重庆市广益中学校2024-2025学年八年级下学期入学测试数学试卷(含答案)

重庆市南岸区广益中学2024-2025学年八年级下学期入学测试数学试题
一、单选题
1．下列各数是无理数的是（ ）
A． B．0 C． D．
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．内错角相等 B．对顶角相等
C．若，则 D．两锐角之和一定是钝角
5．估计的值应在（ ）之间．
A．7到8 B．8到9 C．9到10 D．10到11
6．《九章算术》记载：“三只雀五只燕，共重16两；互换一只，恰同重，问雀、燕一只各几何？”设每只雀、燕分别重x两、y两，则列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，数轴上点A表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B． C． D．
8．毕节椪柑是全国农产品地理标志．某超市趁店庆来临之际，对毕节椪柑采取促销方式，当购买数量超过时，超过的部分给予优惠，购买金额（元）与椪柑的购买数量的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．毕节椪柑的原价是6元
B．当时，是的一次函数
C．当购买数量超过时，超过部分的毕节椪柑的价格是5元
D．若，则
9．如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．4
10．已知两个正整数a，b，可按规则扩充得到一个新数，再从a，b，c三个数中任取两个数，按上述规则又可扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充得到一个新数叫做一次操作．已知，，则以下结论正确的个数为（ ）
①第一次操作后扩充得到的新数；
②第三次操作后扩充得到的新数可能是63；
③若n次操作后扩充得到的新数大于2023，则n至少是4．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．的算术平方根是 ．
12．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．数据2，x，4，2，3，5的平均数为3，则 ．
14．实数a、b在数轴上位置如图，化简： ．
15．如图，直线与直线相交于点，则二元一次方程组的解为 ．
16．如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，一只蚂蚁从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到正对面母线的中点B处觅食，蚂蚁爬行的最短距离为 ．
17．如图，将长方形纸片沿折叠，使点落在边的延长线上的处，经过的中点，其中，，则 ．
18．如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“百合数”．如：853，∵，∴853是“百合数”．又如：432，∵，∴432不是“百合数”．已知M是一个“百合数”，在M的末位数字后添加数字1得到一个四位数A，在M的首位数字前添加M的十位数字得到一个四位数B，且能被11整除．则“百合数”M的最小值是 ；“百合数”M所有的值的和为 ．
三、解答题
19．解下列方程组：
(1)；
(2)．
20．解不等式并把解表示到数轴上：
(1)；
(2)
21．如图，三个顶点的坐标分别为、、．
(1)若与关于轴成轴对称，请作出；
(2)写出点的坐标：________；
(3)求出的面积．
22．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米．
实践探究小组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务．
(1)已知：如图，在中，．求线段的长．
(2)如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
23．如图1，在梯形中，，，点E在边上且．动点同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线E→A→D方向运动到点D停止，点Q以每秒2个单位长度沿折线E→B→C方向运动到点C停止．设运动时间为t秒，的面积为y．

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出的面积大于15时的t的取值范围 ．
24．某教育科技公司销售，两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
进价（万元/套）
售价（万元/套）
(1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共套，共需资金万元，该教育科技公司计划购进，两种多媒体各多少套？
(2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共套，其中购进种多媒体套，设将购进的两种多媒体全部售出的利润为，请求出与之间的函数关系式，并求出利润的最大值．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
(1)的长为______；点D的坐标是_____．
(2)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标．
(3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（1）如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，求证：；
（2）如图2，，N分别为上的点，且，求证：；
（3）如图3，是等边三角形，点D、F分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C的过程中，的度数是否发生变化？如果不变，求出的度数：如果改变，请说明理由．

