重庆市广益中学校2024-2025学年九年级下学期入学测试数学试卷(含答案)

重庆市广益中学校2024-2025学年九年级下学数学入学测试题
一、单选题
1．2的相反数是（ ）
A．2 B．－2 C． D．
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，直线，线段，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．估算的值在（ ）
A．15和16之间 B．16和17之间
C．17和18之间 D．18和19之间
8．下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小圆，图形②中共有6个小圆，图形③中共有12个小圆，图形④中共有20个小圆，．．．．．．按此规律，图形⑥中小圆的个数是（ ）
A．40 B．42 C．44 D．46
9．如图，四边形是正方形，点是边上一点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．有一组正整数，，，，……，，，满足，令，例如：，，则下列说法：（ ）
①，是方程的一组解
②连续四个正整数一定是方程的一组解
③若，则方程共有20组解
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．计算： ．
12．如图，已知、为正六边形的两条对角线，则的度数是 ．
13．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是 ．
14．如图，在四边形中，，，点E在上，连接，，．若，则的长度为 ．
15．若是关于x的方程的解，则的值为
16．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ．
17．如图，以为直径的与相切于点，连接，以为边作菱形，点在边上，连接，，与交于点，与交于点．若，．则 ， ．
18．若一个三位正整数P可以分解成的形式(其中均为正整数且，则称P 为“平方差分解数”．在的所有分解中，当取得最小值时，称为的最优分解，此时规定：．计算 ；若三位数为“平方差分解数”，其中，，均为整数，，，，且的个位数字与十位数字相同，将的各个数位上的数字之和记为，记，若为的整数倍，为满足条件的所有三位整数中的最小值，则
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．在学行四边形的相关知识后，小艾进行了更深入的研究，他发现：对于一个邻边不相等的平行四边形，作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交，则这两个交点和平行四边形的另两个顶点构成的四边形是平行四边形．他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，四边形是平行四边形，的平分线与交于点．用尺规作图：过点作的垂线，交于点，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是平行四边形
，
∴① ，
∵平分，
∴，
∴，
∴② ，
∵，
∴，
在和中，，
∴（），
∴③ ，
∴
∴，即，
∵④____________，
∴四边形是平行四边形．
进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是⑤ ．
21．2023年以来，大渡口区把垃圾分类纳入积分，建立文明账户，以积分转习惯．区政府为了解3月份甲、乙两个社区垃圾分类换积分的情况，从甲、乙两个社区各抽取10人（单位：分），并进行整理和分析（积分用x表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
甲社区10人的积分： 94，56，71，83，68，85，90， 83，91，47，
乙社区10人的积分在C组中的分数为： 84，83，81，84，
两组数据的平均数、中位数、众数如表所示
社区 平均数 中位数 众数
甲 76.8 83 b
乙 76.8 a 84

根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为 社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好．请说明理由（一条理由即可）；
(3)若3月份甲社区有620人参与活动，乙社区有480人参与活动，请估计该月甲、乙两个社区积分在C组的一共有多少人？
22．列方程（组）或不等式（组）解决问题．
2025年五一期间，重庆荣昌成为了全国热门旅游城市，荣昌卤鹅也渐渐成为了游客们的美食首选，卤鹅可分为酱香和麻辣两种口味．某卤鹅专卖店第一次购进了酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅共40只，酱香味卤鹅每只进价18元，麻辣味卤鹅每只进价21元，酱香味卤鹅每只售价23元，麻辣味卤鹅每只售价25元．
(1)若该店第一次购进两种卤鹅共花了774元，则购进酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅各多少只？
(2)第一批卤鹅销售完毕，该店又购进了第二批，第二批两种卤鹅每只的进价不变，购进的两种卤鹅数量相同．每只酱香味卤鹅的售价在第一次的基础上涨了元，每只麻辣味卤鹅的售价在第一次的基础上降低了m元，当第二批进货全部买完后，统计出第二批酱香味卤鹅获得160元的利润，第二批麻辣味卤鹅获得40元的利润，求m的值．
23．如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)当的面积为时，请直接写出的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）．
