广东省两校2026届高三上学期8月联考数学试卷（含解析）

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广东省两校2026届高三上学期八月联考
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
4.为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，某市各学校坚持落实“双测温报告”制度，以下是该市某中学高二班第二组的名同学某日上午的体温记录：，，，，，，，单位：，则该组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
5.下列叙述正确的是( )
A. 用区间可表示为 B. 用区间可表示为
C. 用集合可表示为 D. 用集合可表示为
6.在正方体中，过点且以为法向量的平面截正方体所得截面的形状为．
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
7.设表示不超过的最大整数如，，对于给定的，定义，，则当时，函数的值域是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数的图象在区间上有且仅有两条对称轴，则在以下区间上一定单调的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若幂函数在上单调递减，则的值可能是( )
A. B. C. D.
10.已知平面向量，，且，则 。
A. B. 或
C. 与夹角的大小为 D.
11.上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出某反斜面阵地如图所示，山脚，两点和敌方阵地点在同一条直线上，某炮弹的弹道是抛物线的一部分，其中在直线上，抛物线的顶点到直线的距离为米，长为米，，，建立适当的坐标系使得抛物线的方程为，则( )
A.
B. 的准线方程为
C. 的焦点坐标为
D. 弹道上的点到直线的距离的最大值为米
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，，的对边分别为，，，已知，，则 ______．
13.两个等差数列和的前项和分别为，，且，则的值等于______．
14.已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上运动，且，记点的轨迹长度为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
本题满分分已知函数的图象在点处的切线的斜率为．
Ⅰ求实数的值
Ⅱ设，讨论的单调性
Ⅲ已知且，证明：
16.本小题分
为了加快恢复疫情过后的经济，各地旅游景点相继推出各种优惠政策，刺激旅游消费．去年月份，某景区一纪念品超市随机调查了名游客到该超市购买纪念品的情况，整理数据，得到下表：
消费金额元
人数
Ⅰ补全下面的列联表；
消费金额不少于元 消费金额少于元 总计
年龄不小于岁
年龄小于岁
总计
Ⅱ通过计算判断能否有的把握认为购买纪念品的消费金额与年龄有关．
附：，其中．
17.本小题分
如图在三棱锥中，，且．
求证：平面平面；
若为中点，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，，
Ⅰ求数列和的通项公式；
Ⅱ，求数列的前项和．
Ⅲ表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有个元素，求范围．
19.本小题分
设是双曲线：的左焦点，经过的直线与相交于，两点．
若，都在双曲线的左支上，求面积的最小值．
是否存在轴上一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解答】
解：，
所以，
故选B．
2.【答案】
【解析】解：，
当为偶数，即时，，，
当为奇数，即时，，，
．
故选：．
根据集合相等的定义即可证明结论．
本题主要考查集合相等的判断，比较基础．
3.【答案】
【解答】
解：因为，
所以
．
4.【答案】
【解答】
解：将个数据按从小到大排列为，，，，，，，，
则
所求第百分位数为第位，故为．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：对于选项A，用区间可表示为，故A错误；
对于选项B，用区间可表示为，故B错误；
对于选项C，用集合可表示为，故C错误；
对于选项D，用集合可表示为，故D正确．
故选：．
根据区间的概念逐项判断即可．
本题主要考查了区间的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解答】
解：连接，，则，
又，，
故，又，，，
故，，
故，
同理，，
，，，
故，
故过点且以为法向量的平面截该正方体所得截面为三角形．
故选：．
7.【答案】
【解析】根据给定的定义式可得当时，当时，所以值域
