(共20张PPT)
6.5 角的比较与运算
知识点1 角的比较方法
角的比较方法有_____法和_____法．
【注意】
(1)度量法是从“数”的方面比较大小；(2)叠合法是从“形”的方面比较大小，角的开口越大，角越大．
度量
叠合
知识点2 角的和、差
如图，∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC＝∠AOB＋∠BOC.
如图，∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB＝∠AOC－∠BOC.
知识点3 角的平分线
1．从一个角的顶点引出的一条_____，把这个角分成两个_____
的角，这条射线叫作这个角的平分线．
2．角的n等分线：如图，从∠AOD顶点O引出的两条
射线OB，OC，将∠AOD分成三个相等的角，射线OB，
OC叫∠AOD的三等分线，即∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝
∠AOD.类似地，还有角的四等分线、五等分线……
射线
相等
【注意】
角平分线定义有性质和判定两种作用：
(1) 性质：如图，
因为OC是∠AOB的平分线(已知)，
所以∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC(角平分
线的定义)．
(2) 判定：
如图，因为∠AOC＝∠BOC(已知)，所以OC是∠AOB的平分线(角
平分线的定义)．
【注意】
一条射线要成为一个角的平分线，必须同时满足两个条件：
①射线必须在角的内部；②它把这个角分成相等的两个角．
考点1 角的大小的比较
典例1 如图，这是三位同学比较∠MON与∠FED大小的做法及他们的结论，判断他们做的是否正确．
思路导析 运用叠合法比较角的大小要注意两点：(1)重合：顶点重合，一条边重合；(2)同侧：即另一条边放在重合边的同一侧．
解：第一个图中，顶点O与顶点E未重合，故甲错误；第二个图中，顶点O与顶点E重合，一边也重合，但ON在∠FED的外部，应为∠MON＞∠FED，故乙错误；第三个图中，顶点重合但一边未重合，无法比较，故丙错误．
变式 [2024·长安区期中]如图，若∠AOC＞∠BOD，则下列结论正确的是 ( )
A．∠AOB＞∠COD
B．∠AOB＝∠COD
C．∠AOB＜∠COD
D．∠AOB与∠COD的大小关系不确定
考点2 角的和差的有关计算
典例2 [2024·蜀山区期末]已知一副直角三角板按如图的位置放置，其中∠COD＝60°，∠AOB＝45°，经测量∠BOC＝80°，则∠AOD的度数为 ( )
A．20° B．25°
C．35° D．45°
思路导析 先求出∠BOD的度数，再求出∠AOD的度数．
变式 [2024·桥西区期末]下面是小马同学解的一道题．
题目：在同一平面内，若∠BOA＝70°，
∠BOC＝15°，求∠AOC的度数．
解：根据题意可画出如图所示的图形，
∠AOC＝∠BOA－∠BOC＝70°－15°＝55°.
若你是老师，会给小马同学满分吗？若会，说明理由；若不会，请将小马同学的错误指出，并给出你认为正确的解法．
解：不会给小马同学满分，小马同学错在没有考虑全面，正确解法如下：
如图1，当OC在∠AOB内部时，
∠AOC＝∠BOA－∠BOC＝70°－15°＝55°；
如图2，当OC在∠AOB外部时，
∠AOC＝∠BOA＋∠BOC＝70°＋15°＝85°；
故∠AOC的度数是55°或85°.
【易错易混】应考虑两种情况：OC在∠AOB的内部，OC在∠AOB的外部，再分类讨论．
考点3 有关角平分线的计算
典例3 [2024·威海期中]如图，已知OE平分∠AOD，OF平分∠BOD.