24．某中学组织学生到重庆植物园进行植树，一志愿者团队在点集合，计划前往位于其正北方向的点植树，但由于段损毁严重，道路不能通行，于是该志愿者团队根据现场情况拟定了两种方案：
方案一：从点沿着路线步行前进，其中点在点的正东方向，点在点的西北方向，志愿者在段步行过程中清除路障需花10分钟；
方案二：从点沿着路线步行前进，其中点在的延长线上，点在点的北偏西方向，点为和的交点，全程道路畅通，已知，米，志愿者步行速度为80米/分钟．
(1)求的长；（结果保留整数）
(2)哪种方案到达点所花时间更短？请说明理由．（参考数据：）
25．在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是直线上方该抛物线上的一动点，连接，，点是直线上一动点，当最大时，求的最小值；
(3)在（2）问取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过线段的中点．若点为新抛物线上的一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
26．如图，在中，．
(1)如图1，D为边的中点，连接，过C点作于点，交于点，连接，若，求的面积：
(2)如图2，，D、E分别为边上的点，且，连接交于点G，若F为的中点，连接，猜想线段和之间存在的数量关系，并证明你的猜想：
(3)如图3，D为平面内一点，若，连接，以为边向上构造等边，连接并延长至点P使，当最短时，请直接写出的值．
参考答案
1．B
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2．D
解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
3．D
解：与是以点O为位似中心的位似图形，
，．
．
．
与的面积比为，
与的相似比为，即．
．
故选：D
4．A
解：依题意，
解得：
故选：A．
5．D
解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
6．B
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
7．A
解：，
，
故选：A．
8．B
解：图形①中小圆的个数为，
图形②中小圆的个数为，
图形③中小圆的个数为，
图形④中小圆的个数为，
∴图形⑤中小圆的个数为，
∴图形⑥中小圆的个数是．
故选：B．
9．A
解：过点作交于点．
四边形是正方形，
，，
，
又，即，
，
．
，，
，
，
，
又，，，
．
在和中，
，
．
，．
，，
根据勾股定理．
．
在中，，
．
故选∶A．
10．D
解：∵，
，
，
，
∴，
①，，则，
∴，，是方程的一组解，故①正确；
②∵，且为正整数，
∴，
∴，
∴和为连续的整数，
∴连续四个正整数一定是方程的一组解，故②正确；
③由②知和为连续的整数时，一定是方程的一组解，
∴和和为连续的整数时，一定是方程，
∵，，
∴，
∴，，，，，
当时，则或或或，
当，时，则或或或，
当，时，则或或，
当，时，则或，
当，时，则，共10组解；
当，时，则或或，
当，时，则或，
当，时，则，共6组解；
当，时，则或，
当，时，则，共3组解；
当，时，则，共1组解；
∴若，则方程共有组解，故③正确；
故选：D．
11．
解：，
，
，
故答案为：．
12．/30度
解：∵正六边形，
∴，
∴，
由对称性可得，是正六边形的对称轴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
解：∵一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，一共有6种等可能性，4个白色棋子，有4种等可能性，
∴摸到白色棋子的概率是，
故答案为：．
14．2
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
，
，
故答案为：2．
15．
解：把代入方程得，，
∴，
∴
故答案为：．
16．
解：关于x的不等式组整理得到：
，
∵不等式组的解集为，
∴；
分式方程两边都乘以得：，即．
∵y有非负解且，
∴且，解得：且．
∴且，
∴整数m为：它们的和为．
故答案为：．
17． /
解：如图，连接，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵以为直径的与相切于点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，
∴
即，
解得，
∴，
故答案为：，．
18．
解：∵120 是平方差分解数，即 对于正整数 ．
根据平方差公式，．
设 ，，则 ，且 ， 和 同奇偶（因为 ， 需为整数）
120 的因子对及同奇偶检查：
经检验，有效数对为 、、、．
最小 为 2（对应 )．
此时，，．
验证：．
最优分解为 ，．
则：
∵ 是三位数，其中 ，，（ 隐含为整数且 ，因 为三位数）．
∵个位数字与十位数字相同．设十位和个位数字均为 ，则 ．由 ，得：
即 被 11 整除．
设 （ 为整数，)，则：，为整数，
又∵，余数为 5
所以 ．为整数，
的可能 值为：17， 28， 39， 50， 61， 72， 83， 94．
经检验，∶ ，，．
∶ ，，．
∶ ，，．
数字和 ．
∵， 为 5 的整数倍．
恒成立．
为整数，故 整除 10，且 （因 )．
10 的因子 ∶ 5， 10．
所以 或 ，即 或 ．
若 ，∶
需为 5 的倍数：
（)∶ （不满足）．
（)∶ （满足）．
（)∶ （不满足）．
所以 ，，．
若 ，∶
需为 5 的倍数：
（)∶ （不满足）．
（)∶ （不满足）．
（)∶ （满足）．
所以 ，，．
可能 值：388 和 899．
需为平方差分解数：
∶ 分解为 ．
经检验有效数对为：．
，．
验证：，最小 ．是平方差分解数．
∶ 分解为 ．
因子对：（同奇），（同奇）．
最小 （对应 )：
，．
