若f(x)有三个零点,则b的取值范围是(0,1)
D.若f(x)存在极值点x0,且f(x0)=f(x1),其中x0≠x1,则2x0+x1=
13.设P为f(x)=x3的导函数f '(x)的图象上一点,Q为g(x)=ln x的图象上一点,当P,Q关于直线y=x对称时,称(P,Q)是f '(x)与g(x)的图象的一组对称点.若f '(x)与g(x)的图象恰有3组对称点,则a的取值范围是　　　　.
14.已知函数f(x)=x2-2ax+a,a∈R.
(1)若函数g(x)=xf(x)在x=1处有极值,且关于x的方程g(x)=t有3个不同的实根,求实数t的取值范围;
(2)记h(x)=-ln x,若对任意x1,x2∈(0,1]且x1>x2,均有|f(x1)-f(x2)|<|h(x1)-h(x2)|成立,求实数a的取值范围.
基础过关练
1.C　
2.ABC　由题图可知,当x∈(-1,2)∪(4,+∞)时, f '(x)>0,当x∈(-3,-1)∪(2,4)时, f '(x)<0,所以f(x)在(-1,2),(4,+∞)上单调递增,在(-3,-1),(2,4)上单调递减,所以x=-1是f(x)的极小值点,x=2是f(x)的极大值点,故A,B,C正确,D错误.
3.C　由f(x)=x(x-1)2=x3-2x2+x,可得f '(x)=3x2-4x+1=(x-1)(3x-1),
当x∈时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
当x∈时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
所以当x=时,函数f(x)取得极大值,当x=1时,函数f(x)取得极小值,故f(x)既有极大值又有极小值.
4.B　由已知可得V=x(8-2x)(5-2x)=4x3-26x2+40x,所以V'=12x2-52x+40,
令V'=0,得x=1或x=(舍去),
当00,当1所以函数V=4x3-26x2+40x在(0,1)上单调递增,在上单调递减,
所以当x=1时,V取得极大值.
5.解析　(1)因为f(x)=(x2-4)(2x-1)=2x3-x2-8x+4,
所以f '(x)=6x2-2x-8=2(3x-4)(x+1),
令f '(x)=0,得x=-1或x=,列表如下:
x (-∞,-1) -1
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),,单调递减区间为.
(2)由(1)可知当x=-1时,函数f(x)取得极大值,为f(-1)=9,当x=时,函数f(x)取得极小值,为f=-.
6.A　由f(x)=x3-2ax2+4x+a,得f '(x)=3x2-4ax+4,
因为函数f(x)不存在极值,所以f '(x)≥0在R上恒成立,则Δ=16a2-4×3×4≤0,解得-≤a≤.
7.C　易得f '(x)=x2-ax+1,
因为f(x)在区间内有极值点,所以f '(x)在区间内有变号零点,
令f '(x)=x2-ax+1=0,得a=x+,
令g(x)=x+,x∈,
则g(x)在上单调递减,在(1,3)上单调递增,
又g(1)=2,g=,g(3)=,
∴g(x)∈,当a=2时, f '(x)=(x-1)2≥0,不符合题意,∴2故实数a的取值范围是.
8.C　由题意得f '(x)=3x2+6ax+b,
因为f(x)在x=-1处取得极值0,
所以解得或
当a=1,b=3时, f '(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,函数f(x)在R上单调递增,无极值,不符合题意;
当a=2,b=9时, f '(x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1),
令f '(x)>0,得x<-3或x>-1,令f '(x)<0,得-3所以f(x)在x=-1处取得极小值,符合题意.
故f '(x)=3x2+12x+9,则f '(1)=24.
9.D　因为1不是函数f(x)的极值点,所以1是f '(x)的不变号零点,
设h(x)=x2-3x+a,则h(1)=0,即1-3+a=0,得a=2,
当a=2时, f '(x)=(x-1)(x2-3x+2)=(x-1)2(x-2),
当x<1时, f '(x)<0,当1因此1不是f(x)的极值点,即a=2满足题意.