(1)如图1，∠AOB＝90°，求∠EOF的度数；
(2)如图2，∠AOB＝∠COD＝90°，如果∠AOC＝160°，那么∠AOE是多少度？
(3)如图2，∠AOB＝∠COD＝90°，如果∠AOC＝a°，那么∠AOE是多少度？
思路导析 根据角平分线定义求出半角，再由和差关系求出．
变式 [2024·邵阳期末]如图，∠AOB是直角，∠AOC＝50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
(1)求∠MON的大小；
(2)当锐角∠AOC的大小发生改变时，
∠MON的大小会发生改变吗，为什么？
解：(1)因为∠AOB是直角，∠AOC＝50°，
所以∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋50°＝140°，因为OM是
∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，所以∠MOC＝ ∠BOC＝
70°，∠NOC＝ ∠AOC＝25°，所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝70°
－25°＝45°；
(2)当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不发生改变．
因为∠MON＝∠MOC－∠NOC＝ ∠BOC－ ∠AOC＝ (∠BOC－∠AOC)
＝ ∠AOB，又因为∠AOB是直角，不改变，所以∠MON＝ ∠AOB＝
45°.(共21张PPT)
6.2 线段、射线和直线
知识点1 线段、射线和直线的定义和表示方法
1．线段
(1)线段：直线上两个点和它们之间的部分．
(2)图形及表示：
①用表示它两个端点的大写字母表示，如图，记作“_______”
或“_______”，其中A，B表示线段的端点；
②一个小写字母表示，记作“______”．
线段AB
线段BA
线段a
2．射线
(1)射线：线段向一个方向无限延伸得到射线．
(2)图形及表示：
①用两个大写字母表示，如图，记作“_______”，其中第一个
字母为射线的端点，第二个字母为射线上除端点外的任意一点；
②射线也可以用小写字母表示，如图，记作“______”．
射线EF
射线m
3．直线
(1)直线：线段向两个方向无限延伸得到直线．
(2)图形及表示：
①用大写字母表示，如图，记作“_______”或“_______”，
其中C，D表示直线上任意两点；
②用小写字母表示，如图，记作“_____”．
直线CD
直线DC
直线l
【规律总结】线段、射线和直线的区别与联系：
【注意】
直线是无限延伸的，过两点画直线时，这两个点要“出头”．
知识点2 点和直线的位置关系
1．两种位置关系：___________，或者说直线经过点；_______
_____，或者说直线不经过点．
2．两点确定_____直线．
【方法技巧】
确定一条直线包括两方面：一是存在性——“有”；二是唯一
性——“只有一条”．
点在直线上
点在直
线外
一条
知识点3 平面上两条直线的位置关系
1．如果两条直线经过同一点，就称这两条直线_____；这时两
条直线有唯一的公共点，这个公共点叫作它们的_____．
2．平面上的两条直线，有_____与_______两种位置关系．
【拓展】
在同一平面内的两条直线有两种位置关系：相交和平行．两条直
线还可能不在同一平面内，既不相交也不平行．
相交
交点
相交
不相交
知识点4 线段的基本事实
两点之间，_____最短．
连接两点间的线段的_____，叫作这两点间的距离．
线段
长度
考点1 线段、射线和直线的区别与联系
典例1 下列语句中，正确的个数有 ( )
①画直线AB＝3 cm ②延长直线OA
③直线AB与直线BA是同一条直线，所以射线AB与射线BA也是同一条射线
④在同一个图形中，线段AB与线段BA是同一条线段
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
思路导析 依据线段、射线、直线的定义和表示方法进行判断．
变式1 [2024·涡阳县期末]如图，下列说法正确的是 ( )
A．点O在线段AB上
B．点A是直线AB的一个端点
C．图中共有3条线段
D．射线OA和射线AB是同一条射线
变式2 [2024·丽水期末]如图，已知A，B，C，D四个点．
(1)画直线AB，CD相交于点P；
(2)连接AC和BD并延长，AC和BD相交于点Q；
(3)连接AD，BC相交于点O；
(4)以点C为端点的射线有____条；
(5)以点C为一个端点的线段有____条．
解：(1)，(2)，(3)，如图所示：
(4)以点C为端点的射线有3条，分别是：射线CP，射线CD，射线CQ，故答案为：3；
(5)以点C为一个端点的线段有6条，分别是：线段CP，线段CD，线段CA，线段CQ，线段CO，线段CB，故答案为：6.
