(共11张PPT)
2.2 有理数的乘法与除法
第1课时 有理数的乘法
知识点1 有理数的乘法法则
两数相乘，同号得___，异号得___，并把绝对值_____．任何
数与0相乘，积仍得__．
知识点2 倒数的意义
乘积是__的两个有理数互为倒数．
正
负
相乘
0
1
知识点3 有理数乘法运算律
1．乘法交换律：两个数相乘，交换_____的位置，积_____．用
字母表示为___________．
2．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后
两个数相乘，积_____．
用字母表示为_____________________．
3．乘法对加法的分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这
个数分别与这两个数相乘，再把积_____．用字母表示为______
_________________．
因数
不变
a×b＝b×a
不变
(a×b)×c＝a×(b×c)
相加
a×(b
＋c)＝a×b＋a×c
【规律总结】
(1)0乘任何数都得0.(2)任何不为0的数乘1得原数．(3)任何数乘－1得相反数．(4)带分数要转化为假分数．(5)小数和分数相乘，要把小数转化为分数．
知识点4 多个有理数相乘
几个非零数相乘，积的符号取决于_______的个数．当负因数
的个数为奇数时，积为___；当负因数的个数为偶数时，积为
___．几个有理数相乘，如果其中有一个因数为0，积就为__．
负因数
负
正
0
【注意】
1．利用运算律，可以改变运算顺序，达到简化计算的目的，在运用时应灵活选择；
2．多个有理数相乘，可以先确定积的符号，再把各因数的绝对值相乘．
考点1 有理数的乘法
典例1 (1)[2024·吉林]若(－3)×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为 ( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
(2)[2023·株洲]计算：(－4)× ＝ ( )
A．－6 B．6 C．－8 D．8
思路导析 根据有理数的乘法法则即可解答．
考点2 利用乘法运算律进行简便计算
典例2 计算：
思路导析 (1)用乘法结合律与交换律计算即可；(2)采用乘法分配律计算即可，注意同号得正，异号得负．(共12张PPT)
2.3 有理数的乘方
第1课时 有理数的乘方
知识点1 有理数乘方的意义
一般地，n个相同的因数a相乘，记作“an”．这种求几个相同
因数的积的运算，叫作_____，乘方的结果叫作___．在“an”
中，a叫作_____，n叫作_____，“an”读作“a的n次方”；当
把“an”看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”．
乘方
幂
底数
指数
知识点2 有理数乘方的运算
正数的任何次幂都是_____，负数的_______是正数，负数的
_______是负数；0的任何正整数次幂都是__．
正数
偶次幂
奇次幂
0
考点1 有理数乘方的意义
典例1 比较(－2)2和－22，下列说法正确的是 ( )
A．它们的底数相同，指数也相同
B．它们的底数相同，但指数不相同
C．(－2)2>－22
D．(－2)2＝－22
思路导析 此题考查有理数乘方计算和乘方的定义，根据乘方的底数及指数定义判断A，B；计算乘方(－2)2＝4，－22＝－4，由此判断即可．
【注意】
(－2)2读作“负2的二次方”，表示2个－2相乘，结果是4.
－22读作“2的二次方的相反数”，表示2个2相乘结果的相反数，结果是－4.
变式 (1)24中，底数是__，指数是__，表示__个__相乘；
(2)(－ )2中，底数是____，指数是__，表示__个____相乘；
(3)－52的底数是__，指数是__，读作__________________．
2
4
4
2
2
2
5
2
5的二次方的相反数
考点2 有理数乘方的运算
典例2 [2024·黄浦区期末]－33的计算结果是 ( )
A．－27 B．27
C．－9 D．9
思路导析 把有理数的乘方转化为有理数的乘法进行计算．
考点3 有理数乘方的应用
典例3 已知a，b都是实数，若(a＋2)2＋|b－1|＝0，
则(a＋b)2 023的值是____．
－1
思路导析 绝对值和平方的结果都是非负数，几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0.
