江苏省常州市2025年中考数学试卷
1．（2025·常州）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．
【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示；求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：∵点P表示的数为2，
∴ 点P表示的数的相反数是-2，
故答案为：A.
【分析】先根据点在数轴上的位置得到表示的数，然后根据相反数的定义解答即可.
2．（2025·常州）若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式有意义，
则，
解得，
故答案为：A.
【分析】根据分式的分母不为0即可求解．
3．（2025·常州）下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：三棱柱的侧面展开图是三个矩形，
故答案为：D.
【分析】根据三棱柱，想像出侧面展开图，再作出选择．
4．（2025·常州）如图，的半径为2，直径AB，CD互相垂直，则弧的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵直径、互相垂直，
∴，
∴的长是，
故答案为：C.
【分析】根据直径、互相垂直，得出，代入弧长公式计算即可．
5．（2025·常州）如图，在Rt△ABC中，，，，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出，再在中根据正弦的定义即可求解．
6．（2025·常州）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=5.若∠ABD=30°，则AC的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是菱形，
∴， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质可得， ，利用含角的直角三角形的性质求得的长，从而得到结果．
7．（2025·常州）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则AB与CD平行这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】B
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：由题意得，
根据内错角相等，两直线平行可得．
故答案为：B.
【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．
8．（2025·常州）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达.现两人各自从自己家同时出发，小丽仍以是v2米/分钟的速度前往图书馆，小华先以v1米/分钟的速度
追赶小丽，与小丽相遇后，再以v2米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：
由题意得小丽家到图书馆的距离为（米），
∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，
∴，
∴，
∴现在小华开始的速度为（米/分钟），
设小华分钟后与小丽相遇，
由题意得，
得，
则相遇时小华到图书馆的距离为（米），
剩余路程为（米），
再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，
则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间，
可知只有选项A符合题意，
故答案为：A.
【分析】由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟），设小华分钟后与小丽相遇后，根据题意列方程得到得，进而求出相遇时小华到图书馆的距离.
9．（2025·常州）4的算术平方根是 ．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
10．（2025·常州）计算： ＝ ．
【答案】a6
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=a6.
故答案为：a6.
【分析】根据幂的乘方公式计算即可得出答案.
11．（2025·常州）分解因式：x2－9y2= .
【答案】（x+3y）（x-3y）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=（x+3y）（x-3y）.
故答案为：（x+3y）（x-3y）
【分析】利用平方差公式直接分解因式即可.
12．（2025·常州）太阳的半径约为700000千米，数据700000用科学记数法表示为 .
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据700000用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可．
13．（2025·常州）若则x-y 0.（填＞、<或=）。
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据不等式的基本性质解答即可
14．（2025·常州）若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m= .
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：1．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
15．（2025·常州）如图AB∥CD，AC⊥AD，∠ACD=50°，则∠α= .
【答案】
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质得到得出，结合，再利用平角的性质解答即可．
16．（2025·常州）如图，在□ABCD中，E是AD上一点，DE=2AE，CE、BA的延长线相交于点F若AB=2，则AF= .
【答案】1
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】利用平行四边形的性质得，，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可．
17．（2025·常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦若∠DCB=45°，AD=1，则AB= .
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
，
∵与对应同一段弧，
，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，根军圆周角定理得到，得到，利用勾股定理求解即可．
18．（2025·常州）如图，在△ABC中，tanC=，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F若CF=5，EF=2，则AC= .
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作于点，
∴，
设，则，
∴，
得，
则，，
由翻折得，
设，
则，，
在中，，
即，
解得：，
即，
故答案为：．
【分析】过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，表示AG和AF，在中，利用勾股定理求解即可．
19．（2025·常州）先化简，再求值：x（x+2）+（x-1）2，其中x=
【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式展开，然后合并同类项化简，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案．
20．（2025·常州） 解不等式组并把解集在数轴上表示出来，
【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
在数轴上表示如图：
∴不等式组的解集为
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可．
21．（2025·常州）甲、乙两人在相同条件下10次射击的成绩如下：
人员 环数
甲 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7
乙 5 7 5 10 5 8 9 9 8 7
对以上数据进行分析，绘制成下表：
人员 平均数 中位数 众数 方差：
甲 7 m 1
乙 7 n 5 2.8
（1）填空：= ，m= ，n= .
（2）根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理由。
【答案】（1）7；6；7
（2）解：甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定，理由如下：
∵甲的方差1小于乙的方差，
∴甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】（1）解：，
在甲射击成绩：中，出现次数最多的是，
故甲射击成绩的众数是，即，
乙的射击成绩按从小到大排列为：，
位于中间的两个数是，
故乙射击成绩的中位数是，
故答案为：7；6；7 ；
【分析】（1）利用平均数的定义求，根据众数的定义求，根据中位数的定义求；
（2）利用方差越小越稳定解答即可，
22．（2025·常州）在5张相同的小纸条上，分别写有：①-1；②0；③1；④正数；⑤负数将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀.
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 .
（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签.求抽到的数与文字描述相符合的概率.
