第一章 直线与方程 章末检测卷（含解析）

苏教版选必一第一章：直线与方程章末检测卷
一、单选题
1.直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
2.直线关于直线：对称的直线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知直线，，则“”是“平行于”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若两平行直线与之间的距离是，则( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知点，，为动点，且的面积为，则动点的轨迹方程为( )
A. B. 或
C. D. 或
7.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个错的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为( )
A. B. C. D.
8.已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为( )
A. B. C. D.
9.已知直线：，动直线：，则下列结论中正确的是( )
存在，使得的倾斜角为 对任意的，与都有公共点
对任意的，与都不重合 对任意，与都不垂直
A. B. C. D.
10.已知，，，点使，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
11.已知直线经过点和点，直线，直线若，，则的值为( )
A. B. C. D.
12.若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
13.若直线：与：的交点在第一象限，则的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
14.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角为
B. 若直线经过第三象限，则，
C. 点在直线上
D. 存在使得直线与直线垂直
15.在平面直角坐标系内，定义任意两点，“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号已知点，，直线( )
A.
B. 到点“新距离”等于的点所围成的图形的面积为
C.
D.
16.已知点，，且点在直线：上，则( )
A. 存在点，使得
B. 若为等腰三角形，则点的个数是个
C. 的最小值为
D. 最大值为
17.设直线与，则( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时，、间的距离为 D. 坐标原点到直线的距离的最大值为
18.下列结论正确的是( )
A. 若直线与直线平行，则它们的距离为
B. 点关于直线的对称点的坐标为
C. 原点到直线的距离的最大值为
D. 直线与坐标轴围成的三角形的面积为
19.已知直线：，则下列选项正确的是( )
A. 当直线与直线平行时，
B. 当直线与直线垂直时，
C. 当实数变化时，直线恒过点
D. 原点到直线的距离最大值为
三、填空题
20.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 ．
21.如图，射线，分别与轴正半轴成和角，过点作直线分别交，于，两点，若的中点恰好落在直线上，则直线的方程为 ．
22.设 ，动直线：过定点，动直线：过定点，若直线与相交于点异于，，则周长的最大值是__________．
四、解答题
23.在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的角平分线所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为．
求点的坐标
求直线的方程．
24.在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线的方程为，．
若，求过点且与直线平行的直线方程；
已知原点到直线的距离为，求的值；
已知直线在两条坐标轴上截得的截距相等，求的值．
25.本小题分
已知，，．
若点满足，，求点的坐标
若点在轴上，且，求直线的倾斜角．
26.已知直线：
证明：直线过定点；
若直线不经过第四象限，求的取值范围；
若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
27.一束光从光源射出，经轴反射后反射点为，射到线段上处．
若，求光从出发，到达点时所走过的路程；
若，求反射光的斜率的取值范围；
若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】直线过点，在轴上的截距取值范围是，
直线端点的斜率分别为：，，如图：
或．
故选D．
2.【答案】
【解析】联立，解得
则交点坐标为．
取直线上一点，
设点关于直线：的对称点为，
则由，且线段的中点在直线上，
得，解得
故所求直线过点，，
所以所求直线方程为：，即．
故选：．
3.【答案】
【解析】
由直线与直线平行得，
得或，
经验证，当时，直线与重合，舍去，
所以“”是“平行于”的充要条件．
故选C．
4.【答案】
【解析】因为直线与平行，所以，即，
因为直线与直线的距离为，所以，
即，解得或舍去，故．
故选：
5.【答案】
【解析】由题意，
当时，，
当时，
当时，
，
其中，
当时，，
的最大值为．
故选C．
6.【答案】
【解析】由题可知，
直线的斜率为，则直线的方程为即．
的面积为，
点到直线的距离，且动点的轨迹是与平行的直线，
设直线方程为，则，
或，
动点的轨迹方程为或．
故选D
7.【答案】
【解析】，
，
故B，，
则．
故选：．
8.【答案】
【解析】由已知表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
记为点，为点，所以．
如图，
过点作，垂足为．
因为直线的方程为，，所以，
又直线与直线平行，，所以，
且，，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，
又因为，当且仅当，，三点共线时，等号成立，
所以当为线段与直线的交点时，
取得最小值，最小值为，
因为过点与直线垂直的直线的方程为，
联立，可得
所以点的坐标为，所以，
所以的最小值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】当时的方程为，其倾斜角为，正确；
动直线即，
所以过定点，而直线也过点，所以对任意的，与都有公共点 ，正确；
若与重合，则且，解得，所以 与可能重合，错误；
若与垂直，则，显然无解，所以与都不垂直，正确．
故选A．
10.【答案】
【解析】设点的坐标为，
由已知得，直线的斜率，
直线的斜率，
直线的斜率，
直线的斜率，
由，，
得，解得，
所以的坐标为，
故选D．
11.【答案】
【解析】，，解得
又，，解得．
．
故选A．
12.【答案】
【解析】依题意，两直线不平行，存在交点，
联立两条直线方程，由
可得
由于两直线的交点位于第一象限，所以，解得，
故选A．
13.【答案】
【解析】直线：在轴和轴上的截距分别为，，
直线：恒过定点，
如图：
，直线的倾斜角为，
由图可知，要使直线：与：的交点在第一象限，
则则的倾斜角的取值范围是．
故选：．
14.【答案】
【解析】对于：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确；
对于：当时，令得，此时直线经过第三象限，故B错误；
对于：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确；
对于：若两直线垂直，则，解得，故D正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】对于选项A，已知，，根据新距离定义，可得：，故选项A正确．
对于选项B，根据新距离定义，有，即，
当且时，有，即；
当目时，有，即；
当且时，有，即；
当目时，有，即；
所以点的轨迹围成的图形是以，，，为顶点的正方形，
边长为，面积为，故选项B错误．
对于选项C，设为直线上的动点，则可设，
与点的“新距离”，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上，点到直线的“新距离”，故选项C正确．
对于选项D，由绝对值的几何意义可得，，
则，，
将两式相加可得：
即．
故选项D正确．
故选ACD．
16.【答案】
【解析】
对于，设 ，当斜率不存在时， ，此时，
则 ，即 与 不垂直；
当斜率不存在时， ，此时 ，
则 ，即 与 不垂直；
当 且 时， ， ，
若 ，则 ，即 ，
由于 ，方程无解，故 与不垂直；
综合可知不存在点 ，使得 ，故A错误；
对于，若等腰 的顶点为，此时在 的垂直平分线上，
则点横坐标为 ，此时 ，
当为等腰 的顶点时，由于点到直线 ： 的距离为 ，
故直线上必存在两点满足 ，设这两点为 ，
由于上纵坐标为的点为 ，该点和的距离为，
故 和，不共线，适合题意，