解析：因为(a＋2)2＋|b－1|＝0，
所以a＋2＝0，b－1＝0，
所以a＝－2，b＝1，
所以(a＋b)2 023＝(－1)2 023＝－1.(共13张PPT)
第2课时 有理数的加法运算律
知识点 加法运算律
1．加法交换律：两个数相加，交换_____的位置，和_____．用
字母表示为___________.
2．加法结合律：三个数相加，先把_________相加，或者先把
_________相加，和_____．用字母表示为_____________________．
加数
不变
a＋b＝b＋a
前两个数
后两个数
不变
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
【规律总结】
加法运算律的运用技巧：
(1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
(2)符号相同的数先相加——“同号结合法”；
(3)分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——
“同分母结合法”；
(4)几个数相加得到整数先相加——“凑整法”；
(5)整数与整数、小数与小数先相加——“同形结合法”；
(6)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——
“拆分法”．
考点1 利用加法运算律进行简便计算
解：(1)原式＝(26＋18)＋[(－16)＋(－14)]
＝44＋(－30)＝14；
(2)原式＝[18.56＋(－18.56)]＋[(－5.16)＋5.16]＋(－1.44)
＝－1.44；
(3)原式＝[0.75＋(－2.75)]＋[0.125＋(－4.125)]＋0.5
＝(－2)＋(－4)＋0.5
＝(－6)＋0.5
＝－5.5；
考点2 有理数加法运算律的实际应用
典例2 [2024·大足区期末]2024年11月12日，第十五届中国航展在广东珠海举行，中国空军“八一”飞行表演队在航展上表演特技飞行，如图所示，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，五次特技飞行高度记录如下(单位：千米)：＋2.5，－1.2，＋1.1，－1.5，＋0.8.
(1)求飞机最后所在的位置比开始位置高还是低，高了或低了多少千米；
(2)若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，则飞机在这5次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？
解：(1)＋2.5＋(－1.2)＋1.1＋(－1.5)＋0.8＝1.7(千米)．
答：此时飞机比起飞点高了1.7千米；
(2)(2.5＋1.1＋0.8)×6＋(1.2＋1.5)×4
＝4.4×6＋2.7×4
＝26.4＋10.8＝37.2(升)．
答：一共消耗37.2升燃油．
变式 某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定的价格出售，
如果以每套55元的价格为标准，超出的记为正数，不足的记为
负数，记录如下(单位：元)：＋2，－3，＋2，－1，－2，＋1，
－2，0.
(1)他卖完这8套服装后的总收入是多少？
(2)盈利(或亏损)了多少元？
解：(1)根据题意，得
＋2＋(－3)＋2＋(－1)＋(－2)＋1＋(－2)＋0＝－3，
8×55－3＝437(元)，
答：他卖完这8套服装后的总收入是437元；
(2)437－400＝37(元)，
答：盈利了37元．(共10张PPT)
第2课时 有理数的除法
知识点1 有理数的除法法则
两数相除，同号得___，异号得___，并把绝对值_____.0除以任
何一个________的数都得__.0不能作除数．
知识点2 有理数除法运算的转换
除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数．
正
负
相除
不等于0
0
考点1 倒数
典例1 [2024·陕西]－3的倒数是 ( )
思路导析 根据乘积是1的两个有理数互为倒数解答．
考点2 有理数的除法
典例2 计算：
思路导析 根据有理数的除法法则，类比有理数乘法法则先判断符号，再把绝对值相除，或转化为乘法进行计算．
考点3 有理数的乘除混合运算
思路导析 先根据有理数的除法法则，把除法化成乘法，然后根据乘法法则进行计算即可．(共17张PPT)
2.4 有理数的混合运算
知识点 有理数混合运算的顺序
1．有理数的混合运算，先算_____，再算_____，最后算_____；
2．同级运算，按从___到___的顺序进行；
3．如果有括号，先算括号里面的，并按___括号、___括号、
___括号的顺序进行．
乘方
乘除