参考答案
1．C
解：是有理数；
是无理数．
故选：C．
2．C
解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是：
．
故选：C．
3．C
【详解】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），
故选：C．
4．B
解：、两直线平行，内错角相等，该选项命题是假命题，不合题意；
、对顶角相等，该选项命题是真命题，符合题意；
、若，则，该选项命题是假命题，不合题意；
、两锐角之和可能是锐角或直角或钝角，该选项命题是假命题，不合题意；
故选：．
5．C
解：
，
∵，
∴，
∴，
∴估计的值应在到之间，
故选：C．
6．B
解：设每只雀、燕分别重x两、y两，
由题意得，，
故选；B．
7．B
解：由勾股定理知：，
所以．
所以点D表示的数为．
故选：B．
8．D
解：A． ∵（元），
∴毕节椪柑的原价是6元，正确，不符合同意；
B．由图象可知，当时，是的一次函数，正确，不符合同意；
C． ∵元，
∴当购买数量超过时，超过部分的毕节椪柑的价格是5元，正确，不符合同意；
D．设当时的函数解析式为，由题意，得：
，
解得，
∴，
∴当时，，
解得，不正确，符合题意．
故选：D．
9．C
解：如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H．
在中，，，，
．
，
，
∵，
∴当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为的长，
的值最小为．
故选：C．
10．D
解：第一次操作后扩充得到的新数，①正确；
，
从1、3、7种任选两数进行第二次操作可能得到新数：或，
第三次操作可能得到新数或或或或或，②正确；
第三次操作最大数为255，
第四次操作可得最大数为，③正确，
故选D．
11．
解：∵，
∴的算术平方根是，
故答案为：．
12．
解：由题意得：，
∴；
故答案为．
13．2
数据2，x，4，2，3，5的平均数为3，
，
解得：，
故答案为：2．
14．
解：由数轴可得：，且，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
解：根据图像可知：直线过点，
∴，
∴，
∵直线与直线相交于点，
当时，，
∴直线与直线相交于点，
∴二元一次方程组的解为．
故答案为：．
16．
解：如图，展开得：
连接，
圆柱的高为，底面圆的周长为，
，，
，
蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为，
故答案为：．
17．3
解：∵M为CD的中点，
∴CM＝DM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DM＝∠MFC，
∵∠DMB'＝∠FMC，
∴≌（AAS），
∴D＝CF，M＝MF，
设CF＝x，
则D＝x，
∵A＝16，AB＝8，
∴AD＝BC＝16﹣x，CM＝4，
∴BF＝16﹣x﹣x＝16﹣2x，
∵将长方形纸片ABCD沿EF折叠，点B落在边AD的延长线上的B'处，
∴BF＝F＝16﹣2x，
∴MF＝F＝8﹣x，
在RtMFC中，CF2+CM2＝MF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CF＝3，
故答案为：3．
18． 431 2963
解：设百合数M为， ，，
，
∵能被11整除，
∴能被11整除，
解得，； ， ，
故“百合数”M的最小值是431；“百合数”M所有的值的和为 ．
故答案为：431，2963．
19．(1)
(2)
（1）解：
得，
解得；
把代入①解得，，
故方程组的解为．
（2）解：，
得，
解得；
把代入①解得，，
故方程组的解为．
20．(1)，解集在数轴上表示见解析；
(2)，解集在数轴上表示见解析．
（1）解：
，
∴解集在数轴上表示如图，
；
（2）解：
，
∴解集在数轴上表示如图，
．
21．(1)见解析
(2)
(3)
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由（1）图可知，点的坐标为；
（3）解：由题意得，．
22．(1)米
(2)8米
（1）解：由勾股定理得，，
∴（米），
∴线段的长为米．
（2）解：风筝沿方向再上升米，则，
由勾股定理得，，
∵，
∴他应该再放出8米线．
23．(1)
(2)作图见解析，函数y的最大值是24（答案不唯一）
(3)
（1）在梯形中，，
，点在边上且.
，,
当时，
当时，如图，

综上所述：
（2）函数图象如图所示，函数的最大值是24．

（3）当时，，
解得
当时，，
解得
观察图象可得，时, ,
故答案为： ．
24．(1)该教育科技公司计划购进种多媒体套，则购进种多媒体套；
(2)，利润的最大值为万元．
（1）解：设该教育科技公司计划购进种多媒体套，则购进种多媒体套，
根据题意可得：，
解方程得：，
则(套)，
答：该教育科技公司计划购进种多媒体套，则购进种多媒体套；
（2）解：根据题意可得：，
整理得：，
，
随着的增大而减小，
又，
当时，利润有最大值，
最大值为，
答：利润的最大值为万元．
25．(1)5，
(2)或
(3)或或
（1）解：根据点，，得，
根据折叠的性质，得到，
故将点向右平移5个单位长度即可得到点D的坐标，
故．
故答案为：5，．
（2）解：设，则，
根据折叠的性质，得，
∵，
∴，
根据勾股定理，得，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
∴或．
（3）解：当时，如图所示，
过点P作轴于点E，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
∵点，，
∴，
∴，
故；
当时，如图所示，
过点P作轴于点F，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
故；
当时，如图所示，过点P作轴于点M，轴于点N，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵点，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故．
综上所述，符合题意的点有3个，分别为或或．
26．（1）见解析（2）见解析（3），理由见解析
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：在上截取，连接，如图2，

∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
（3），理由如下：

如图3，在上截取，连接，
∵，且，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．