第四章 数列 专项训练（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 专项训练　
题组1等差数列的综合应用
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=2,S2=3,若不等式2Sn+18≥kan对任意n∈N*恒成立,则(　　)
A.k≤　　　B.k≤20
C.k≤6+1　　　D.k≤
2.已知各项都不为零的无穷数列{an}满足:an+1an+an+1-an=0,若a8为该数列的最小项,则a1的取值范围是(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S18<0,S19>0,则在有限数列,,…,,中,最大项和最小项分别为(　　)
A.,　　　B.,　　　C.,　　　D.,
4.(多选题)已知数列{an}的通项公式为an=2n+1,{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是(　　)
A.a5+a6=a1+a3+a7
B.数列{a2n-1}是公差为4的等差数列
C.S6-2S3=18
D.数列的最大项为2
5.设数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,且(n+1)Sn+1=(n+1)Sn+(n+2)an,若存在n∈N*,使得2Sn+22≤kan成立,则实数k的最小值为(　　)
A.4+1　　　B.8　　　C.　　　D.10
6.在平面直角坐标系Oxy中,我们把点(x,y),x,y∈N*称为自然点.按如图所示的规则,将每个自然点(x,y)进行赋值,记为P(x,y),例如P(2,3)=8,P(4,2)=14,P(2,5)=17.
(1)求P(x,1);
(2)求证:2P(x,y)=P(x-1,y)+P(x,y+1);
(3)如果P(x,y)满足方程P(x+1,y-1)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+1)=2 024,求P(x,y)的值.
题组2　等比数列的综合应用
1.已知正项数列{an}中,a1=3,an+1-1=(an-1)2,则该数列的通项公式是(　　)
A.an=2n+1　　　B.an=22n-1
C.an=+1　　　D.an=-1
2.设数列{an},{bn}都是等比数列,则数列{an+bn},{an-bn},{anbn},中,一定是等比数列的有(　　)
A.1个　　　B.2个　　　
C.3个　　　D.4个
3.已知等比数列{an}的公比为-,前n项和为Sn,且a1,,a3成等差数列,若对任意的n∈N*,均有A≤Sn-≤B成立,则B-A的最小值为(　　)
A.2　　　B.　　　C.　　　D.
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若-a1A.{an}为递减数列　　　B.{an}为递增数列
C.数列{Sn}有最小项　　　D.数列{Sn}有最大项
5.(多选题)已知Sn是数列{an}的前n项和,且a1=a2=1,an=2an-1+3an-2(n≥3),则下列结论正确的是(　　)
A.数列{an-an+1}是等比数列
B.数列{an+1+2an}不是等比数列
C.S40=×(320-1)
D.an=
6.如图,直角△ABC中,AB=1,BC=2,∠ABC=90°,作△ABC的内接正方形BEFB1,再作△B1FC的内接正方形B1E1F1B2,……,依此下去,所有正方形的面积构成数列{an},则{an}的前n项和为　　　　.
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=5n-1,令cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn;
(3)已知数列{dn}满足dn=,且数列{dn}的前n项和为Rn,证明:Rn<.
题组3　数列的递推公式及通项公式
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=2Sn(n∈N*),则(　　)
A.{an}为等差数列　　　B.{an}为等比数列
C.{Sn}为等差数列　　　D.{Sn}为等比数列
2.已知数列{an}满足a1=1,=,n∈N*,则下列结论错误的是(　　)
A.a4=2
B.数列{nan}是等比数列
C.数列{an}为递增数列
D.数列{an-6}的前n项和Sn的最小值为S6
3.已知数列{an}满足a1=t,an+1-2an=-n+1,若{an}是递减数列,则实数t的取值范围为(　　)
A.(-1,1)　　　B.(-∞,0)
C.(-1,1]　　　D.(1,+∞)
4.数列{an}满足a1=4,an+1=2an-2,对任意n∈N*,λ(an-2)A.(-∞,1)　　　B.(-∞,-1)
C.(-1,2)　　　D.(1,2)
5.在数列{an}中,a1=1,Sn+1=4an+2,则a2 019的值为(　　)
A.757×22 020　　　B.757×22 019
C.757×22 018　　　D.无法确定
6.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=pan+3n(n∈N*,p∈R),则下列结论正确的是(　　)
A.若p=0,则Sn=
B.若p=1,则an=
C.若p=2,则数列{an-3n}是等比数列
D.若p=3,则数列是等差数列
7.(多选题)已知数列{an}满足a1=3,an+1=an(n∈N*),数列{bn}满足b1=1,bn+1=2bn+1(n∈N*),设{an}中不在{bn}中的项按从小到大的顺序构成新数列{cn},记{cn}的前n项和为Tn,则(　　)
A.an=2n+1　　　B.{bn-1}是等比数列
C.c100=213　　　D.T100=11 201
8.定义:若数列{an}满足an+2=pan+1+qan(p,q∈R),则称数列{an}为“线性数列”.