考点2 点与直线的位置关系
典例2 [2024·渝中区期末]如图，直线l与直线m相交于点O，下列说法错误的是 ( )
A．点A在直线m外
B．点P在直线l上
C．点B在线段OA的反向延长线上
D．直线m与线段AB相交于点O
思路导析 由图中位置关系判断．
变式 [2024·江岸区期末]下列几何图形与相应语言描述相符的是 ( )
A．如图1，直线a，b相交于点A
B．如图2，直线CD与线段AB没有公共点
C．如图3，延长射线AB
D．如图4，点A在直线MN上
考点3 “ 两点确定一条直线”的性质与应用
典例3 [2024·三水区期末]数学来源于生活又应用于生活，以下有生活中的4个实例：
①射击时，目标在准星与缺口确定的直线上才能击中目标
②建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙
③把弯曲的河道改直，可以缩短航程
④木匠锯木料时先在木板上画出两个点，然后利用墨斗过这两点弹出一条墨线．
其中能用“两点确定一条直线”来解释的实例有 ( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
思路导析 根据直线的性质、线段的性质逐一判断．
变式 在下列生活生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有 ( )
考点4 线段的性质的应用
典例4 如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是 ( )
A．两直线相交只有一个交点
B．两点确定一条直线
C．经过一点有无数条直线
D．两点之间，线段最短
思路导析 直接利用线段的性质进而分析得出答案．
变式1 [2023·遵义期末]下列情境中用到“两点之间，线段最短”原理的是 ( )
A．景区入口处排队时用护栏设置成“S”形
B．工人师傅砌墙时在两端拉一条绳
C．连通两山之间盘旋公路改为笔直的大桥
D．阅兵时军人向右看齐
变式2 [2024·新郑市期末]如图，A，B两个村庄在公路m(不计公路的宽度)的两侧，现要在公路m旁建一个货物中转站，使它到A，B两个村庄的距离之和最小，图中的点C(m与AB的交点)即为所建的货物中转站的位置，这样做的理由是 ( )
A．两直线相交只有一个交点
B．两点确定一条直线
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．经过一点有无数条直线(共24张PPT)
第6章 基本的几何图形
6.1 图形的认识
知识点1 几何体
1．几何体的定义：如果对于我们看到的物体，只研究它们的
_____、_____和位置关系，而不考虑颜色、质量、原料等其他
性质时，就得到各种图形，长方体、正方体、球、圆柱、圆锥
等都是几何体，又简称为体．几何体是由面围成的．
形状
大小
知识点2 几何体的面
数学上将面抽象为_____和_____．
1．平面和曲面没有厚薄，没有边界，向四面八方无限延伸．
2．几何体是由___围成的，几何体的面只是平面或曲面的一部
分，是有限的．例如，长方体是由六个平的面围成的，球是由
一个___的面围成，圆柱是由___个平的底面和一个___的侧面
围成的．
平面
曲面
面
曲
两
曲
【拓展】几何体除了按照柱体、锥体和球体分类外，还可以按
照其他标准分类：
(1)按照围成几何体的面有无曲面分类：
①有曲面：圆柱、圆锥、球等；
②无曲面：棱柱、棱锥等．
(2)按照有无顶点分类：
①有顶点：圆锥、棱柱、棱锥等；
②无顶点：圆柱、球等．
知识点3 几何图形的组成元素
1．线：一般而言，两个面的交接处是一条线，线可以是_____，
也可以是_____．
(1)在长方体中，相邻两个面的交接处是一条线段，我们把它叫
作___；
(2)圆锥的侧面与底面的交接处是___．圆是一条封闭的曲线．
直的
曲的
棱
圆
2．点：线与线的交接处是一个___．点是构成图形的基本元素．
(1)在长方体中，棱与棱的公共点叫作长方体的顶点；(2)数学上所说的点是没有大小的，线是没有粗细的，面是没有厚薄的．
点
3．几何图形：长方体、圆柱、圆锥、球、三角形、平行四边形、
梯形、圆等都是几何图形，它们是几何研究的主要对象．
(1)如果几何图形上的点___________________，那么这样的几何
图形叫作立体图形；
(2)如果几何图形上的___都在同一个平面内，那么这样的几何图
形叫作_________．
不都在同一个平面内
平面图形
点
知识点4 点、线、面、体之间的关系
流星给我们以“_________”的形象；折扇扇骨移动形成的扇面
给我们以“_________”的形象；旋转门给我们以“_________”
的形象．点、线、面、体的运动变化，能组成各种各样的几何
图形．
归纳：点动成___，线动成___，面动成___．
点动成线
线动成面
面动成体
线
面
体
考点1 认识常见几何体
典例1 [2024·文登区期中]如图．下列图形中属于棱柱的
有 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