10.A　由题得f '(x)=ex(x3+3x2+a),令g(x)=x3+3x2+a,则g'(x)=3x2+6x=3x(x+2),
当x<-2或x>0时,g'(x)>0,则g(x)在(-∞,-2)和(0,+∞)上单调递增,
当-2要使函数f(x)既有极大值又有极小值,则f '(x)至少有两个变号零点,所以g(x)至少有两个变号零点,所以解得-411.D　f '(x)=3e3x-2e2x-ex =ex (3e2x-2ex -1)=ex (ex-1)(3ex +1),
令f '(x)=0,得ex -1=0,解得x=0.
当x∈(-∞,0)时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
结合f(x)的图象(图略)可知,若函数f(x)=e3x-e2x-ex -a存在零点,则必有f(0)=-a-1≤0,解得a≥-1,
故a的取值范围为[-1,+∞),
12.A　由题可得f'(x)=(x>0),
因为f(x)有两个极值点x1,x2,所以方程x2+ax+1=0有两个不同的正实数根x1,x2,
所以a2-4>0,x1+x2=-a>0,x1x2=1,所以a<-2,
所以f(x1)+f(x2)=ln x1++ax1+ln x2++ax2=ln(x1x2)+(x1+x2)2-x1x2+a(x1+x2)=ln 1+a2-1-a2=-a2-1,
因为f(x1)+f(x2)≤-9,所以-a2-1≤-9,解得a≤-4或a≥4,又a<-2,所以a≤-4.
13.解析　(1)易得f '(x)==,
因为f(x)在x=1处取得极值,所以f '(1)==0,且f(1)==,解得a=1,b=0,
故f(x)=, f '(x)=,
令f '(x)>0,得x<1,令f '(x)<0,得x>1,
所以f(x)=在x=1处取得极值,满足要求.
故a=1,b=0.
(2)证明:由(1)知f(x)=,则(t+1)f(t)-t=(t+1)·-t=,
令g(t)=t+1-et,t>0,则g'(t)=1-et<0,
故g(t)在(0,+∞)上单调递减,则g(t)所以当t>0时,(t+1)f(t)-t=<0,即(t+1)·f(t)14.解析　(1)当a=1,b=-2时, f(x)=ln x--x,x>0,
则f '(x)=+-1=,
令f '(x)=2,得=2,解得x=1(负值舍去),
又f(1)=-3,所以曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.
(2)由题可得f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=--1=,
由x=1是f(x)的极小值点,得f '(1)=-1+a-b=0,故a=b+1,
则f '(x)==-,
若b≤0,令f '(x)>0,解得x∈(0,1),令f '(x)<0,解得x∈(1,+∞),
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;
若00,解得x∈(b,1),令f '(x)<0,解得x∈(0,b)∪(1,+∞),
所以f(x)在(b,1)上单调递增,在(0,b),(1,+∞)上单调递减,则x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;
若b=1,则f '(x)=-≤0, f(x)在(0,+∞)上单调递减,无极值,不满足题意;
若b>1,令f '(x)>0,解得x∈(1,b),令f '(x)<0,解得x∈(0,1)∪(b,+∞),
所以f(x)在(1,b)上单调递增,在(0,1),(b,+∞)上单调递减,则x=1是f(x)的极小值点,满足题意.
综上,当x=1是f(x)的极小值点时,b的取值范围是(1,+∞).
能力提升练
1.AC　由题意得g'(x)=, f(x), f '(x)的图象如图所示:
当1f(x),即f '(x)-f(x)>0,则g'(x)>0,所以g(x)在(1,6)上单调递增,所以g(3)>g(2),即 >,所以f(3)>ef(2),故A正确;
当-3当x=1时, f '(x)=f(x),则g'(x)=0,又g(x)在(-3,1)上单调递减,在(1,3)上单调递增,所以当x=1时,g(x)有极小值,故C正确;
当x=-3时, f '(x)=f(x),则g'(x)=0,当x<-3时, f '(x)>f(x),所以f '(x)-f(x)>0,所以g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,-3)上单调递增,又g(x)在(-3,1)上单调递减,所以当x=-3时,函数g(x)有极大值,故D错误.