(1)已知{an}为“线性数列”,且a1=2,a2=8,a3=24,a4=64,证明:数列{an+1-2an}为等比数列;
(2)已知an=(1+)n-1+(1-)n-1.
(i)证明:数列{an}为“线性数列”;
(ii)记bn=,数列{bn}的前n项和为Sn,证明:Sn<.
题组4　数列求和问题
1.已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an+2,n∈N*.记数列的前n项和为Tn.若 n∈N*,都有k>Tn成立,则实数k的取值范围为(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
2.0-1数列是指每一项均为0或1的数列,这类数列在计算机科学领域有着广泛应用.若数列{an}是0-1数列,当且仅当n=6k±1(k∈N*)时,an=1,设{an}的前n项和为Sn,则满足Sn=200的n的最大值为(　　)
A.600　　　B.601　　　C.604　　　D.605
3.已知数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若a1=2,nan+1=2Sn,bn=(-1)nan,则T200=(　　)
A.150　　　B.100　　　C.200　　　D.5 050
4.(多选题)已知数列{an}满足a1+3a2+…+3n-1an=n·3n+1(n∈N*),设数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论正确的是(　　)
A.数列{an}为等差数列
B.Sn=3n2+6n
C.数列{(-1)nan}的前100项和为300
D.数列{|an-20|}的前20项和为284
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,且an+1=an,若不等式(-1)nλA.　　　B.
C.　　　D.
6.(2025天津一中期末)已知函数f(x)=+sin πx,则f+f+…+f=　　　　.
7.(2025江苏苏州调研)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=数列{bn}满足bn=a2n-1.
(1)求证:数列{bn+1}为等比数列;
(2)求S2n-1和S2n;
(3)记数列的前n项和为Tn,求证:Tn<.
题组5　数列中的奇偶项问题
1.记数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,anan+1=2n,4(S11+3)=ak,则k=(　　)
A.17　　　B.19　　　
C.17或18　　　D.18或19
2.设数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=令bn=(log2a2n)2·sina2n-1·,则数列{bn}的前100项和为(　　)
A.-4 950　　　B.-5 000　　　
C.-5 050　　　D.-5 250
3.已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2,数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=(-1)n·,若不等式Tn≤λ(n∈N*)恒成立,则实数λ的最小值为(　　)
A.-　　　B.-1　　　C.-　　　D.-
4.数列{an}中,a1=1,an+1=使an≤2 021对任意的n≤k(k为正整数)恒成立的k的最大值为(　　)
A.1 209　　　B.1 211　　　
C.1 213　　　D.1 215
5.已知数列{an}满足an+1=(k∈N*),Sn为其前n项和,a1,a2,a3成等比数列,则{an}的前10项和S10=　　　　.
6.若数列{an}中不超过f(m)的项数恰为bm(m∈N*),则称数列{bm}是数列{an}的生成数列,称相应的函数f(m)是数列{an}生成{bm}的控制函数.已知an=2n,且f(m)=m,数列{bm}的前m项和为Sm,若Sm=30,则m的值为　　　　.
7.设{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=3,a4=b2,S3=15.