思路导析 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
变式1 [2024·句容市期末]如图为小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为 ( )
A．棱柱
B．球
C．圆柱
D．棱锥
变式2 [2024·中牟县期中]观察图中的几何体，
回答下列问题：
(1)将图中的几何体分类，并说明理由；
(2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点
与不同点．(各写一条即可)
解：(1)按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体；
(2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面；(答案不唯一)
不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面．(答案不唯一)
考点2 几何体的面
典例2 [2024·成都期末]几何体是由曲的面或平的面围成的，下列几何体面数最少的是 ( )
思路导析 长方体是由6个平的面围成的，圆柱是由一个曲的面和两个平的面围成的，圆锥是由一个曲的面和一个平的面围成的，三棱柱是由5个平的面围成的，所以面数最少的是圆锥．
变式 有一个几何体模型，甲同学：它的侧面是曲面；乙同学：它只有一个底面，且是圆形的．则该模型对应的立体图形可能是 ( )
A．三棱柱
B．三棱锥
C．圆锥
D．圆柱
【规律总结】区分棱柱与棱锥：棱柱有两个底面，为多边形，侧面是四边形，而棱锥只有一个多边形底面，其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．例如三棱柱，上下底面为三角形，侧面为3个四边形；三棱锥，底面为三角形，侧面为有公共顶点的3个三角形；四棱锥，底面为四边形，侧面为有公共顶点的4个三角形．如图：
考点3 点、线、面、体之间的关系
典例3 如图，第一行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第二行的某个几何体．用线连一连．
解：如图所示：
变式1 [2024·凤凰县期末]下面现象说明“线动成面”的
是 ( )
A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹
B．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线
C．天空划过一道流星
D．汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹
变式2 [2024·泗洪县期末]“鸣语既过渐细微，映空摇飏如丝
飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧哗的雨
已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾如丝的细雨飘飞．诗
中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为 ( )
A．线动成面
B．点动成线
C．面动成体
D．面面相交成线
考点4 立体图形与平面图形
典例4 下面几种几何图形中，属于立体图形的是 ( )
①三角形 ②长方形 ③正方体 ④圆
⑤圆柱体
A．①②④ B．②③⑤
C．③④⑤ D．③⑤
思路导析 根据立体图形的特点结合所给几何图形进行分析判断即可．
变式1 下列各组图形都是平面图形的一组是 ( )
A．线段、圆、球
B．角、长方形、圆柱
C．长方体、棱锥
D．三角形、正方形
变式2 [2023·洪江期末]下面几种几何图形中，属于平面图形的是 ( )
①三角形 ②长方形 ③正方体 ④圆 ⑤四棱锥 ⑥圆柱
A．①②④
B．①②③
C．①②⑥
D．④⑤⑥(共19张PPT)
6.3 线段的比较与运算
知识点1 线段长短的比较
线段长短的比较方法：_______和_______．
度量法
重合法
知识点2 尺规作图—— 作线段的和与差
在数学中，只使用无刻度的直尺和圆规作图的方式称为尺规作图．
如图1，已知线段a，b(a＞b)．用圆规在射线AE上截取线段AB＝a，
再在AB的延长线上截取线段BC＝b(如图1)，线段AC就是线段a与b
的和，记作AC＝a＋b.如果在线段AB上截取线段BD＝b(如图2)，
那么线段AD就是线段a与b的差，记作AD＝a－b.
知识点3 线段的中点
1．线段的中点的概念：
如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，那么点M叫作线段AB的中点．
几何语言：
图3
如图3，因为AM＝___＝ AB 或AB＝____＝____，
所以点M是线段AB的中点．
BM
2AM
2BM
2．等分线段：
(1)把一条线段分成三条相等的线段的点叫作线段的三等分点．
如图4所示， 点M，N是线段AB的三等分点，则AM＝MN＝NB＝ AB.
