(共9张PPT)
5.3 一元一次方程的解法
第1课时 一元一次方程的解法(1)
知识点1 系数化为1
方程两边同时___________________________________，使一元
一次方程ax＝b(a≠0)变形为x＝ 的形式，变形依据是_______
__________．
除以未知数的系数(或乘以系数的倒数)
等式的
基本性质2
知识点2 合并同类项
将一元一次方程中含有_______的项和_____项分别合并，使方
程转化为ax＝b(a≠0)的形式，变形依据是_______________．
知识点3 解方程
求_________的过程，叫做解方程．解一个以x为未知数的方程，
就是把方程转化为x＝c (c为常数)的形式．
未知数
常数
合并同类项法则
方程的解
考点1 系数化为1解一元一次方程
典例1 [2024·兴宁期末]方程－ x＝6的解是 ( )
A．x＝－2 B．x＝2
C．x＝18 D．x＝－18
思路导析 方程左右两边同乘以－3求解．
变式1 [2024·柳州期末改编]下列解方程的步骤正确的
是 ( )
A．由－12x＝6，得x＝－2
变式2 (多选)下列解方程变形错误的是 ( )
考点2 利用合并同类项解一元一次方程
典例2 下列是小明同学做的四道解方程，其中错误的是 ( )
A．5x＋4x＝9→x＝1
B．－2x－3x＝5→x＝1
C．3x－x＝－1＋3→x＝1
D．－x＋6x＝－2－8→x＝－2
思路导析 按照合并同类项法则，分别合并含有未知数的项和常数项．
变式1 解方程8x＋9x－12x＝11＋3的步骤是：①合并同类项，
得_______，②系数化为1，得_______．
5x＝14
x＝2.8
变式2 用合并同类项的方法解下列方程：(共20张PPT)
5.4 一元一次方程与实际问题
第1课时 积分、调配、和差倍分与配套问题
知识点1 列方程解应用题的一般步骤
知识点2 积分问题
相等关系：(1)总场次＝胜场数＋平场数＋负场数；
(2)总得分＝_________＋_________＋_________．
知识点3 调配问题
分别表示出调配前的数量和调配后的数量，根据调配后的等量关系列方程．
胜场得分
平场得分
负场得分
知识点4 配套问题
若配套的方式为“m件A产品和n件B产品配套”则相等关系是：A产品的数量×n＝B产品数量×m.
考点1 积分问题
典例1 [2024·厦门期末]某小组5名同学参加一次知识竞赛，共答20道题，每题分值相同，答对得分，答错或不答扣分，下面是4名同学的得分情况(如表)，下列说法正确的是 ( )
序号 答对题数 答错或不答题数 得分
1 18 2 84
2 17 m 76
3 20 0 100
4 10 10 n
A.m＋n＝24
B．这次知识竞赛第五名同学得了50分
C．多答对一题就可以多拿8分
D．错一题得1分
思路导析 本题考查一元一次方程的积分问题．先根据第三名同学的答题情况得到结论：答对一题得5分；再根据第一名同学的答题情况得到结论：答错一题扣3分；然后根据以上结论可进一步求解．
解析：由于共有20道题，因为第三名同学全部答对，得分为100分，且没有扣分，
所以答对每道题得分为100÷20＝5(分)．
设答错一道题扣分为t分，根据第一名同学的答题情况可列方程
18×5－2t＝84，
解得t＝3.
再由第二名同学的答题情况得m＝20－17＝3，
由第四名同学的答题情况可得n＝10×5－10×3＝20.
A．m＋n＝3＋20＝23，此选项错误；
B．设第五名同学答对了x道题，则答错了(20－x)道题，根据题意列出方程
5x－3(20－x)＝50，
解得x＝ .