(1)求{an}与{bn}的通项公式;
(2)设cn=求数列{cn}的前2n项和T2n;
(3)若对于任意的n∈N*,不等式n(an+1)-λ(an-1)(n+2)-12<0恒成立,求实数λ的取值范围.
答案
题组1
1.A　由a2=2,S2=a1+a2=3,得a1=1,故{an}的公差为a2-a1=1,所以an=n,Sn=,
所以不等式2Sn+18≥kan对任意n∈N*恒成立即n(n+1)+18≥kn对任意n∈N*恒成立,即k≤n++1对任意n∈N*恒成立,由对勾函数的性质可知,当n=3时,n++1取最小值,又n∈N*,且当n=4时,n++1=9.5,当n=5时,n++1=9.6,所以=9.5=,所以k≤=.
2.A　由an+1an+an+1-an=0得an+1an=an-an+1,
因为an≠0,所以-=1,
故是公差为1的等差数列,则=+n-1,
因为a8为数列{an}中的最小项,
所以<…<<<0<<…,
所以a1<0,且+7<0<+8,解得-3.B　设等差数列{an}的公差为d.
由S18==9(a9+a10)<0,得a9+a10<0,
由S19==19a10>0,得a10>0,故a9<0,d>0.
①当1≤n≤9,n∈N*时,an<0,Sn<0,
故>0,|Sn|max=|S9|,|an|min=|a9|,则=;
②当10≤n≤18,n∈N*时,an>0,Sn<0,
故<0,|Sn|max=|S10|,|an|min=|a10|,则=;
③当n=19时,>0且==+1<1,
又==+1>1,所以<.
综上所述,在有限数列,,…,,中,最大项和最小项分别为,.
4.BC　对于A,由数列{an}的通项公式为an=2n+1,得a5+a6=11+13=24,a1+a3+a7=3+7+15=25,故a5+a6≠a1+a3+a7,A错误;
对于B,由an=2n+1得a2n-1=2(2n-1)+1=4n-1,则a2(n+1)-1-a2n-1=4(n+1)-1-(4n-1)=4,
故数列{a2n-1}是公差为4的等差数列,B正确;
对于C,因为an=2n+1,所以{an}是首项为a1=3,公差为2的等差数列,
故Sn===n(n+2),
则S6-2S3=48-2×15=18,C正确;
对于D,==,
又n+=n+,n+随着n的增大而增大,所以=随着n的增大而减小,
故数列的最大项为==1,D错误.
5.D　由(n+1)Sn+1=(n+1)Sn+(n+2)an,
得(n+1)Sn+1-(n+1)Sn=(n+1)an+1=(n+2)an,
则=对任意n∈N*成立,∴是常数列,
又a2=3,∴==1,故an=n+1,
∴a1=2,an+1-an=n+2-(n+1)=1,
∴数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,
∴Sn==,
∵2Sn+22≤kan,
∴n(n+3)+22≤k(n+1),
即k≥,
令n+1=t(t≥2,t∈N*),则k≥=,设g(t)==t++1,t≥2,t∈N*,
易知当t∈[2,2)且t∈N*时,g(t)单调递减;当t∈(2,+∞)且t∈N*时,g(t)单调递增,
又4<2<5,g(4)=g(5)=10,
∴g(t)的最小值为10.
∴k≥10,故实数k的最小值为10.
6.解析　(1)根据题图可知P(x,1)=1+2+3+…+x=.
(2)证明:由题图可得P(x,y+1)-P(x,y)=x+y-1,
所以P(x,y+1)-P(x,1)=[P(x,2)-P(x,1)]+[P(x,3)-P(x,2)]+[P(x,4)-P(x,3)]+…+[P(x,y+1)-P(x,y)]=(x+1-1)+(x+2-1)+(x+3-1)+…+(x+y-1)=1+2+…+y+y(x-1)=+y(x-1),
由(1)知P(x,1)=,所以P(x,y+1)=+y(x-1)+,
所以P(x,y)=P(x,y+1)-(x+y-1)=++(x-1)(y-1),
所以P(x-1,y)=++(x-2)(y-1),
所以P(x-1,y)+P(x,y+1)=++(x-2)(y-1)++y(x-1)+=x2+y2+2xy-3y-x+2,又P(x,y)=(x2+y2+2xy-3y-x+2),
所以2P(x,y)=P(x-1,y)+P(x,y+1).