图4
(2)把一条线段分成四条相等的线段的点叫作线段的四等分点．
如图5所示，点M，N，P是线段AB的四等分点，则AM＝MN＝NP
＝PB＝ AB.
图5
考点1 线段长短的比较
典例1 有不在同一直线上的两条线段AB和CD，李明很难判断
出它们的长短，因此他借助于圆规，操作如图所示，由此可
得出 ( )
A．AB＝CD B．AB＞CD
C．AB＜CD D．无法确定
思路导析 采用重合法比较两条线段的长短．
变式 [2024·通榆县期末]体育课上，小聪，小明，小智，小
慧分别在点O处进行了一次铅球试投，铅球分别落在图中的点
A，B，C，D处，则他们四人中，成绩最好的是_____．
小智
考点2 尺规作图—— 作线段的和与差
典例2 已知：如图，线段a，b.
(1)利用尺规作图：(保留作图痕迹)
①作射线AM；
②在射线AM上依次截取AC＝CD＝a；
③在线段DA上截取DB＝b.
(2)由(1)的作图可知AB＝______．(用含a，b的式子表示)
思路导析 (1)根据作一条线段等于已知线段的尺规作图，依据题目要求逐一作图即可；(2)根据AB＝AD－BD即可求得．
解：(1)如图所示：
(2)2a－b.
变式 如图，已知线段a，b，c，射线AP.
实践与操作：
在射线AP上作线段AB＝a＋b，AC＝a＋b－c.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，线段AB，线段AC即为所求线段．
考点3 线段的中点及有关计算
典例3 [2024·苏州期末]已知线段AD＝10，B是射线AD上一点，C是线段BD的中点．若BC＝3，求线段AB的长．
思路导析 分两种情况进行解答，即点B在点D的左侧或右侧，分别画出图形，由线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系进行计算即可．
解：当点B在点D的左侧时，如图1，
因为C是线段BD的中点．BC＝3，
所以BD＝2BC＝6，
所以AB＝AD－BD＝10－6＝4；
当点B在点D的右侧时，如图2，
因为C是线段BD的中点．BC＝3，
所以BD＝2BC＝6，
所以AB＝AD＋BD＝10＋6＝16.
综上所述，AB＝4或AB＝16.
【注意】
1．解答与线段有关的计算题时，一定要结合图形(没有图形的可以画个图形)，运用数形结合进行推理和计算，同时利用线段的中点与线段的和差关系进行求解；
2．若点的位置不确定时，要对所有情况进行分类讨论．
变式 [2024·贵州期末]如图，点O在线段AB上，点M，N分别是AO，BO的中点．
(1)若AM＝6 cm，BN＝3 cm，求线段AB的长度；
(2)若MN＝a cm，求线段AB的长度．
解：(1)因为点M，N分别是AO，BO的中点，
所以AO＝2AM＝2×6＝12 (cm)，
BO＝2BN＝2×3＝6 (cm)，
所以AB＝AO＋BO＝12＋6＝18 (cm)．
所以线段AB的长度为18 cm；
(2)因为点M，N分别是AO，BO的中点，
所以MO＝ AO，NO＝ BO，
因为MN＝MO＋NO＝ AO＋ BO＝ AB＝a，
所以AB＝2a cm.
所以线段AB的长度为2a cm.(共13张PPT)
