山西省临汾市2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（含部分答案）

临汾 2025-2026学年度第一学期高二年级开学考试
数学试题（卷）
（考试时间120分钟 满分150分）
命题人：
第I部分（选择题共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，，50，从中抽取6个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
A. 57 B. 50 C. 40 D. 10
4. 已知向量，，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知三棱锥的各条棱均相等，P，Q分别为棱，的中点，则直线和直线所成角的大小为（ ）
A 30° B. 45° C. 60° D. 90°
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若事件与事件是互斥事件，则
C 若事件与事件相互独立，则
D. 若，则事件与事件相互独立
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递减
C. 直线为的一条对称轴
D. 若为偶函数，则
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足（，），则下列说法正确的是（ ）
A. 若平面，则最小值为
B. 若平面，则，
C. 若，则P到平面的距离为
D. 若，时，直线与平面所成角为，则
第Ⅱ部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线，直线，若，则___________．
13. 在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则____________.
14. 已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．
15. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.
16. 已知直线经过点.
（1）若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程；
（2）设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程.
17. 在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由.
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
（1）求A；
（2）若D为中点，且，求的周长；
（3）若是锐角三角形，求面积的取值范围．
19. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．
（1）求证：；
（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
临汾 2025-2026学年度第一学期高二年级开学考试
数学试题（卷）
（考试时间120分钟 满分150分）
命题人：
第I部分（选择题共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ACD
第Ⅱ部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．
【15题答案】
【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）.
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）相交，
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，