(3)结合题图知P(x+1,y-1)=P(x,y)+1,
所以P(x,y)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+1)=2 023,
又由(2)知P(x,y)+P(x+1,y+1)=2P(x+1,y),
所以P(x,y+1)+3P(x+1,y)=2 023,
即[x(x+1)+y(y+2x-1)]+[(x+1)(x+2)+(y-1)(y+2x)]=2 023,
化简得(x+y-1)(x+y)+2x=1 010,
易知当x+y增大时,(x+y-1)(x+y)也增大,
又当x+y=31时,(x+y-1)(x+y)+2x<992<1 010,
当x+y=33时,(x+y-1)(x+y)+2x>1 056>1 010,
所以当x+y=32时,(x+y-1)(x+y)+2x=1 010,所以x=9,y=23,所以P(x,y)=P(9,23)=++8×22=474.
题组2
1.C　显然an≠1,所以an+1-1=(an-1)2>0,
对an+1-1=(an-1)2两边同时取常用对数,
可得lg(an+1-1)=lg(an-1)2=2lg(an-1),
又lg(a1-1)=lg 2≠0,所以{lg(an-1)}是以lg 2为首项,2为公比的等比数列,所以lg(an-1)=lg 2·2n-1=lg ,则an-1=,故an=+1.
2.B　对于{an+bn},不妨取an=(-1)n,bn=(-1)n+1,满足数列{an},{bn}都是等比数列,
但对任意的n∈N*,an+bn=(-1)n+(-1)n+1=0,故此时数列{an+bn}不是等比数列;
对于{an-bn},不妨取an=(-2)n,bn=2n,满足数列{an},{bn}都是等比数列,
但当n=2k,k∈N*时,an-bn=(-2)n-2n=0,故此时数列{an-bn}不是等比数列;
设等比数列{an},{bn}的公比分别为q1,q2,其中q1≠0,q2≠0,对任意的n∈N*,an≠0,bn≠0,
对于{anbn},=·=q1q2,为常数,故数列{anbn}为等比数列;
对于,÷==·=,为常数,故数列为等比数列.
综上,一定是等比数列的有2个.
3.B　因为a1,,a3成等差数列,且等比数列{an}的公比为-,所以2×=a1+a1,解得a1=2,
所以Sn==-·.
当n为奇数时,Sn=+·,易得{Sn}单调递减,故Sn≤S1=2,又+·>,所以当n为偶数时,Sn=-·,易得{Sn}单调递增,故Sn≥S2=-×=,又-·<,所以≤Sn<.
所以Sn的最大值与最小值分别为2,.
易知函数y=t-在(0,+∞)上单调递增,所以=-=-,=2-=1,因为 n∈N*,均有A≤Sn-≤B成立,所以A≤-,B≥1,所以B-A的最小值为1-=.
4.C　设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,
由-a10,又a2又-a1-1,故-1当-1当0易得Sn=(1-qn),且>0,
当-1当n为奇数时,Sn+2-Sn<0,故S1>S3>S5>…>,
当n为偶数时,Sn+2-Sn>0,故>…>S6>S4>S2=a1+a2>0,
所以数列{Sn}的最小项为S2,最大项为S1;
当00,
故数列{Sn}为递增数列,最小项为S1,无最大项,故C正确,D不正确.
5.BD　a1-a2=0,所以数列{an-an+1}不是等比数列,故A错误.
由题意得a3=2a2+3a1=5,a4=2a3+3a2=10+3=13,
则a2+2a1=1+2=3,a3+2a2=5+2=7,a4+2a3=13+10=23,因为≠,所以数列{an+1+2an}不是等比数列,故B正确.