验证：．是平方差分解数．
满足条件的 中最小值为 388（因 )．
最优分解为 ，．
则：
∴
故答案为：，．
19．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1)作图见解析
(2)见解析
（1）解：作图如下：
（2）解：证明：∵四边形是平行四边形
，
∴①，
∵平分，
∴，
∴，
∴②，
∵，
∴，
在和中，，
∴（），
∴③，
∴，
∴，即，
∵④，
∴四边形是平行四边形．
猜想的结论：对于一个邻边不相等的矩形，作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与矩形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与矩形的另一边相交，则这两个交点和矩形的另两个顶点构成的四边形是矩形．
如图，
同理可得：四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形．
21．(1)， 83，30
(2)乙，理由见解析
(3)378
（1）解：∵乙社区A组有人，B组有人，D组有人，
∴乙社区10人的积分中位数是第5个和第6个积分的平均数，即，
∴
即,
甲社区10人的积分中83出现次数最多，共出现2次，故，
故答案为：，，30；
（2）甲乙两个社区积分的平均数相同，但是乙社区的众数和中位数均比甲社区的众数和中位数高；
故答案为：乙；
（3）甲社区积分在C组的人数所占的比例为：，
乙社区积分在C组的人数所占的比例为：，
人；
答：估计该月甲、乙两个社区积分在C组的一共有人．
22．(1)购进酱香味卤鹅只，麻辣味卤鹅只
(2)的值为
（1）解：设购进酱香味卤鹅只，麻辣味卤鹅只，
由题意可得：，
解得：，
∴购进酱香味卤鹅只，麻辣味卤鹅只；
（2）解：设第二批每种卤鹅购进只，
由题意可得：，
解得：，
故的值为．
23．(1)
(2)作图见解析，该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一）
(3)或
（1）解：在中，，，，
．
如图1所示，过点C作于点D，
∵
∴
∴当两者相遇时，
∴；
分两种情况：
①当时，点E在上，点F在上时，如图2，
由题意得，，
∴；
②当时，点E和点F都在上时，过点C作于D，如图3，
由题意得，，
∴
∴
综上所述，y关于x的函数解析式为；
（2）由（1）中得到的函数解析式可知，
当时，；
当时，；
如图，分别描出对应点然后顺次连线．
该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一）．
（3）当时，代入函数，得，
解得（负值舍去）；
当时，代入函数，得，
解得．
综上所述，当的面积为时，或．
24．(1)
(2)方案一到达点所花时间更短
（1）解：如图，
由题意可得，，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
中，，，
∴，，
∴，
∴，，
∵中， ，
∴，
解得，
∴；
（2）解：方案一到达点所花时间更短，理由如下：
由（1）可得，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴方案一：从点沿着路线步行前进，用时（分钟）；
方案二：从点沿着路线步行前进，用时（分钟）；
∴方案一到达点所花时间更短．
25．(1)
(2)最小值为：
(3)或．
（1）解：∵抛物线与直线交于点，，与轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）解：∵，，
∴设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
∵，
当时，，
∴，
如图，过作，
设直线为，
当直线与抛物线有1个交点时，的面积最大，
∴方程，即有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
∴直线为，，
解得：，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
作关于的对称点，连接，则三点共线，且，，
∴，即，
当三点共线时，
，此时最小，
最小值为：．
（3）解：如图，延长与轴的交点为，，，
同理可得：直线为，
∴，，
∵为的中点，
∴，，，
∴在直线上，抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位，
连接，
∴，，平移后的抛物线为：，
∴，
作交新抛物线于，交轴于，则，即满足，
∵，
∴，设，
∴，
∴，解得：，
∴，
此时在抛物线上，即，
作关于直线的对称点，连接交于，连接交新抛物线于，
∴，，此时满足条件，
设，
∴，
∴，而，
∴，，
∴，
∵，
∴，
同理可得：为，
∴，
解得：或，
∴；
综上：或．
26．(1)
(2)，证明见解析
(3)
（1）解：∵，为边的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，在上截取，把绕点顺时针旋转得，延长交于连接，
∵，，
∴是等边三角形，，，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵把绕点顺时针旋转得，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴．
（3）如图，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接、，设中点为，连接，
∴是等边三角形，
∴，，
∵以为边向上构造等边，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∵是等边三角形，为中点，
∴，，
∴，
当点在线段时，有最小值，最小值为，
∵，为中点，
∴，，
∴，
∴的最小值为，，
∴，
∴．