2.BD　由题意得解得x>0且x≠1,所以f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),故A不正确;
当x∈(0,1)时,ln x<0,ex>0,所以f(x)=<0,所以f(x)在(0,1)上的图象都在x轴下方,故B正确;
f '(x)=,令g(x)=ln x-,则g'(x)=+=,
当x>1时,g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增,因为g(2)=ln 2->0,所以当x>2时,g(x)>g(2)>0,此时f '(x)>0,所以函数f(x)存在单调递增区间,故C不正确;
当x>0时,g'(x)=+>0,函数g(x)单调递增,又g(1)=-1<0,g(2)>0,所以存在x0∈(1,2),使得g(x0)=0,即f '(x0)=0,
当x∈(0,1)时, f '(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(1,x0)时, f '(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时, f '(x)>0,函数f(x)单调递增,所以f(x)有且仅有一个极值点,故D正确.
3.C　对于A,B,因为f(x)+g'(x)=0,所以g'(x)=-f(x),若f(x0)=0,则g'(x0)=0,但x0不一定是g(x)的极值点,故A,B错误.
对于C,易知f(x)=0和f '(x)=0可以同时成立,即f(x)=0,g(x)=f '(x)=0可以同时成立,所以f(x),g(x)可能有相同的零点,故C正确.
对于D,若g(x)在x0处取得极大值,则g'(x0)=0,且在x0左右两侧无限小的区间内g'(x)先正后负,
若g(x0)>0,则在x0左右两侧无限小的区间内g(x)>0,即x∈(x0-|δ|,x0+|δ|),δ→0时,必有g(x)>0,即f '(x)>0,所以f(x)在(x0-|δ|,x0+|δ|)上单调递增,无极值点;
若g(x0)≤0,则在x0左右两侧无限小的区间内g(x)≤0,即x∈(x0-|δ|,x0+|δ|),δ→0时,必有g(x)≤0,且仅在x=x0处取等号,即f '(x)≤0,所以f(x)在(x0-|δ|,x0+|δ|)上单调递减,无极值点.
同理,若g(x)在x0处取得极小值,也可以得出x0不是f(x)的极值点,故D错误.
4.答案　6t2x-y-4t3=0;
解析　由f(x)=axa+b,可得f '(x)=a(a+b)xa+b-1,
又f '(x)=6x2,所以解得
所以f(x)=2x3,则f(t)=2t3,又f '(t)=6t2,
所以曲线f(x)在点P处的切线方程为y-2t3=6t2(x-t),即6t2x-y-4t3=0.
令y=0,可得x=;令x=0,可得y=-4t3,则切线在x轴,y轴上的截距之和为-4t3.
设g(t)=-4t3+,则g'(t)=-12t2+,
令g'(t)=0,得-12t2+=0,解得t=±,
当t<-或t>时,g'(t)<0,g(t)单调递减;当-0,g(t)单调递增,
所以当t=时,函数g(t)取得极大值,极大值为g=,故该切线在x轴,y轴上的截距之和的极大值为.
5.B　令f '(x)=(x-1)(x+ln x-a)=0,则x=1或x+ln x-a=0,
易知函数y=x+ln x在(0,+∞)上单调递增,且值域为R,所以方程x+ln x-a=0有唯一的实数根,设为t,t>0,则t+ln t-a=0,即a=t+ln t.
故f '(x)=(x-1)(x+ln x-a)=0的根为x=1或x=t,
又x=1是函数f(x)的极大值点,
所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增,
故t>1,所以a=t+ln t>1+ln 1=1,即a>1.
6.B　由题意得f(x)=ex-ax2=0在区间(0,+∞)上无解,即a=在区间(0,+∞)上无解.
设g(x)=(x>0),则g'(x)==(x-2),
所以当x∈(0,2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)≥g(2)=,显然当x→+∞时,g(x)→+∞,当x→0+时,g(x)→+∞,所以a<.
因为函数f(x)=ex-ax2在区间(0,+∞)上有2个极值点,所以f '(x)=ex-2ax=0在区间(0,+∞)上有2个不同的解,即2a=在区间(0,+∞)上有2个不同的解,
设h(x)=(x>0),则h'(x)==(x-1),
所以当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
所以h(x)≥h(1)=e,显然当x→+∞时,h(x)→+∞,当x→0+时,h(x)→+∞,所以2a>e,则a>.