当n≥3时,an=2an-1+3an-2,即an+an-1=3(an-1+an-2),
又a1+a2=1+1=2,所以{an+1+an}是首项为2,公比为3的等比数列,
所以an+1+an=2×3n-1,所以a2+a1=2,a4+a3=2×32,……,a40+a39=2×338,
累加可得S40=2×(1+32+34+…+338)=2×=,故C错误.
因为an+1+an=2×3n-1,所以an+2+an+1=2×3n,
两式相减得an+2-an=2×3n-2×3n-1=4×3n-1,
当n=2k(k≥2,k∈N*)时,a2k-a2k-2=4×32k-3,a2k-2-a2k-4=4×32k-5,……,a4-a2=4×3,
累加可得a2k-a2=4×(3+33+…+32k-3)=4×=,故a2k=+a2=,
又a2=1符合上式,所以a2k=(k∈N*),
故当n为偶数时,an==;
当n=2k-1(k≥2,k∈N*)时,a2k-1-a2k-3=4×32k-4,a2k-3-a2k-5=4×32k-6,……,a3-a1=4×30,
累加可得a2k-1-a1=4×(32k-4+32k-6+…+30)=4×=,
故a2k-1=+a1=,
又a1=1符合上式,所以a2k-1=(k∈N*),
故当n为奇数时,an=.
综上,an=,故D正确.
6.答案　
解析　由题意得△ACB∽△FCB1,则=,即=,解得=,故a1=,
同理可得=,则a2=,
=,则a3=,
……
=,则an=,
所以数列{an}的前n项和为+++…+==.
7.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,
∵S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N*),
∴
解得
∴{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*).
(2)由题意,结合(1)得cn=anbn=(2n-1)×5n-1.
∴Tn=1×50+3×51+5×52+…+(2n-1)×5n-1①,
5Tn=1×51+3×52+…+(2n-3)×5n-1+(2n-1)×5n②,
①-②得-4Tn=1×50+2×(51+52+…+5n-1)-(2n-1)×5n=1+2×-(2n-1)×5n
=1+-(2n-1)×5n=-×5n-,
∴Tn=×5n+.
∴数列{cn}的前n项和Tn=×5n+.
(3)证明:由(1)知an=2n-1,
∴dn==.
∵<==,
∴dn=<==+=-+-=-+-.
设数列的前n项和为Mn,数列的前n项和为Nn,
则Mn=+++…+
=-=-,
Nn=+++…+=-,
∴Rn题组3
1.D　因为an+1=2Sn(n∈N*)①,所以当n=1时,a2=2S1=2a1=2,当n≥2时,an=2Sn-1②,
①-②得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an,所以an+1=3an(n≥2),又=2≠3,所以数列{an}从第二项开始是首项为2,公比为3的等比数列,A,B错误;
由an+1=2Sn(n∈N*)得Sn+1-Sn=2Sn,即Sn+1=3Sn,又S1=a1=1,所以数列{Sn}是首项为1,公比为3的等比数列,C错误,D正确.
2.C　由=,得××…×=××…×,因此=,又a1=1,所以an=,nan=2n-1,故B中结论正确;
a4==2,故A中结论正确;
因为a2==1=a1,所以数列{an}不是递增数列,故C中结论错误;
显然an>0,==,当n≥2时,an+1>an,故数列{an}从第2项起单调递增,又a6=<6,a7=>6,所以{an-6}的前6项均为负数,从第7项起均为正数,故{an-6}的前n项和Sn的最小值为S6,故D中结论正确.
3.B　由an+1-2an=-n+1得an+1-(n+1)=2(an-n),
易知当t=1时,a1=1,a2=2,不满足{an}是递减数列,故t≠1,
因此数列{an-n}是以a1-1=t-1为首项,2为公比的等比数列,
故an-n=(t-1)2n-1,因此an=n+(t-1)2n-1,
又{an}是递减数列,所以an+11恒成立,故1-t>恒成立,因此1-t>=1,解得t<0.
故实数t的取值范围为(-∞,0).