第2课时 度、分、秒的换算
及其运算
知识点1 角的度量与换算
将周角等分成360份，每一份叫作1度的角，1度记作____；将1
度的角等分成60份，每一份叫作1分的角，1分记作____； 把1
分的角再等分60份，每一份叫作1秒的角，1秒记作____．角的
度量单位有___、___、___．换算关系为1°＝___′，1′＝
___″，1°＝______″.
1°
1′
1″
度
分
秒
60
60
3 600
知识点2 角的运算
在进行角的度、分、秒的运算时，运算方法如下：
(1) 进行角度的加、减运算时，同单位相加、减，即度与度相加、减，分与分相加、减，秒与秒相加、减；
(2) 做加法时，秒逢60进1分，分逢60进1度；做减法时，不够减的，从上一级借1当60，再进行减法运算；
(3) 乘法运算中，从最低位开始乘所给的因数，逢60则进1；
(4) 除法运算中，按从高到低的顺序相除，余数乘 60，再加到下一级单位中进行计算．
【注意】
(1)比较任何两个量的大小，都要统一单位．要想比较两个角的
大小，也应先统一单位．
(2)在进行角度的加减运算时，只能是单位一样的才可以相加减．
(3)同级单位相加，满60要向上一级单位进一；
(4)同级单位相减不够时，向上一级单位借一换60.
考点1 角的度量与换算
典例1 下列换算中，错误的是 ( )
A．0.25°＝900″
B．16°5′24″＝16.09°
C．47.28°＝47°16′48″
D．80.5°＝80°50′
思路导析 直接利用度分秒转换法则分别计算得出答案．
【方法技巧】
(1)将度用度分秒表示：先将度的小数部分化成分，再将分的小数部分化成秒；
(2)将度分秒用度表示：先将秒化成分，再将分化成度．
变式1 已知∠1＝76°24′，∠2＝76.24°，∠3＝76.4°，下列说法正确的是 ( )
A．∠1＝∠2
B．∠1＝∠3
C．∠1<∠2
D．∠2>∠3
变式2 [2024·官渡区期末]若∠A＝20°15′，∠B＝20.25°，
则 ( )
A．∠A＝∠B
B．∠A＞∠B
C．∠A＜∠B
D．两个角的大小无法比较
考点2 角的加减运算
典例2 [2024·河西区期末]下列计算结果错误的是 ( )
A．18°＋38°＝56°
B．90°－38°50′＝61°10′
C．21°17′×5＝106°25′
D．360°÷5＝72°
思路导析 根据度分秒的换算计算即可．
变式1 下列度分秒运算中，正确的是 ( )
A．48°39′＋67°31′＝115°10′
B．90°－70°39′＝20°21′
C．21°17′×5＝185°5′
D．180°÷7＝25°43′(精确到分)
变式2 计算：
(1)153°29′42″＋26°40′32″；
(2)42°15′÷5；
(3)62°24′17″×4；
(4)180°－(34°54′＋21°33′)；
(5)132°25′－55°43′20″；
(6)64°15′÷5；
(7)12°25′×3.
解：(1)153°29′42″＋26°40′32″
＝179°69′74″
＝180°10′14″；
(2)42°15′÷5
＝(42×60′＋15′)÷5
＝2 535′÷5
＝507′
＝8°27′；
(3)62°24′17″×4＝248°96′68″
＝249°37′8″；
(4)180°－(34°54′＋21°33′)
＝180°－56°27′
＝123°33′；
(5)132°25′－55°43′20″＝76°41′40″；
(6)64°15′÷5＝12°51′；
(7)12°25′×3＝37°15′.(共11张PPT)
6.6 余角和补角
知识点1 互为余角、互为补角的概念
一般而言，如果两个角的和等于90°，就说这两个角_________，
简称_____，其中一个角叫作另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和等于180°，就说这两个角_________，
简称_____，其中一个角叫作另一个角的补角．
互为余角
互余
互为补角
互补
【注意】
互为余角和互为补角都是成对出现的，单独的一个角不能说余
角或补角．余角或补角的定义是以两个角的数量关系来定义的，
和角的位置无关．
知识点2 余角、补角的性质
同角或等角的余角_____；同角或等角的补角_____．
相等
相等
考点1 余角、补角
典例1 (1)[2024·礼泉县期中]已知∠α与∠β互补，∠α与
∠γ互余，若∠γ＝30°，则∠β的度数为 ( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
(2)[2024·浦东新区期末]已知∠α＝37°45′，则∠α的补
角等于__________．
142°15′
思路导析 根据余角和补角的概念结合数量关系进行求解．
变式 [2024·南昌县期末]一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数．
解：设这个角为x°，则其余角为(90－x)°，补角为(180－x)°，依题意有
180－x＝2(90－x)＋40，解得x＝40.