加减
左
右
小
中
大
【注意】
在进行有理数的混合运算时，一定要按运算顺序进行才能提高运算结果的正确率．
考点1 有理数的混合运算
典例1 在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了
一道有理数运算题，你认为做对的同学是 ( )
甲：9－32÷8＝0÷8＝0 乙：24－(4×32)＝24－4×6＝0
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
思路导析 一是明确运算顺序；二是明确运算法则；三是使用运算律简化计算．
考点2 有理数的简便计算
典例2 用简便方法计算：
思路导析 (1)原式前两项利用乘法分配律逆运算可简便运算；
(2)原式先算括号外边的乘法，再利用乘法分配律计算即可得到
结果．
【易错易混】
有理数混合运算中要注意运算顺序，防止符号出现错误．运算时要注意两个转化，一是将式子中的带分数转化成假分数，二是将除法转化成乘法．
变式 [2024·郑州期末]学习了有理数的运算后，下面是小明同学的第①步运算过程：
(1)在第①步的算式中用“〇”圈出来小明同学所有运算错误的地方；
(2)请你完整地写出本题的正确运算过程．
考点3 有理数混合运算的实际应用
典例3 [2024·望花区期末]外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单(送一次外卖称为一单)的部分记为“＋”，低于50单的部分记为“－”，如表是该外卖小哥一周的送餐量记录：
星期 一 二 三 四 五 六 日
送餐量
(单位：单) －3 ＋4 －5 ＋14 －8 ＋7 ＋12
(1)根据表中的数据可知该外卖小哥周三的送餐量是_____单；
(2)送餐最多的一天比送餐最少的一天多_____单；
(3)该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？
思路导析 (1)根据周三的送餐量，用加法计算即可；(2)分别找出送餐最多和最少的一天，再利用减法计算；(3)用每天50单的标准总和，加上每天的出入量，再除以天数即可．
解：(1)45；(2)22；
(3)[(50×7)＋(－3)＋4＋(－5)＋14＋(－8)＋7＋12]÷7＝53(单)，
答：外卖小哥这一周平均每天送餐53单．
变式 小明设计了一个如图所示的数值转换程序．
(1)当输入a＝－5，b＝－3吋，求输出M的值为多少；
(2)若a＝－3，M的值大于4，直接写出一个符合条件的b的值．
解：(1)由题意，得b2＝9，－a＝5，
因为b2>－a，所以M＝a2－3b＝(－5)2－3×(－3)＝34，
所以输出M的值为34；
(2)由题意，得－a＝3，
当b＝1时，b2＝1，且b2<－a，
所以M＝|a－b|＋3＝|－3－1|＋3＝7>4，
所以b＝1符合条件．(共9张PPT)
第2课时 科学记数法
知识点1 科学记数法
把一个绝对值大于10的数记作______的形式，其中1≤|a|<10，
n是_______，这种记数方法叫作科学记数法．
a×10n
正整数
知识点2 准确数与近似数
准确数是与实际完全符合的数；近似数是与实际相近的数．一
般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确
到哪一位．
例如，某人的生日是12月21日，12，21是准确数；我国人口总
数约为14.1亿，14.1亿是近似数．近似数1.8亿精确到千万位，
近似数5 575.8万精确到千位．
考点1 科学记数法
典例1 [2024·淄博]我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示，2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆．将30.7万用科学记数法表示为3.07×10n.则n的值是 ( )
A．4 B．5
C．6 D．7
思路导析 科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
变式 [2024·衡阳期末]网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，我国2023年“双十一”狂欢购物节电商总成交额高达2 434亿元．数据“2 434亿”可用科学记数法表示为 ( )
A．2.434×103 B．2.434×1012
C．2.434×1011 D．2.434×107
考点2 准确数与近似数
典例2 下列说法正确的是 ( )
A．4.6万精确到个位
B．0.730精确到百分位
C．5.079×104精确到千分位
D．2.90×105精确到千位
思路导析 对于未带计数单位或未用科学记数法表示的近似数，最后一位数字所在的数位就是它的精确度；对于带计数单位的或用科学记数法表示的近似数，应当写出原数之后再判断精确到哪一位．