4.B　因为an+1=2an-2,所以an+1-2=2an-4=2(an-2),
又因为a1-2=2≠0,所以数列{an-2}是以2为首项,2为公比的等比数列,
所以an-2=2·2n-1=2n,即an=2n+2,
因为 n∈N*,λ(an-2)令bn=1-,易知{bn}是递增数列,所以(bn)min=b1=-1,
所以λ<-1.
5.A　∵a1=1,Sn+1=4an+2,
∴S2=a1+a2=4a1+2,解得a2=5.
∵Sn+1=4an+2,∴Sn+2=4an+1+2,
两式相减得an+2=4an+1-4an,
∴an+2-2an+1=2(an+1-2an),又a2-2a1=3,
∴{an+1-2an}是以3为首项,2为公比的等比数列,
∴an+1-2an=3×2n-1,两边同除以2n+1,则-=,
∴是以=为首项,为公差的等差数列,
∴=+(n-1)×=,
∴an=×2n=(3n-1)×2n-2,
∴a2 019=(3×2 019-1)×22 017=757×22 020.
6.CD　对于A,当p=0时,an+1=3n,所以an=3n-1=1·3n-1,即{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,
所以Sn==,故A错误;
对于B,当p=1时,an+1=an+3n,则当n≥2时,an=an-1+3n-1,……,a2=a1+3,
利用累加法可得an=a1+=(n≥2),显然a1=1符合上式,故an=(n∈N*),故B错误;
对于C,当p=2时,an+1=2an+3n,则an+1-3n+1=2an+3n-3n+1=2(an-3n),
显然an≠3n,所以{an-3n}是以a1-3=-2为首项,2为公比的等比数列,故C正确;
对于D,当p=3时,an+1=3an+3n,则=+ -=,即是以=为首项,为公差的等差数列,故D正确.
7.AC　对于A,由题意得=,则===…==1,故an=2n+1,A正确;
对于B,因为bn+1=2bn+1(n∈N*),所以bn+1+1=2(bn+1)(n∈N*),又b1+1=2,所以{bn+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以bn+1=2n,故bn=2n-1,
则bn-1=2n-2,故{bn-1}不是等比数列,B错误;
对于C,b2=22-1=3=a1,b3=23-1=7=a3,b4=24-1=15=a7,b5=25-1=31=a15,b6=26-1=63=a31,b7=27-1=127=a63,b8=28-1=255=a127,
故数列{cn}为,,,,,,…,
所以c100=a106=2×106+1=213,C正确;
对于D,{cn}的前100项和T100=a1+a2+…+a106-(3+7+15+31+63+127)=-246=11 202,D错误.
8.证明　(1)因为{an}为“线性数列”,所以an+2=pan+1+qan(p,q∈R),
所以即解得
所以an+2=4an+1-4an,
因此an+2-2an+1=2(an+1-2an),又a2-2a1=4≠0,
所以{an+1-2an}是以4为首项,2为公比的等比数列.
(2)(i)因为an=(1+)n-1+(1-)n-1,所以a1=2,a2=2,a3=6,a4=14,
令即解得
所以
因为an+2-2an+1-an=(1+)n+1+(1-)n+1-2[(1+)n+(1-)n]-[(1+)n-1+(1-)n-1]=(1+)n-1(3+2-2-2-1)+(1-)n-1(3-2-2+2-1)=0,
所以an+2=2an+1+an,所以数列{an}为“线性数列”.
(ii)因为a1=2,a2=2,an+2=2an+1+an,所以an>0,
则bn==·==,
所以Sn=++…+=<×=.
题组4
1.A　由an+1=3an+2,n∈N*得an+1+1=3(an+1),
又a1+1=3,所以数列{an+1}是以3为首项,3为公比的等比数列,可得an+1=3·3n-1=3n,即an=3n-1,
所以==,
因此Tn=-+-+…+-==-<,
因为 n∈N*,都有k>Tn成立,
所以实数k的取值范围为.
2.C　由题意可知a1=a2=a3=a4=a6=0,a5=1,
且a6k+1=a6k+5=1,a6k+2=a6k+3=a6k+4=a6k+6=0,k∈N*,
所以
且当k=100时,a601=a605=1,a602=a603=a604=a606=0,
可知S601=1+2×99+1=200,且S602=S603=S604=200,S605=201,所以满足Sn=200的n的最大值为604.
