(共12张PPT)
1.2 有理数
知识点 有理数
1．定义：_______、___和_______统称整数，_______和_______
统称分数，_____和_____统称有理数．
正整数
零
负整数
正分数
负分数
整数
分数
2．有理数的分类
①按定义分
②按性质分
【注意】
1．具有相反意义的量用正、负数表示，但不是带“＋”号的数就是正数，带“－”号的数就是负数；
2．正数前面的正号“＋”可以省略，如＋5＝5；
3．0既不是正数，也不是负数；
4．π等无限不循环小数不是有理数．
【名师点拨】
非负数指正数和零；非正数指负数和零；非负整数指正整数和零；非正整数指负整数和零．
考点 有理数的概念及其分类
典例 [2024·黔东南州期末]把下列各数填在相应的大括号内：
正数集：{____________________________…}；
非负整数集：{________________________…}；
负分数集：{__________________________…}；
有理数集：{__________________________…}．
思路导析 本题考查了有理数，熟悉有理数的分类是解题的关键．特别注意0不是正数，非负整数指正整数和零，无限不循环小数不是有理数．
变式1 下列说法中，错误的个数是 ( )
①正有理数和负有理数统称为有理数
②负整数和负分数统称为负有理数
③正整数和负整数统称为整数
④0是整数，但不是分数
A．1 B．2 C．3 D．0
变式2 将一串有理数按下列规律排列，回答问题：
变式3 在表中适当的空格画“√”．(共11张PPT)
1.4 相反数与绝对值
第1课时 相反数
知识点 相反数
1．定义：只有_____不同的两个数叫作互为相反数，其中一个
数叫作另一个数的相反数．特别地，0的相反数是__．
2．几何意义：在数轴上，表示一个非零数与它的相反数的两个
点分别位于原点_____，并且与原点的距离_____．
符号
0
两侧
相等
如图所示，－1和＋1，＋2.5和－2.5就互为相反数，它们所对
应的点到原点的距离分别是1，2.5.
3．表示方法：一般地，a的相反数是____，a可以是_____，可以
是_____，可以是__．
4．求一个数的相反数：在任意一个数的前面添上___号，新的数
就表示原数的相反数．
－a
正数
负数
0
负
【注意】
1．互为相反数的两个数一定是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数；
2．任何一个数都有相反数，而且只有一个．
3．－a不一定是负数，因为a可以表示任意有理数，应分类讨论．
考点1 相反数
典例1 [2024·绥化]实数－ 的相反数是 ( )
A．2 025 B．－2 025
C．－ D.
思路导析 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数，可得答案．
【规律总结】相反数的表示方法：a的相反数表示为－a，其中a表示任意的一个数，可以是正数、负数或者是0，所以－a不一定是负数．当a＞0时，－a＜0；当a＜0时，－a＞0；当a＝0时，－a＝0.
变式 下列有关相反数的说法正确的是 ( )
A．－ 和0.25不互为相反数
B．－3是相反数
C．任何一个数都有相反数
D．正数与负数互为相反数
考点2 相反数的化简
典例2 [2023·赤峰]化简－(－20)，结果是 ( )
思路导析 利用相反数的定义化简即可．
【规律总结】多重负号化简的方法：一个数前面有偶数个负号，结果为正； 一个数前面有奇数个负号，结果为负．
变式 化简：
(1)－(－7); (2)－(＋0.25)；
(3)＋(－2.2); (4)＋(＋ )．
解：(1)－(－7)＝7；
(2)－(＋0.25)＝－0.25；
(3)＋(－2.2)＝－2.2；
(4)＋(＋ )＝ .(共16张PPT)
1.3 数轴
知识点1 数轴的概念
规定了_____、_________、_______的直线叫作数轴．
知识点2 数轴的画法
1．画：画一条_____(一般把它画成水平的)；
2．取：在这条直线上任意取一点表示数0，这个点叫作_____；
3．定：规定_____________________________(习惯上取从左向
右的方向)，那么另一侧的方向就是负方向；
原点
单位长度
正方向
直线
原点
自原点开始一侧的方向为正方向
4．标：选取适当长度作为_________；