由于点到直线 ： 的距离为 ，
故以点为顶点的等腰 不存在，
综合以上可知 为等腰三角形，则点 的个数是个，故B正确；
对于，设点 关于直线的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
故 ，
当且仅当三点共线在 之间时取得等号，

即 的最小值为 ，故C正确；
对于，如图， ，
当且仅当为的延长线与的交点时等号成立，

即 最大值为，故D正确．
故选：．
17.【答案】
【解析】直线与，
对于，当时，直线与，则，故正确；
对于，当时，直线与，与不垂直，故错误；
对于，令，解得或，当时，与重合，故当时，，此时、间的距离为，故正确；
对于，直线：，令，解得，即直线过定点，坐标原点到直线的距离的最大值为，故正确；
18.【答案】
【解析】对于， 直线 与直线 平行，
显然 ，所以 ，且 ，解得 ，
故两条平行直线即为直线 与直线 ，
则它们之间的距离为 ，所以不正确；
对于，假设点 关于直线 的对称点的坐标为 ，则 ，解得 ， ，
即点 关于直线 的对称点的坐标为 ，故B正确；对于，由 ，得 ，由 ，得 ，
故直线 过定点 ，
所以原点到直线 的距离的最大值为 ，故C正确；
对于，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以直线 与坐标轴围成的三角形的面积为 ，故D不正确．
故选：．
19.【答案】
【解析】解：对于，当直线：与直线平行时，
，解得，正确；
对于，当直线：与直线垂直时，
，解得，正确；
对于，直线方程转化为：，令，解得，，
所以直线过定点，错误；
对于，由选项C知直线过定点，则垂直于直线时，原点到直线的距离最大，
最大值为，正确．
故选：．
20.【答案】或
【解析】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，
所以设直线方程为或，
再因为直线过点代入，可得，
代入，可得．
所以直线方程为或．
故答案为：或．
21.【答案】
【解析】由题意可得，
，
直线：，：，
设，，
则直线中点，
点在直线上，且，，三点共线，
，解得，，
，
直线的方程为，
整理，得：．
22.【答案】
【解析】直线：过定点，
直线：，即，
可得过定点，
由于，
则与始终垂直，又是两条直线的交点，
则有，
．
由可得，
则，
即有，
当且仅当时，上式取得等号，
则周长的最大值为．
故答案为．
23.【解析】设点的坐标为则中点的坐标为，
依题意可知，点在直线上，点在中线上则有
解得，，
即点的坐标为．
设点关于直线的对称点为，则在直线上设点的坐标为，
则点的中点坐标为则有解得，，
即点的坐标为．
直线的斜率为，所以直线的直线方程为化简得：，
即直线的方程为．
24.【解析】当时，直线的方程为，斜率为，
则过点且与直线平行的直线方程为，
即．
因为原点到直线的距离为，
所以，
所以．
因为时，不满足条件；
当时，
令，，
令，，
令，
解得：或．
25.【解析】设，由已知得，又，
，即 ，
由已知得，又，
，即，
联立，解得，，
；
设
，
，又，，
，解得，，
又，轴，故直线的倾斜角为．

26.【解析】直线的方程可化为，
由，解得
故无论取何值，直线总过定点；
直线的方程可化为，
则直线在轴上的截距为，
且直线总过定点，
故要使直线不经过第四象限，
则，解得；
依题意，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
，．
又且，
，
故，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为，此时直线的方程为．
27.【解析】
关于轴的对称点，，
由
则此时，
所以光所走过的路程为
；
对于线段，
令其端点，
则，
所以反射光斜率的取值范围是；
若反射光与直线垂直，
则由
当，即时，
光所走过的最短路程为点到直线的距离，
所以路程，
当，即时，
光所走过的最短路程为线段，
其中，
所以
，
综上：．
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