因为x必须是整数，故此选项错误；
C．因多答对一题就意味着少答错一题，故多拿5＋3＝8(分)，此选项正确；
D．因题干指明答错扣分，故此选项错误．
变式1 [2024·邵阳期末]英语竞赛共20道试题，每道题有4个选
项，只有一个正确选项，选对得5分，不选或错选倒扣1分，已知
小华得了76分，设小华选对了x道题，所列方程正确的是 ( )
A．5x－(20－x)＝76
B．5x＋(20＋x)＝76
C．5x＋(20－x)＝76
D．5x－(20＋x)＝76
变式2 [2024·南昌期末]在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败．
(1)若这支球队9场比赛得到的积分是21分，求这9场比赛中的胜场数和平场数；
(2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？
解：(1)设该队共胜了x场，则平了(9－x)场，
根据题意列出方程为3x＋(9－x)＝21，
解得x＝6.
答：这9场比赛中胜6场，平3场；
(2)由题意得3x＝9－x，
解得x＝ 不符合实际意义，
所以这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分．
考点2 调配问题
典例2 [2024·本溪期末]七年级一班有35人，七年级二班有26人，现在需要从两班各抽调一些同学去本溪水洞景区做宣传志愿者活动．如果七年级一班抽调的人数比七年级二班多三人，那么七年级一班剩余的人数恰好是七年级二班剩余人数的两倍，问从七年级二班抽调了多少人参加了这次志愿者活动？
思路导析 关键等量关系：七年级一班剩余的人数恰好是七年级二班剩余人数的两倍．
解：设七年级二班抽调了x人参加了这次志愿者活动，根据题意得
35－(x＋3)＝2(26－x)，
解得x＝20，
答：从七年级二班抽调了20人参加了这次志愿者活动．
变式 [数学传统文化][2024·源城区期末]我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 ( )
A．6x＋14＝8x－2 B．6x－14＝8x＋2
C．6x＋14＝8x＋2 D．6x－14＝8x－2
考点3 和差倍分问题
典例3 [2024·广州]某新能源车企今年5月交付新车35 060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1 100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为 ( )
A．1.2x＋1 100＝35 060
B．1.2x－1 100＝35 060
C．1.2(x＋1 100)＝35 060
D．x－1 100＝35 060×1.2
思路导析 等量关系：今年5月交付新车的数量＝1.2×去年5月交付新车的数量＋1 100.
变式 [2024·宁波期末]2023年9月23日杭州第19届亚运会顺利召开，我国取得了历史性突破，共获得383枚奖牌，其中铜牌有71枚，金牌数量是银牌数量的2倍少21枚，设银牌的数量为x枚，则所列方程正确的是 ( )
A．2x－21＝383－71
B．2x＋21＝383－71
C．2x＋21＋x＝383－71
D．2x－21＋x＝383－71
考点4 配套问题
典例4 [2024·江津期末]某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装盒，每张硬纸板可制作盒身8个或制作盒底12个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，设需用x张做盒身，则下面所列方程正确的是 ( )
A．12(28－x)＝8x
B．12(28－x)＝2×8x
C．2×12(28－x)＝8x
D．12(14－x)＝8x
思路导析 配套问题的关键是确定数量关系：根据“1个盒身与2个盒底配成一套”可得出“盒底的数量＝2倍盒身的数量”．
变式 [2024·南京期末]去年秋季，我市某果树基地安排26名工人将采摘的水果包装成果篮，每个工人每小时可包装200个苹果或者300个梨，每个果篮中放3个苹果和2个梨．为了使包装的水果刚好完整配成果篮，若设有x名工人包装苹果，则可列方程为 ( )
A．200x＝300(26－x)
B．3×200x＝2×300(26－x)
C．2×200x＝3×300(26－x)
D．2×200(26－x)＝3×300x(共11张PPT)
第4课时 销售与储蓄问题
知识点 销售与储蓄问题
销售问题中的常见概念：
成本：即进价，商店进货时商品的价格；
标价：商品出售时所标明的价格；
售价：商品出售时的实际价格；
利润率：商品利润与成本的百分比．
在销售问题中，常用的关系：
利润＝售价－成本；
利润率＝ ×100%；
售价＝成本×(1＋利润率)；
打a折销售时，售价＝标价× .