5．按照取定的单位长度，直线上从原点向正方向每隔一个单位
长度取一点，依次表示1，2，3，…；从原点向负方向，用类似
的方法依次表示－1，－2，－3，…(如图所示)．
单位长度
【规律总结】数轴概念包含三层含义：
1．数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；
2．数轴有三要素：原点、单位长度、正方向；
3．“规定”二字，是说原点的位置、单位长度的大小、正方向
的选取都是根据实际需要规定的．
知识点3 有理数与数轴
1．任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示，但数
轴上的点不都表示有理数．
2．在数轴上，表示正数和负数的点分别位于原点的两侧，所
有正数对应的点一般情况下都在数轴上原点的_____，所有负
数对应的点一般情况下都在数轴上原点的_____，0对应的点
就是原点．
右边
左边
考点1 数轴的定义与画法
典例1 [2024·百色期末]下列数轴正确的是 ( )
思路导析 本题考查了数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫作数轴．根据数轴的三要素即可解答．
变式 下列关于数轴的说法，正确的是 ( )
A．数轴是一条规定了原点和正方向的射线
B．数轴的正方向一定向右
C．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素
D．数轴的单位长度不一定统一
考点2 有理数和数轴上的点之间的关系
典例2 [2024·北京期中]在图中将数轴补充完整，并将下列各
数在数轴上表示出来：＋3，－4，－2.5，0，1，
思路导析 本题考查了数轴上的点与有理数的关系，在数轴上表示各数即可．
解：如图所示：
变式 如图，点A表示的数是－5.
(1)在数轴上表示出原点O；
(2)指出点B表示的数；
(3)点C在数轴上，与点B的距离为3个单位长度，那么点C表示什么数？
解：(1)原点在点A的右侧，距离点A 5个单位长度，如图：
(2)点B在原点的右侧距离原点
2个单位长度，因此点B所表示的数为2；
(3)①当点C在点B的左侧时，由图可知，当点C表示的数为－1时，点B与点C距离3个单位长度；
②当点C在点B的右侧时，由图可知，当点C表示的数为5时，点B与点C距离3个单位长度．
因此点C表示的数为－1或5.
考点3 有理数的实际应用
典例3 [2024·漳平期中]国庆放假期间，小明骑车从家里出发，先向西骑行2 km到达小华家，继续向西骑行1.5 km到达小方家，然后向东骑行5 km，到达小红家，最后回家．
(1)以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示
1 km，画出数轴，并在该数轴上用点A，B，C分别表示出小华家、小方家、小红家的位置；
(2)小明共骑行了多少千米？
思路导析 (1)按要求构造数轴，用几何方法借助数轴来求解；(2)根据题意列出算式，即可得出答案．
解：(1)A，B，C表示小华家、小方家、小红家的位置如图所示：
(2)因为2＋1.5＋5＋1.5＝10(km)，
所以小明共骑行了10千米．
变式 [2024·开原期末]一辆货车从货场A出发，向东走了2千米到达批发部B，继续向东走1.5千米到达商场C，又向西走了5.5千米到达超市D，最后回到货场．
(1)以货场为原点，以东为正方向，用一个单位长度表示1千米，你能在数轴上分别表示出货场A，批发部B，商场C，超市D的位置吗？
(2)超市D距货场A多远？
(3)此款货车每千米耗油约0.1
升，每升汽油6.20元，请你计
算他需多少汽油费．
解：(1)如图所示：
(2)AD＝2 km；
(3)(2＋1.5＋5.5＋2)×0.1×6.2＝6.82(元)，
答：他需6.82元汽油费．(共6张PPT)
第2课时 绝对值
知识点 绝对值
1．定义：数轴上，表示数a的点到原点的_____叫作这个数的
绝对值，记作|a|.
2．性质：一个正数的绝对值是_______，一个负数的绝对值是
___________，0的绝对值是__．
3．互为相反数的两个数的绝对值_____．
距离
它本身
它的相反数
0
相等
考点1 绝对值
典例1 [2024·滨州]－ 的绝对值是 ( )
思路导析 直接根据绝对值的性质解答即可．
变式 [2024·通州区期末]一个有理数的绝对值是2，则这个
数是 ( )
A．2 B．－2 C．±2 D.