8.【答案】
【解析】解：令，即，所以，，
所以，，分别取，，，得，，，
所以，得，
当时，得对称轴方程为，且；
当时，得对称轴方程为，且，，
故不是函数的单调区间，C错误；
当时，得对称轴方程为，且，，，
故不是函数的单调区间，B错误；
当时，得对称轴方程为，且，，，，故A错误，
由以上分析可以看到，介于和时的相邻的对称轴之间，
故在区间上一定单调．
故选：．
根据余弦函数的对称轴方程求得，解得，结合在区间上有且仅有两条对称轴，求得，由此依次取，，，求得函数图象相应的对称轴的范围，比较和四个选项中区间的关系，即可判断答案．
本题考查了余弦函数的性质，考查了函数思想和分类讨论思想，属于中档题．
9.【答案】
【解答】
解：设幂函数，
若，则，，在上单调递减，符合题意；
若，则，，在上单调递减，符合题意；
若，则，，定义域为，不符合题意；
若，则，，在上单调递增，不符合题意；
故选AB．
10.【答案】
【解答】
解：，
，即，
解得A正确，B错误；
，所以夹角为，C正确；
，故，
，不成立，D错误；
故选AC．
11.【答案】
【解答】
解：根据题意，建立以为坐标原点，轴平行于，轴垂直于的平面直角坐标系如图所示：
此时，，，
抛物线的方程为，即，
解得，故A正确；
，准线方程为，焦点坐标为，故B正确，C错误
，，，
直线的方程为，即，
不妨设上一点为，，
该点到直线的距离为，
，
，
设，，
，，对称轴，
故，
此时，，
弹道上的点到直线的距离最大值为，故D正确．
故选ABD．
12.【答案】
【解析】解：，
由正弦定理知，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
利用正弦定理把已知等式中边转换成角的正弦，进而利用，的关系求得的值，最后利用二倍角公式求得的值．
本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．解题的关键是利用正弦定理对边角问题进行互化．
13.【答案】
【解析】解：因为，
设，，
所以．
故答案为：．
根据题意，分别设出，的表达式，然后代入计算，即可得到结果．
本题考查的知识点：等差数列的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】由定义可知当，点的轨迹是三个半径为的圆周长，此时点分别在三个侧面上运动，所以．
15.【答案】Ⅰ；
Ⅱ在区间和都是单调递增的
Ⅲ见解析
【解析】Ⅰ所以 分由题意，得 分
Ⅱ，所以 分设当时，，是增函数，，所以，故在上为增函数； 分当时，，是减函数，，所以，故在上为增函数；所以在区间和都是单调递增的。 分
Ⅲ因为，由Ⅱ知成立，即， 分从而，即 分 所以 分
16.【答案】解：Ⅰ补全的列联表如下：
消费金额不少于元 消费金额少于元 总计
年龄不小于岁
年龄小于岁
总计
Ⅱ，
有的把握认为购买纪念品的消费金额与年龄有关．
17.【答案】解：证明：取中点，连接，，
在三棱锥中，，且，
，，是平面和平面所成角的平面角，
，，，
，，
，
平面平面；
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
为中点，，
平面的法向量，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面与平面夹角为，
则平面与平面夹角的余弦值为：
．

【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
取中点，连接，，推导出，，是平面和平面所成角的平面角，由勾股定理求出，由此能证明平面平面；
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面夹角的余弦值．
18.【答案】解：Ⅰ设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
因为，，，
则，解得或舍去，
所以；．
Ⅱ因为，，
设，
，
两式相减得
，
所以，
当为奇数时，，
设
，
．
Ⅲ由题意可知：，
其中，
所以，
集合，设，
则，
所以当时，，当时，
计算可得，，，，，
因为集合有个元素，可得的范围是
【解析】Ⅰ设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式；
Ⅱ设，错位相减法求得，设，裂项相消法求得，进而可得结果；
Ⅲ求出，设，作差法得到其单调性，结合集合有个元素，求出所求取值范围．
19.【答案】解：设直线的方程为，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
此时，
又原点到直线的距离为，
此时，
因为，两点均在双曲线的左支上，
所以，，
解得，
令，
此时，
则，
当，即时，等号成立，
所以面积的最小值为；
假设存在这样的定点，
当直线的斜率不为时，
由知
，
又，，
所以，
要想为定值，
此时，
解得，
则，
即存在这样的定点满足题意；
当直线的斜率为时，
易知，
若，
此时，满足题意．
综上得，存在满足题意．