在储蓄问题中，常用的关系：
利息(不扣税)＝本金×利率×期数．
【注意】
商品的售价与商品的标价是不同的两个量，它们不一定相等，
只有按照标价不打折出售时，售价才等于标价．
考点 销售与储蓄问题
典例1 [2024·齐齐哈尔期末]一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折出售，结果获利28元．若这件夹克衫的成本为x元，根据题意，可得到的方程是 ( )
A．80%(1＋50%)x＝x－28
B．80%(1＋50%x)＝x＋28
C．80%(1＋50%x)＝x－28
D．80%(1＋50%)x＝x＋28
思路导析 等量关系：利润＝售价－成本价．
变式 [2024·长沙期末]某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1 755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．
(1)求钢笔和毛笔的单价各为多少元；
(2)学校仍需要购买上面的两种笔共105支(每种笔的单价不变)．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2 447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了．
解：(1)设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为(x＋4)元，
由题意，得30x＋45(x＋4)＝1 755，
解得x＝21，则x＋4＝25.
答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元；
(2)设购买单价为21元的钢笔y支，所以购买单价为25元的毛笔(105－y)支，
根据题意，得21y＋25(105－y)＝2 447.
解得y＝44.5 (不符合题意)．所以王老师的账肯定算错了．
典例2 某人三年前存了一份3 000元的教育储蓄，今年到期时
的本利和为3 243元，请你帮他算一算这种储蓄的年利率．若
年利率为x%，则可列方程为___________________________．
(年存储利息＝本金×年利率×年数，不计利息税)
3 000＋3 000×3×x%＝3 243
思路导析 本利和＝本金＋利息＝本金＋本金×年利率×年数．
变式 某开发商按照分期付款的形式售房．小明家购买了一套总价为120万元的新房，购房时首付(第一年)款40万元，从第二年起，以后每年应付房款为5万元与上一年剩余欠款的利息之和．已知剩余欠款的年利率为5.0%，问：
(1)小明家第二年需交房款多少万元？
(2)第几年小明家需交房款6.75万元？
解：(1)由题意，得小明家第二年需交房款为(120－40)×5%＋5＝9(万元)．
答：小明家第二年需交房款9万元；
(2)设第x年小明家需交房款6.75万元，根据题意，得
5＋[80－5(x－2)]×5%＝6.75，
解得x＝11.
答：第11年小明家需还款6.75万元．(共6张PPT)
5.2 等式的基本性质
知识点1 等式的基本性质1
等式两边都_____(或_____)同一个代数式，结果仍是_____．即
如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a－c＝b－c.
知识点2 等式的基本性质2
等式两边都___同一个数，或除以_________________，结果仍是
等式．即如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，c≠0，那么
加上
减去
等式
乘
同一个不为零的数
【注意】
运用性质1可以把方程适当变形；运用性质2，可以把方程中未
知数的系数化为1.
考点 利用等式的基本性质将等式变形
典例 [2024·鄂尔多斯期末]已知等式3a＝2b＋5，则下列等式中不一定成立的是 ( )
A．3a－5＝2b B．3a＋1＝2b＋6
思路导析 掌握等式的基本性质是解题的关键．
【注意】
应用等式的基本性质2，等式的两边都除以同一个数时，除数不能为0.
变式 [2024·太湖县期末]下列方程的变形中，正确的是 ( )
①3x＋6＝0，变形为x＋2＝0
②x＋7＝5－3x，变形为4x＝－2
③4x＝－2，变形为x＝－2
④ ＝3，变形为2x＝15
A．①④ B．②③
C．①②④ D．①②③(共11张PPT)
第3课时 工程、数字与年龄问题
知识点1 工程问题
工程问题中基本量之间的关系：
工作量＝工作效率×工作时间，
【注意】
工作量通常看成“1”或某一正数．
知识点2 数字和年龄问题
年龄问题的基本规律是不管时间怎样变化，两人的年龄差保持不变．
考点1 工程问题
典例1 [2024·陕西]星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间．
思路导析 等量关系：小峰完成的工作量＋爸爸完成的工作量＝总工作量．
解：设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了(3－x)h，
根据题意，得 ＝1，解得x＝2.