考点2 绝对值的非负性
典例2 已知|a－1|＋|b－3|＝0，则a＝__，b＝__．
1
3
思路导析 根据非负数的性质“若几个非负数的和为0，则这几个非负数都等于0”进行计算即可．
变式 若|a－3|＋|b－a|＝0，求a和b的值．
解：因为|a－3|＋|b－a|＝0，
所以|a－3|＝0且|b－a|＝0，
所以a－3＝0，b－a＝0，
所以a＝3，b＝3.(共7张PPT)
第1章 有理数
1.1 正数和负数
知识点 正数和负数
规定：像＋1，＋0.3%，＋ ，＋2这样的数叫作_____．符号
“＋”称为正号，读作“正”，如“＋1”读作“正一”．一
般来说，“＋”可以省略．
像－3，－ ，－0.01这样的数叫作_____．符号“－”称为负
号，读作“负”，如“－3”读作“负三”．
__既不是正数也不是负数．
正数
负数
0
考点1 正数和负数
典例1 [2024·湖北]在实际生产生活中，经常用正数、负数表示具有相反意义的量，如果把收入20元记作＋20元，那么支出10元记作 ( )
A．＋10元 B．－10元
C．＋20元 D．－20元
思路导析 解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
变式 [2024·嵩县期中]如图，一名跳水运动员
参加10 m跳台的跳水比赛(10 m跳台是指跳台离
水面的高度为10 m)，这名运动员的身高为
1.75 m，跳水池池深为5.4 m(规定向上为正)．
(1)若以水面为基准，则这名运动员头顶的高度及池底的深度分别如何表示？
(2)若以跳台为基准，则池底的深度与水面的高度分别如何表示？
解：(1)这名运动员的身高为1.75 m，跳水池池深为5.4 m(规定向上为正)，若以水面为基准，这名运动员头顶离水面的高度为10＋1.75＝11.75(m)，表示为＋11.75 m，池底的深度表示为－5.4 m；
(2)以跳台为基准，池底距跳台10＋5.4＝15.4(m)，则池底的深度表示为－15.4 m，水面的高度表示为－10 m.
考点2 正数和负数的实际应用
典例2 2024年巴黎奥运会已经开幕，除了运动员外，“中国
制造”的体育装备在赛场上也是“大放异彩”．本次乒乓球比
赛中，所有的乒乓球全部来自广东的一家体育用品企业，所采
用的乒乓球的标准尺寸是40 mm±0.05 mm，下列尺寸的乒乓球
中哪一个是不合格的 ( )
A．40.06 mm B．40.02 mm C．39.97 mm D．39.95 mm
思路导析 由标准得出范围39.95～40.05，即可求解．
变式 [2024·盘龙区期末]每年10月的第二个星期四是世界视力
日，爱护视力，从己做起．验光时，验光师通常会以“×××D”
的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“－0.50D”，
近视100度记录为“－1.00D”．现有5位同学的验光记录如下：
－1.45D，－2.80D，－0.75D，－1.05D，－2.35D.通常，近视
超过200度时就要持续佩戴眼镜进行视力矫正．在这5位同学中，
需要持续佩戴眼镜的同学有 ( )
A．0位 B．1位 C．2位 D．3位(共8张PPT)
1.5 有理数的大小
知识点1 利用数轴比较有理数的大小
在数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数___．
知识点2 正数、0、负数的大小关系
正数_____0，负数_____0，正数_____负数．
两个负数，绝对值大的反而___．
大
大于
小于
大于
小
考点1 利用数轴比较有理数的大小
典例1 在数轴上标出下列各数，并用“<”连接起来．
＋2，－2.5，1 ，－1.5，－0.7.
思路导析 先把各数在数轴上表示出来，再根据左边的数比右边的数小进行大小比较．
解：把＋2，－2.5，1 ，－1.5，－0.7在数轴上表示如图：
所以－2.5<－1.5<－0.7<1 <＋2.
变式 [2024·交城县期中]已知六个有理数：
解答下列问题：
(1)互为相反数的一组数是___________；
(2)将上述六个有理数表示在如图所示的数轴上；
(3)将上述六个有理数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
解：(1)－4与|－4|；
(2)如图所示：
(3)由(2)数轴，得
考点2 正数、0、负数的大小比较
典例2 [2024·饶平县期末]比较大小：
<
思路导析 两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