3.C　已知nan+1=2Sn①,当n=1时,a2=2S1=2a1=4,当n≥2时,(n-1)an=2Sn-1②,
由①-②可得nan+1-(n-1)an=2an,即=(n≥2),又==,所以an=××…×××a1=××…×××2=2n(n≥2),
又a1=2满足an=2n,故an=2n(n∈N*).
所以bn=(-1)nan=(-1)n×2n,
易知b1+b2=b3+b4=b5+b6=…=b199+b200=2,
所以T200=b1+b2+…+b199+b200=100(b1+b2)=200.
4.ABC　设bn=3n-1an,则b1+b2+…+bn=n·3n+1①,
当n≥2时,b1+b2+…+bn-1=(n-1)·3n②,
①-②得bn=(2n+1)·3n(n≥2),
当n=1时,b1=9适合上式,则bn=(2n+1)·3n=3n-1an(n∈N*),解得an=3(2n+1),
所以an+1-an=6,故数列{an}是以9为首项,6为公差的等差数列,则Sn==3n(n+2)=3n2+6n,故A,B正确;
数列{(-1)nan}的前100项和为3×[(-3+5)+(-7+9)+…+(-199+201)]=3×2×50=300,故C正确;
|an-20|=|6n-17|=n∈N*,
则{|an-20|}的前20项和为11+5+1+7+13+…+103=16+=952,故D错误.
5.B　因为an+1=an,所以=·,
又=,所以是以为首项,为公比的等比数列.所以=,即an=,
所以Sn=+++…+,
则Sn=++…++,
两式相减得Sn=+++…+-=+-=+1--=-,所以Sn=5-.
由(-1)nλ即(-1)nλ<5.
①当n为奇数时,-λ<5,易知是递增数列,所以5≥,故λ>-;
②当n为偶数时,λ<5,由①得5≥,所以λ<.
综上,λ的取值范围为.
6.答案　4 043
解析　由f(x)=+sin πx,得f(x)+f(2-x)=+sin πx++sin[π(2-x)]=2,
设S=f+f+…+f,
则S=f+f+…+f,
所以2S=+f+f+…+=2×4 043,所以S=4 043.
7.解析　(1)证明:由题意得bn+1=a2n+1=2a2n+1=2a2n-1+1=2bn+1,所以bn+1+1=2(bn+1),
又因为b1+1=a1+1=2≠0,所以=2,
故{bn+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)得bn+1=2n,
即bn=a2n-1=a2n=2n-1,
所以S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)
=2(b1+b2+…+bn)=2=2n+2-2n-4,
则S2n-1=S2n-a2n=S2n-bn=2n+2-2n-4-(2n-1)=3·2n-2n-3.
(3)证明:易知a2n+1=a2n+2,
所以=·=·=·=,
故Tn=
==-,
易知an>0,则Sn>0,所以Tn=-<.
题组5
1.D　因为anan+1=2n①,所以a2==2,an+1an+2=2n+1②,
②÷①得=2.
所以当n为偶数时,{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,因此an=;
当n为奇数时,{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,因此an=,
故S11=(a1+a3+…+a11)+(a2+a4+…+a10)
=(1+2+22+…+25)+(2+22+…+25)=+=27-3,所以ak=4(S11+3)=29,当k为奇数时,由=29可得k=19;当k为偶数时,由=29可得k=18.故k的值为18或19.
2.B　由已知可得数列{a2n-1}是以1为首项,1为公差的等差数列,故a2n-1=n,数列{a2n}是以2为首项,2为公比的等比数列,故a2n=2n,
因此bn=(log22n)2·sin=n2sin,显然是周期为4的周期数列,
易得b4k-3+b4k-2+b4k-1+b4k=(4k-3)2sin+(4k-2)2·sin+(4k-1)2sin+(4k)2·sin=(4k-3)2-(4k-1)2=-8(2k-1)(k∈N*),
令cn=b4n-3+b4n-2+b4n-1+b4n,则cn=-8(2n-1),易知数列{cn}是等差数列,数列{bn}的前100项和即数列{cn}的前25项和,为=-5 000.