答：这次小峰打扫了2 h.
【方法技巧】涉及工程问题时，可将工作效率、工作时间、工作量用表格清晰地呈现出来，根据表格更容易寻找等量关系列方程．
变式1 [2024·六安期末]被誉为“天下第一塘”的水门塘是霍邱县的一张文化名片，为打造水门塘风光带，现有一段长为280米的堤岸维修任务由A，B两个工程队先后接力完成．A工程队每天维修12米，B工程队每天维修10米，两个工程队共用时25天．则A工程队维修堤岸 ( )
A．160米 B．170米
C．180米 D．190米
变式2 某车间原计划7小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了5小时不但完成任务，而且还多生产40件，设原计划每小时生产零件x件，则所列方程为 ( )
考点2 数字和年龄问题
典例2 [2024·满洲里期末]一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶
说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现
在这么大，我就118岁啦！”，请问奶奶现在的年龄是___岁．
思路导析 等量关系：两种情况下妙妙与奶奶的年龄差不变．
67
解析：设奶奶现在的年龄是x岁，则妙妙现在的年龄是(2x－118)岁，
根据题意，得x－(2x－118)＝2x－118＋35，解得x＝67，
所以奶奶现在的年龄是67岁．
变式 [2025·银川期末]一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大9，则原来的两位数是 ( )
A．25
B．52
C．43
D．34(共14张PPT)
第5章 一元一次方程
5.1 认识方程
知识点1 方程与方程的解
1．为了求出问题中的未知数，可以引入字母表示未知数，再根
据等量关系建立含有_______的等式，这样的等式叫作方程．
2．使方程的等号两边_____的未知数的值叫作方程的解．只含
有一个_______的方程的解也叫作方程的根．
未知数
相等
未知数
知识点2 一元一次方程
方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数都是__，等号两
边都是_____，这样的方程叫作一元一次方程．
【注意】
切记一元一次方程的3个条件：(1)只含一个未知数；(2)未知数
的次数均为1；(3)整式方程．
1
整式
考点1 一元一次方程的概念
典例1 [2024·济南期末]下列方程是一元一次方程的是 ( )
A．x＋2y＝9
B．x2－3x＝1
思路导析 本题主要考查一元一次方程的定义．确定3个条件：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是1；(3)整式方程．
变式 [2024·烟台期末]若方程(a－1)x|a|－2＝3是关于x的一元一次方程，则a的值为 ( )
A．1
B．1或－1
C．－1
D．无法确定
考点2 一元一次方程的解
典例2 下列方程的解为x＝－2的是 ( )
A．3x－4＝2
B．3(x＋1)－3＝0
C．2x＝－1
思路导析 把x＝－2代入每个方程，看方程等号两边是否相等即可．
变式 [2024·厦门期末]已知x＝1是关于x的方程x－2a＝4x－1的解，则a的值为 ( )
考点3 列方程
典例3 [数学传统文化][2024·平桥区期末]我国明代著
名数学家程大位的《算法统宗》一书中记载了一些诗歌
形式的算题，其中有一个“百羊问题”：甲赶群羊逐草
茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得
这般一群凑，再添半群小半群．得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透．
题目的意思是：甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵了一只肥羊紧跟
在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果再有
这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满
100只．”请问甲原来赶的羊一共有多少只？如果设甲原来赶的羊一
共有x只，那么可列方程为_____________________．
思路导析 根据“再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只”这一等量关系列出方程．
变式1 [2024·无锡]《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题(凫：野鸭)，大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是 ( )
变式2 [2024·礼县期末]某车间有22名工人，生产某种由一个
螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母20个或螺栓12个，
若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生
产的螺栓和螺母配套，则所列方程是__________________．
2×12x＝20(22－x)
变式3 根据下列条件，设未知数并列出方程：
(1)一个数的3倍减去3，等于该数的 加5，求该数；
(2)小明和爸爸下象棋，爸爸赢一盘得1分，小明赢一盘得3分，下了8盘后，两人得分相等，如果没有和棋，求小明赢了多少盘．
解：(1)设这个数为x，根据题意，得3x－3＝ x＋5；
(2)设小明一共赢了x盘，则爸爸赢了(8－x)盘，根据题意，得8－x＝3x.(共16张PPT)
第3课时 一元一次方程的解法(3)
——去括号、去分母
知识点1 解含有括号的一元一次方程
去括号的方法，按照整式加减中的___________，将方程的括
号去掉．
知识点2 解含有分母的一元一次方程
1．去分母的方法：方程两边同时乘所有分母的最小公倍数．
2．去分母的依据：等式的基本性质2.