答：这个角的度数是40度．
考点2 余角和补角性质的应用
典例2 [2024·凤翔区期末]如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠DOE＝90°，则图中相等的角的对数是 ( )
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
变式 [2023·金昌期末]如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，∠DOF＝90°.
(1)写出图中所有与∠AOD互补的角；
(2)若∠AOE＝120°，求∠AOC的度数．
解：(1)因为直线AB，CD相交于点O，
所以∠AOC和∠BOD与∠AOD互补，
因为OF平分∠AOE，所以∠AOF＝∠EOF，
因为∠DOF＝90°，
所以∠COF＝∠DOF＝90°，
所以∠DOE＝∠AOC，
所以∠DOE也是∠AOD的补角，
所以与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE；
(2)因为OF平分∠AOE，
所以∠AOF＝ ∠AOE＝60°，
因为∠COF＝90°，
所以∠AOC＝∠COF－∠AOF＝90°－60°＝30°.
【易错易混】互余和互补讨论的是角的数量关系，与两个角的位置无关，只要满足相应的数量条件即可．(共14张PPT)
6.4 角
第1课时 角的表示
知识点1 角的定义
1．静态定义：有_________的两条_____组成的几何图形叫作角．
这个_________叫作角的顶点，这两条射线叫作角的___．
公共端点
射线
公共端点
边
2．动态定义：角还可以看作由一条射线绕着它的
_____从起始位置旋转到终止位置所形成的图形．
如图，射线的端点O叫作角的顶点，起始位置的射
线OA叫作角的始边，终止位置的射线OB叫作角的终边．
平角：当终边和始边___________时，形成平角．
周角：当终边和始边_____时，形成周角．
端点
成一条直线
重合
【注意】
1．角的两边是两条射线，这两条射线有一个公共点．
2．角的大小与两条边的开合程度有关，与边的长度无关．
3．平角的两边形成一条直线，但不能说平角就是一条直线；
周角的两边重合形成一条射线，但不能说周角就是射线．
知识点2 角的表示
角的表示方法：
(1)符号：角的符号为___；
(2) 三种表示方法：①用三个大写的英文字母，如图1所示可记
作______或______，表示顶点的字母写在_____；②用一个大写
英文字母表示，在图1中的∠BOA可记作____；③用弧线加一个
数字表示角，如图2所示可记作____；④用弧线加一个小写希腊
字母表示，如图3所示可记作_____．
∠
∠AOB
∠BOA
中间
∠O
∠1
∠α
【注意】
当以某一点为顶点的角为两个或两个以上的角时，其中任何一
个角都不能只用表示这个顶点的字母表示．
考点1 角的定义
典例1 下列语句正确的是 ( )
A．两条直线相交，组成的图形叫作角
B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫作角
C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所成的图形
D．角的两边越长，这个角就越大
思路导析 根据角的静态定义和动态定义得出结论．
变式 下列说法中正确的是 ( )
A．由两条射线组成的图形叫作角
B．角的大小与角的两边长度有关
C．角的两边是两条射线
D．用放大镜看一个角，角的度数变大了
考点2 角的表示
典例2 如图所示，能用∠1，∠ABC，∠B三种方法表示同一个角的是 ( )
思路导析 根据角的三种表示方法进行判断，①用三个大写的英文字母表示；②用一个大写英文字母表示；③用一个数字或一个小写希腊字母表示．
变式 如图所示，下列说法错误的是 ( )
A．∠DAO可用∠DAC表示
B．∠COB也可用∠O表示
C．∠2也可用∠OBC表示
D．∠CDB也可用∠1表示
【易错易混】当用三个大写字母表示角时，表示顶点的字母必须写在中间，角的一般表示方法是用三个大写字母表示，当以这个字母表示的点为顶点的角只有一个时，才可以只用一个大写字母表示．
考点3 平角与周角
典例3 下列语句正确的是 ( )
A．平角就是直线
B．周角就是射线
C．小于平角的角是钝角
D．一个周角等于四个直角
思路导析 根据平角与周角的定义进行判断．
变式 如图，∠AOB是平角，图中小于平角的角共有__个．
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