3.D　因为Sn=n2①,所以当n≥2时,Sn-1=(n-1)2②,
①-②得an=Sn-Sn-1=2n-1,
当n=1时,a1=S1=1,满足an=2n-1,
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,
则bn=(-1)n·=(-1)n·=·,
故Tn=-1-++--+…++=,
当n为奇数时,Tn=-,则数列{Tn}为递增数列,且Tn<-,
当n为偶数时,Tn=,则数列{Tn}为递减数列,且Tn>-,此时Tn的最大值为T2=-,
所以数列{Tn}的最大项为T2=-,
若不等式Tn≤λ(n∈N*)恒成立,则λ≥-,
所以实数λ的最小值为-.
4.B　由已知得数列{an}为1,6,11,6,11,16,11,16,21,16,21,26,21,26,31,…,
观察发现这些项可按1,6,11,16,21,…;6,11,16,21,26,…;11,16,21,26,31,…的规律将原数列分为三个等差数列:
当n=3m+1,m∈N时,数列为1,6,11,16,21,…,即an=,
当n=3m+2,m∈N时,数列为6,11,16,21,26,…,即an=,
当n=3m+3,m∈N时,数列为11,16,21,26,31,…,即an=,
易得a1 209=2 021,a1 210=2 016,a1 211=2 021,a1 212=2 026>2 021,所以满足an≤2 021对任意的n≤k(k∈N*)恒成立的k的最大值为1 211.
5.答案　171
解析　由题意得a2=a1+1,a3=2a2,
∵a1,a2,a3成等比数列,∴=a1a3,
∴(a1+1)2=a1·2(a1+1),解得a1=±1,
当a1=-1时,a2=0,不符合题意,∴a1=1,
从而a2=2,a3=4,a4=5,a5=10,a6=11,a7=22,a8=23,a9=46,a10=47,
所以S10=1+2+4+5+10+11+22+23+46+47=171.
6.答案　11
解析　由题意可得,m为偶数时,2n≤m,则bm=,
m为奇数时,2n≤m-1,则bm=,
∴bm=
当m为偶数时,Sm=b1+b2+…+bm=(b1+b3+…+bm-1)+(b2+b4+…+bm)=(1+2+…+m)-×=,
当m为奇数时,Sm=b1+b2+…+bm=Sm+1-bm+1=-=,由Sm=30,得=30或=30,因为m∈N*,所以m=11.
7.解析　(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
由S3=15得3a1+3d=15,∵a1=3,∴d=2,∴an=3+2(n-1)=2n+1,由a4=b2得2×4+1=b1q,即9=3q,得q=3,∴bn=3·3n-1=3n.
(2)当n为奇数时,cn=anbn=(2n+1)·3n,
记An=c1+c3+c5+…+c2n-1,
则An=3×3+7×33+11×35+…+(4n-1)×32n-1①,
9An=3×33+7×35+…+(4n-5)×32n-1+(4n-1)×32n+1②,
①-②得-8An=9+4×(33+35+…+32n-1)-(4n-1)×32n+1=9+4×-(4n-1)×32n+1=9+×(9n-1-1)-(4n-1)×32n+1=-+×32n+1-(4n-1)×32n+1=--×32n+1,∴An=+×9n.
当n为偶数时,cn===×,
记Bn=c2+c4+c6+…+c2n,
则Bn=×+++…+=×=-,
∴T2n=An+Bn=+×9n-.
(3)n(an+1)-λ(an-1)(n+2)-12<0恒成立,
即n(2n+2)-λ·2n(n+2)-12<0恒成立,
即λ>恒成立,∴λ>.
设f(n)==1-,n∈N*,
则f(n+1)-f(n)=-+=>0,∴f(n)单调递增,
又>0,
∴f(n)=1-<1,∴λ≥1.
∴实数λ的取值范围是[1,+∞).