综上,实数a的取值范围是.
7.解析　(1)当a=3时, f(x)=3ex-sin x,
则f '(x)=3ex-cos x,∴f '(0)=3-1=2,
又f(0)=3,∴曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y-3=2x,即2x-y+3=0.
(2)易得f '(x)=aex-cos x,a>0.
①若a≥1,当x∈时,aex>1,cos x∈(0,1),
∴f '(x)>0,故y=f(x)在区间上单调递增,没有极值点,不合题意,舍去.
②若0则φ'(x)=aex+sin x>0,
∴φ(x)在区间上单调递增,即f '(x)在区间上单调递增,
又f '(0)=a-1<0, f '=a>0,
∴f '(x)在区间上有唯一零点,设为x1,
当x∈(0,x1)时, f '(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈时, f '(x)>0,函数f(x)单调递增,
∴函数y=f(x)在区间内有唯一的极值点x1,符合题意.
综上所述,a的取值范围是(0,1).
8.B　易得f '(x)=3ax2+2bx+c.由题图可知,函数f(x)有两个递增区间,一个递减区间,所以函数f '(x)的图象开口向上,且与x轴有两个交点,故a>0.
设方程f '(x)=3ax2+2bx+c=0的两根分别为x1,x2,因为函数f(x)的极大值点在y轴左侧,极小值点在y轴右侧,且极大值点离y轴较近,所以x1+x2>0,x1x2<0,即->0,<0,又a>0,所以b<0,c<0.
9.C　设切点为(m,-m3+2m2-m),易得f '(x)=-3x2+4x-1,则切线的斜率为-3m2+4m-1,
故曲线y=f(x)在点(m,-m3+2m2-m)处的切线方程为y+m3-2m2+m=(-3m2+4m-1)(x-m),
将点P的坐标代入切线方程得t+m3-2m2+m=(-3m2+4m-1)(1-m),整理得t=2m3-5m2+4m-1,
令g(x)=2x3-5x2+4x-1,
则g'(x)=6x2-10x+4=2(x-1)(3x-2),
令g'(x)=0,得x=或x=1,
当x∈∪(1,+∞)时,g'(x)>0,
当x∈时,g'(x)<0,
则g(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减,
所以g(x)的极大值为g=,极小值为g(1)=0,画出y=g(x)的大致图象,如图所示:
由题意可知,直线y=t与函数g(x)的图象有三个交点,则010.C　由f '(x)=e-x(2x+3)-f(x),得ex[f '(x)+f(x)]=2x+3,所以[exf(x)]'=2x+3,则exf(x)=x2+3x+c(c为常数),所以f(x)=,
因为f(0)=1,所以f(0)==c=1,即f(x)=,则f '(x)===,
令f '(x)>0,得-21,故f(x)在(-2,1)上单调递增,在(-∞,-2),(1,+∞)上单调递减,
所以当x=1时, f(x)取得极大值,为f(1)=,
当x=-2时, f(x)取得极小值,为f(-2)=-e2,
易得f(-1)=-e<0, f(0)=1>0, f(-3)=e3>0,当x>1时, f(x)>0,画出f(x)的大致图象如图所示,
f(x)-m<0的解集中恰有两个整数等价于f(x)的图象在直线y=m下方的部分只有2个横坐标为整数的点,结合函数f(x)的图象可得f(-1)11.BC　由题意得f '(x)=-sin x,
令f '(x)=0,得sin x=,解得x=+2kπ(k∈N)或x=+2kπ(k∈N),
则a1=,a2=,a3=,a4=,故B正确;
显然a2-a1≠a3-a2,所以数列{an}不是等差数列,故A错误;
当0,当所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,
所以a3为函数f(x)的极大值点,故C正确;
由正弦曲线的对称性可知点,关于直线x=对称,则a2+a3=3π,
点,关于直线x=对称,则a4+a5=7π,
以此类推可知,a2m+a2m+1=3π+4(m-1)π=(4m-1)π(m∈N*),
所以S2 023=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2 022+a2 023)=+3π+7π+…+4 043π
=+=+1 011×2 023π,
所以sin S2 023=sin=-sin=-,故D错误.