变式 用科学记数法按题后要求表示下列各数：
(1)水星和太阳的平均距离约为57 900 000 km(精确到百万位)；
(2)冥王星和太阳的平均距离约为5 865 000 000 km(精确到亿位)．
解：(1)57 900 000 km＝5.790 000 0×107≈5.8×107 km(精确到百万位)；
(2)5 865 000 000 km＝5.865 000 000×109≈5.9×109 km(精确到亿位)．(共13张PPT)
第3课时 有理数的减法
知识点 有理数的减法
1．减法法则：减去一个数，等于加上这个数的_______，
即a－b＝_________．
2．有理数减法运算的步骤：
(1)改变运算符号，减法变加法；
(2)改变性质符号，把减数变为它的相反数；
(3)按照有理数加法法则进行计算．
相反数
a＋(－b)
【注意】
1．实际上“有理数的减法法则”是把“有理数的减法”转化
为“有理数的加法”，渗透了转化的数学思想．
2．在具体应用时要注意两变：一是减号变加号，二是减数变
为它的相反数．
考点1 有理数的减法
典例1 计算：
(1)(＋6)－9； (2)7.2－(－4.8)；
(3)0－2 023； (4)－ －(－ )．
思路导析 有理数的减法要根据法则转化为有理数的加法进行计算．注意两个变化：一是减号变加号，二是减数变相反数．
解：(1)原式＝(＋6)＋(－9)＝－3；
(2)原式＝7.2＋4.8＝12；
(3)原式＝0＋(－2 023)＝－2 023；
(4)原式＝－ ＋ ＝0.
【易错易混】在减法运算中应注意运算符号与性质符号的区别，不要将运算符号的“减号”与负数的“负号”混淆，因此减号后面是负数的时候要注意给负数添上括号．
变式 [2024·闵行区期中]已知－13 减去一个数所得的差是
－4.5，求这个数．
考点2 多个有理数的减法
典例2 [2024·杨浦区期中]计算：
思路导析 在有理数的计算中如果有多个减法，需要把减法都统一为加法再进行计算．
考点3 有理数减法的实际应用
典例3 [2024·长沙]“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是－180 ℃，最高温度是150 ℃，则它能够耐受的温差是 ( )
A．－180 ℃ B．150 ℃
C．30 ℃ D．330 ℃
变式 如表所示是某中学七年级5名学生的体重情况，试完成下列问题：
(1)谁最重？谁最轻？
(2)最重的与最轻的相差多少？
姓名 小颖 小明 小刚 小京 小宁
体重/千克 34 45
体重与平均体重的差 －7 ＋3 －4 0
解：(1)由表可知，平均体重为34－(－7)＝41(千克)，
所以小明的体重为44千克，小京的体重为37千克，小宁的体重为41千克，
所以小刚的体重最重，小颖的体重最轻；
(2)45－34＝11(千克)，
所以最重的与最轻的相差11千克．(共12张PPT)
第2章 有理数的运算
2.1 有理数的加法与减法
第1课时 有理数的加法
知识点 有理数加法法则
(1)做有理数加法时，先确定_____，再确定_______．即：
①同号两数相加，取_____的符号，并把_______相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取_________________的符号，
并用_____________减去_____________．
(2)互为相反数的两个数相加得__；一个数与__相加，仍得___
_____．
符号
绝对值
相同
绝对值
绝对值较大的加数
较大的绝对值
较小的绝对值
0
0
这
个数
【注意】
1．两个有理数相加，先确定和的符号，再把绝对值进行计算．
2．分数和小数相加，应先统一为分数或者小数，再相加．
考点1 有理数的加法法则
典例1 计算：
(1)(－5)＋0；
(2)(－18)＋(－7)；
(3)6.5＋(－6.5)；
(4)(－32.8)＋(＋51.76)；
思路导析 根据有理数的加法法则，观察适合哪一种情况，利用法则进行计算，注意一定要先确定符号，其中(5)注意要统一为小数，(6)(7)注意要通分．
解：(1)(－5)＋0＝－5；
(2)(－18)＋(－7)
＝－(18＋7)
＝－25；
(3)6.5＋(－6.5)＝0；
(4)(－32.8)＋(＋51.76)
＝51.76－32.8
＝18.96；
【规律总结】有理数的加法运算记忆口诀：
同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”；
符号跟着“大”的跑；绝对值相等零正好；
与零相加变不了．
考点2 有理数加法的实际应用
典例2 某天早晨的气温是－13 ℃，到中午升高了5 ℃，则中
午时的温度为____℃.