去括号法则
知识点3 解一元一次方程的一般步骤
变形
名称 具体做法 变形根据 易错点 示例
去
分
母 方程两边乘各分母的最小公倍数 等式的基本性质2 (1)易漏乘不含分母的项；
(2)分子是和、差的形式时，分子容易漏加括号 两边同乘12，
3(3x＋1)＋4(x－2)＝6x＋60
变形
名称 具体做法 变形根据 易错点 示例
去
括
号 可按“小、中、大”的顺序去括号，也可灵活决定 (1)乘法对加法的分配律；
(2)去括号法则 (1)容易漏乘括号里面的项；
(2)容易出现符号错误 9x＋3＋4x－8＝6x＋60
移项 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边 等式的基本性质1 移项容易不变号 9x＋4x－6x＝60－3＋8
变形
名称 具体做法 变形根据 易错点 示例
合并
同类
项 把方程化为ax＝b(a≠b)的形式 合并同类项法则 系数相加时易算错 7x＝65
系数
化为
1 方程两边除以未知数的系数 等式的基本性质2 (1)系数含字母时，容易不先判断系数是否为0而直接两边同时除以系数；
(2)容易把分子、分母颠倒
考点1 解含有括号的一元一次方程
典例1 [2024·潍坊期末]解方程(写出完整的解题步骤)：
1－(x－2)＝x－3(2x＋1)．
思路导析 按照去括号，移项、合并同类项，系数化为1步骤进行计算．
解：1－(x－2)＝x－3(2x＋1)，
1－x＋2＝x－6x－3，
－x－x＋6x＝－3－1－2，
4x＝－6，
x＝－ .
考点2 解含有分母的一元一次方程
典例2 [2024·烟台期末]解方程：
思路导析 熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解答本题的关键：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求出解．
解：去分母，得(x－2)－2(x＋2)＝6＋3(x－1)，
去括号，得x－2－2x－4＝6＋3x－3，
移项、合并同类项，得－4x＝9，
系数化为1，得x＝－ .
【注意】
去分母时要注意：(1)不要漏乘；(2)分子作为整体要加括号．
变式1 [2024·临沂期末]解方程 去分母正确
的是 ( )
A．4(x－1)－3(2x＋3)＝1
B．3(x－1)－4(2x＋3)＝6
C．3(x－1)－4(2x＋3)＝12
D．4(x－1)－3(2x＋3)＝12
变式2 [2024·延庆区期末]在学习解方程时，张老师给出题目，
解方程：(3x＋4)＝x－1.下面是小刚和小红的探究过程，请补
充完整．
(1)小刚：这是一元一次方程，求解就要将方程化为“x＝a”形
式．通过观察我发现此方程中有括号，我认为应先__________，
依据是_________，然后再通过移项、合并同类项、系数化为1就
可以得到方程的解了；
(2)小红：通过观察我发现此方程中有分母，所以我认为先________，方程左右两边都________，依据是________，
然后再通过其他的变形就可以得到方程的解了；
(3)请你选择其中一个思路进行解答．
解：(1)去括号，乘法分配律；
(2)去分母，乘以2，等式的基本性质2；
(3)选择小红的方法： (3x＋4)＝x－1，
去分母，得3x＋4＝2x－2，
移项，得3x－2x＝－2－4，
合并同类项，得x＝－6.(共12张PPT)
第5课时 分段计费与方案选择问题
知识点1 分段计费
常见分段计费：个人所得税，水费，电费，煤气费，话费，出租车费，商家促销商品的分段优惠等．
等量关系：总费用＝各段费用之和，注意每一段的计费标准不同．
知识点2 方案选择
一般步骤：