12.CD　对于A,由题意得f '(x)=6x2-6x+(1-a),
因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f '(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≤6x2-6x+1=6-在(0,+∞)上恒成立,∴a≤-,故A错误.
对于B,∵f(1-x)=2-f(x),∴f(1-x)+f(x)=2,
∴f(x)的图象关于点中心对称,
又x∈R,∴点在f(x)的图象上,
则f=2×-3×+(1-a)+b=-a+b=1,∴a-2b=-2,故B错误.
对于C,当a=1时, f(x)=2x3-3x2+b,∴f '(x)=6x2-6x=6x(x-1),
令f '(x)>0,得x<0或x>1,令f '(x)<0,得0故f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
∴当x=0时, f(x)取得极大值,为f(0)=b,
当x=1时, f(x)取得极小值,为f(1)=b-1,
易知当x→-∞时, f(x)→-∞,当x→+∞时, f(x)→+∞,
∵f(x)有三个零点,∴解得0对于D, f '(x)=6x2-6x+(1-a)=6-,
当a≤-时, f '(x)≥0,即f(x)在R上单调递增,无极值点,不满足题意;
当a>-时,令f '(x)=0,得x=±,∴f(x)在,上单调递增,在上单调递减,此时f(x)存在极值点,满足题意.
由f '(x0)=0,得1-a=6x0-6,①
∵f(x0)=f(x1),∴(x0-x1)[2(+x1x0+)-3(x0+x1)+(1-a)]=0,又x0≠x1,∴2(+x1x0+)-3(x0+x1)+(1-a)=0,②
把①代入②,化简得2(x0-x1)=0,即2x0+x1=,故D正确.
13.答案　
解析　依题意得f '(x)=x2,设P(x0,y0),则Q(y0,x0),
因为f '(x)与g(x)的图象恰有3组对称点,
所以有三组解,即a=有三个实数解,
令h(x)=,则h'(x)=,
当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(0,2)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(2,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减.所以h(x)极小值=h(0)=0,h(x)极大值=h(2)=,画出h(x)的大致图象如图:
由题意得h(x)的图象与直线y=a有3个交点,所以014.解析　(1)依题意得g(x)=x3-2ax2+ax,
则g'(x)=3x2-4ax+a,由g(x)在x=1处有极值,可得g'(1)=3-4a+a=0,解得a=1,
此时g(x)=x3-2x2+x,g'(x)=3x2-4x+1,
令g'(x)=0,解得x=1或x=,
当1或x<时,g'(x)>0,故g(x)在,(1,+∞)上单调递增,
所以g(x)在x=1处取得极小值,在x=处取得极大值,因此a=1符合题意.
方程g(x)=t有3个不同的实根等价于g(x)极小值所以t的取值范围是.
(2)易知h(x)=-ln x在(0,1]上单调递减,所以当x1,x2∈(0,1]且x1>x2时,h(x1)所以|f(x1)-f(x2)|<|h(x1)-h(x2)|可化为|f(x1)-f(x2)|即h(x1)-h(x2)即对任意x1,x2∈(0,1]且x1>x2,
恒成立.
所以f(x)+h(x)在(0,1]上单调递减, f(x)-h(x)在(0,1]上单调递增,
由f(x)+h(x)在(0,1]上单调递减,可得f '(x)+h'(x)≤0在(0,1]上恒成立,即2x-2a-≤0在(0,1]上恒成立,即2a≥2x-在(0,1]上恒成立,
易知y=2x-在(0,1]上单调递增,所以当x∈(0,1]时,=1,所以2a≥1,即a≥.
由f(x)-h(x)在(0,1]上单调递增,可得f '(x)-h'(x)≥0在(0,1]上恒成立,即2x-2a+≥0在(0,1]上恒成立,即2a≤2x+在(0,1]上恒成立,
又当x∈(0,1]时,y=2x+≥2,当且仅当x=时等号成立,所以2a≤2,即a≤.
综上,实数a的取值范围是.