－8
思路导析 此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键；根据题意列算式，计算即可得到结果．
变式 [2023·昌黎县期末]下列问题情境，能用加法算式－2＋10表示的是 ( )
A．水位先下降2 cm，又下降10 cm后的水位变化情况
B．将原点先向左移动10个单位长度，再向右移动2个单位长度后表示的数
C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱
D．数轴上表示－2与10的两个点之间的距离(共14张PPT)
第4课时 有理数的加减混合运算
知识点 有理数的加减混合运算
有理数的加减混合运算的一般步骤是先将有理数加减混合运算
统一成_____运算，省略_____及括号前面的_____后，再按照
有理数的加法运算律和加法法则进行运算．
加法
括号
加号
考点1 有理数的加减混合运算
典例1 [2024·陇县期中]计算：
(1)13＋(－24)－25－(－20)；
思路导析 本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【规律总结】有理数加减混合运算的步骤：
(1)统一加法；
(2)省略括号及括号前的加号；
(3)使用运算律简化计算；
(4)求出正确结果．
【注意】
省略加号后要读为各个加数的和，交换加数位置的时候要连同符号一起交换．
变式 计算：
(1)－9＋5－(－12)＋(－3)；
考点2 有理数加减混合运算的实际应用
典例2 [2024·大连三模]某销售教辅材料的商家记录了6天以来每天的盈亏情况，并用“＋”表示盈利，“－”表示亏损，他记录的表格如表所示：
天数/天 盈亏情况/元
1 ＋10
2 －12
3 －24
4 ＋15
5 ＋9
6 －2
下列关于盈亏说法正确的是 ( )
A．6天以来亏损了4元
B．6天以来亏损了2元
C．6天以来盈利了12元
D．6天以来盈利了6元
变式 [2023·阜平县期末]小明家购置了一辆续航为350 km(能行
驶的最大路程)的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续7天每
天行车电脑上显示的行驶路程记录如表(单位：km，以40 km为标
准，超过部分记为“＋”，不足部分记为“－”)．已知该汽车
第三天行驶了45 km，第六天行驶了34 km.
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
－6 ＋2 ■ －3 ＋8 ● ＋7
(1)“■”处的数为_______，“●”处的数为_______；
(2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的15%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示．
解：(1)由题意，得第三天行驶了45 km，第六天行驶了34 km，
所以第三天处的数为45－40＝＋5，第六天处记录的数为34－40
＝－6，
所以“■”处的数为＋5，“●”处的数为－6，
故答案为：＋5，－6；
(2)由题意，得－6＋2＋5－3＋8－6＋7＝2＋5＋8＋7－6－3－6＝22－15＝7(km)，
40×7＋7＝280＋7＝287(km)，
350－287＝63(km)，
350×15%＝52.5(km)，
因为63＞52.5，所以行车电脑不会发出充电提示．