(1)根据不同方案列代数式；
(2)列方程；
(3)决策．
考点 分段计费与方案选择问题
典例 [2024·青岛期末]某种出租车的收费标准是：起步价7元(即使行驶距离不超过3 km也需付7元车费)，超过3 km以后，每增加1 km，加收2.4元(不足1 km按1 km计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程的最大值是 ( )
A．1 km B．8 km C．7 km D．5 km
思路导析 总费用＝起步价＋超出费用．
变式1 [2024·綦江区期末]某航空公司规定：乘坐飞机普通舱的旅客每人最多只能免费托运20 kg的行李，超过部分每千克按机票价格的1.5%购买行李票，一位旅客托运了40 kg的行李，这样，机票和行李票共付1 339元，则该旅客的机票价格是 ( )
A．1 020元 B．1 030元
C．1 040元 D．1 050元
变式2 [2024·延庆区期末]某市为降低碳排放，积极推广绿色生活与绿色出行方式．为此，某出租公司制定了新的出租车收费标准，具体如表所示：
(1)王刚9：00乘坐出租车由家去往A景区，到达后他向出租车司机支付了57元(其中包含10元路桥费，等候费忽略不计)，则他家到A景区的距离是______千米；
(2)张梅23：30从机场打车回家，路程约为23千米，则她要付车费______元(不考虑过路桥费和等候费)．
解：(1)他家到A景区有x千米，
则10＋2×(8－3)＋3(x－8)＋10＝57，
解得x＝17，
故答案为：17；
(2)(1＋0.2)[10＋2×(8－3)＋3×(23－8)]＝78(元)，
故答案为：78.
变式3 [2024·长寿区期末]七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话：
(1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？
(2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？
(3)3班的学生人数为a(a＞40)，如果你是3班班长，请你从两种方案中为3班选出一种最实惠的购票方案，并说明理由．
解：(1)44×20×0.8＝704(元)，
答：1班购票需要704元；
(2)设2班有x人，
由题意，得20(x－7)×0.9＝702，
解得x＝46，
答：2班有46人；
(3)3班有a人，
由题意，得20(a－7)×0.9＝20a×0.8，
解得a＝63，
所以当班级人数为63人时，两种方案费用相等，
当a＞63时，方案一省钱；
当a＜63时，方案二省钱．
综上所述，当3班的人数a>63时，选择方案一，a<63时，选择方案二，
a＝63时，方案一方案二均可以．(共5张PPT)
第2课时 一元一次方程的解法(2)
——移项
知识点1 移项
1．把方程中的某一项_________后，从方程的一边移到另一边，
这种变形叫作移项．
2．移项的目的：使含有未知数的项和常数项分别位于等号左右
两边，以便为下一步合并同类项创造条件．移项的依据是_____
____________．
3．移项的原则：一般把含有未知数的项放到方程左边，把常数
项放到方程右边．
改变符号
等式
的基本性质1
知识点2 移项步骤
1．移项；
2．合并同类项；
3．系数化为1.
考点 移项
典例 [2024·德州期末]解方程：
0．4x－0.7＝6.5－1.4x.
思路导析 先移项合并同类项，再把x的系数化为1.
解：0.4x－0.7＝6.5－1.4x
移项，得0.4x＋1.4x＝6.5＋0.7，
合并同类项，得1.8x＝7.2，
系数化成1，得x＝4.
变式 下列解方程移项正确的是 ( )
A．由5＋x＝12，得x＝12＋5
B．由5x＋8＝4x，得5x－4x＝8
C．由10x－2＝4－2x，得10x＋2x＝4＋2
D．由2x＝3x－5，得3x－2x＝－5(共15张PPT)
第2课时 行程与几何图形问题
知识点1 行程问题
行程问题中的基本关系：路程＝速度×时间．
常见问题类型：
1．相遇问题：
(1)直线相遇：甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离；
(2)环形相遇：同时同地，首次相遇，甲走的路程＋乙走的路程＝环形的一周长．
2．追及问题：
(1)直线追及：同地不同时，快者路程＝慢者路程；同时不同地，快者路程－慢者路程＝两地间的距离；
(2)环形追及：同时同地，同向出发，首次相遇，快者路程－慢者路程＝环形的一周长．
3．顺、逆流往返航行问题：顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度；顺水航行的路程＝逆水航行的路程．
【注意】
路程、时间、速度的关系式是解决行程问题的关键，在运用时，要灵活变通．
知识点2 几何图形问题
等量关系：几何图形的面积、周长、体积计算公式和图形中呈现的边长之间的等量关系．
考点1 行程问题
典例1 [2024·山东期末]甲、乙两站间的路程为300 km，一列快车从甲站开出，每小时行驶60 km，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶20 km.
(1)两车同时开出，相向而行，_____小时后相遇；
(2)快车先开15 min，两车相向而行，快车开出_______小时后两车相遇；
(3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？
(4)慢车先开30 min，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？
思路导析 掌握行程问题中的等量关系是解题的关键．(1)设两车行驶t小时相遇，根据相遇时两车行驶路程之和为300 km建立方程求解；(2)设慢车行驶t小时两车相遇，根据两车行驶路程之和为300 km建立方程求解，再加上快车先开的时间即可求得结果；(3)设t小时快车追上慢车，根据快车比慢车多行驶300 km建立方程求解；(4)设快车行驶t小时两车相遇，根据快车比慢车多行驶300 km建立方程求解．
解：(1)设两车行驶t小时相遇，
根据题意，得60×t＋(60－20)t＝300，解得t＝3，
答：开出3小时后两车相遇，
故答案为：3；
(2)设慢车行驶t小时两车相遇，
答：快车开出3.1小时后两车相遇，
故答案为：3.1；
(3)设t小时快车追上慢车，
根据题意，得(60－20)t＝60t－300，
解得t＝15，
答：出发15小时后快车追上慢车；
(4)设快车行驶t小时两车相遇，
根据题意，得(60－20)(t＋0.5)＝60t－300，解得t＝16.
答：快车出发16小时后追上慢车．
变式 [2024·聊城期末]小亮和小莹去青少年素质教育实践基地
参加活动．小亮从学校出发步行去基地，速度为5 km/h，16 min
后，小莹从学校出发骑自行车沿相同路线骑行，速度为15 km/h，
结果小莹提前10 min到达实践基地．学校到实践基地的路程是多
少？设学校到实践基地的路程为x km，则下列方程正确的是( )
【方法技巧】
分析行程问题时，通常用线段示意图将总路程与各段路程呈现出来，这样比较容易找出等量关系．
考点2 几何图形问题
典例2 [2024·嘉兴期末]如图，某日晷基座的
底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一
个边宽为3.2米的正方形框(阴影部分)．已知
铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形
花岗岩(接缝忽略不计)，问：该日晷基座的底面边长是多少米？
若设该日晷基座的底面边长是x米，则下列方程中正确的是 ( )
A．4×3.2(x＋3.2×2)＝0.82×144
B．4×3.2(x＋x＋3.2×2)＝0.82×144
C．2×3.2(x＋3.2)＋2×3.2x＝0.82×144
D．4×3.22＋4×3.2×x＝0.82×144
思路导析 阴影部分面积等于4个边长为3.2米的正方形和4个边长分别为3.2米和x米的长方形的面积的和．
变式 要锻造一个直径10 cm、高为8 cm的圆柱形毛坯， 应截取
直径为8 cm的圆钢多长？若设应截取直径为8 cm的圆钢x cm，
则可列方程为 ( )