【答案】（1）
（2）解：画树状图，如图：
共6种情况，其中抽到的数与文字描述相符合的有2种，
∴抽到的数与文字描述相符合的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵①；②0；③1；①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，
∴从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）利用概率公式求解；
（2）利用画树状图或列表法得到所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，利用概率公式计算解题．
23．（2025·常州）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍，问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？
【答案】解：设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨，
根据题意，得
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：浇水方式改进后平均每天用水1吨
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，根据“20吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可．
24．（2025·常州）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，BD=CE
（1）求证：△ABD≌△ACE
（2）用直尺和圆规作∠DAE的平分线AF（保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴
（2）解：如图，即为所求作．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先根据等边对等角得出，再利用证明即可；
（2）根据角平分线的作图方法作图即可．
25．（2025·常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点A（1，n）、B（-3，-2），且与y轴交于点C
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA，求的面积.
【答案】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，
∴将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
将代入，
得：，
∴，
将，代入，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为
（2）解：当时，，
∴，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先将B点坐标代入求出反比例函数解析式，再求出，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可．
26．（2025·常州）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=2，AD=1.
（1）若△ABD是等腰三角形，则BD=
（2）已知OB=OD，AC=BD.
①若OA=OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在△ACD中，CD2=AD2+AC2，求AC的长.
【答案】（1）
（2）解：①四边形是矩形，理由如下：
∵，，
∴四边形平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
②过点作于点，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴在中，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵是等腰三角形，，，
∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意；
当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上，，
故答案为：；
【分析】（1）分别讨论：和时，根据三角形的三边关系判断是否成立即可；
（2）①根据对角线荷香平分得出四边形是平行四边形，再利用，即可判定四边形是矩形；
②过点作于点，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再证明，得出，，根据勾股定理求出，再利用勾股定理求出OD长，进而解答即可
27．（2025·常州）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像分别与x轴y抽交于点A、B，点C是线段AB上一点C与B不重合）.二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C.将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B'、C分别是B、C的对应点，且点B'落在x轴正半轴上，点C'的纵坐标为-2.
（1）OB= ；
（2）求点C的坐标；
（3）已知新抛物线与y抽交于点G（0，）点D（3，y1）、E（x2，y2）在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）3
（2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上，
∴点向下平移个单位，
∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，
∵点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为；
∵点在线段上，即点在直线上，
∴当时，，
∴
（3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．
∴，把代入，得：，
∴，
∴，
∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上，
∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，
∴新的抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∴，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为，
∵对于满足的任意实数，总成立，
∴或，
∴或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴当时，，
∴，
∴；
故答案为：3；
【分析】（1）令时，求出的函数值，得到点坐标解答即可；
（2）根据点落在x轴正半轴上，得到点的平移规律，与的纵坐标相同，进而求出的纵坐标，代入函数解析式，求出点坐标即可；
（3）待定系数法求出二次函数的解析式，设平移后新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把点坐标代入，求出解析式，再根据二次函数的图象和性质解答即可．
28．（2025·常州）在平面xOy中以下种不同所得线段的关系。
方式一：向右平移1个单位长度，后绕原点O按逆时针方向旋转90°，
方式二：先原点0按逆时针方向旋转90°，然后向右平移1个单位长度。
如图1小明将线段AB按方式一方式二运动：分别得到线段A1，B1、A2，B2发现它们除长度相等外还有其他关系.
（1）【实践体验】
如图2，小明已画出线段CD按方式一运动得到的线段.请你利用网格，在图2中画出线段CD按方式二运动得到的线段；
（2）【探索发现】
在平面直角坐标系xOy中，将线段a按方式一、方式二运动，分别得到线段、，则线段、所在直线可能 （写出所有可能的序号）；①相交；②平行；③是同一条直线
（3）【综合应用】
如图3，已知点G(2，3)，H(x，y)是第一象限内两个不重合的点，将线段GH按方式一、方式二运动，分别得到线段、(、是G的对应点。、是H的对应点).
①若点与点重合，求点H的坐标；
②若线段与线段有公共点，直接写出y与x之间的函数表达式，并写出实数x的取值范围.
【答案】（1）解：如图所示，线段即为所求作的线段；
（2）②③
（3）按方式一运动：向右平移1个单位长度，再绕原点O按逆时针方向旋转90°，坐标为；
按方式一运动：向右平移1个单位长度，再绕原点O按逆时针方向旋转90°，坐标为．
按方式二运动：先原点O按逆时针方向旋转，再向右平移1个单位，坐标为；
按方式二运动：先原点O按逆时针方向旋转，再向右平移1个单位，坐标为．
①点与点重合，
，解得，即．
②由（2）可知，若线段与线段有公共点，则点在一条直线上，
设直线的解析式为：，则，解得，
直线的解析式为：，
将点坐标为代入得，．整理得，，
，
讨论有交点情况：
．当点在线段上时，两线段有交点，
，即，
当点在线段上（不与端点重合）时，两线段无交点，
，即，
当点在线段上时，两线段有交点，
，即，
由于点在第一象限，，
．
综上所述，若线段与线段有公共点，，或
【知识点】用坐标表示平移；利用轴对称、旋转、平移设计图案；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（2）设线段的端点为和，
按方式一变换得到线段对应端点分别为，，
按方式二变换得到线段对应端点分别为：，
设直线的解析式为：，代入得，
，消去后，整理得，，
设直线的解析式为：，代入得，
消去后，整理得，，
，即和所在直线可能平行或是同一直线．
故选：②③；
【分析】（1）根据旋转和平移的性质作图即可；
（2）先求出按方式一和方式二变换后的端点坐标，然后利用待定系数法求出一次项系数，通过一次项系数来判断直线的位置关系；
（3）①先根据平行性质转化为共线问题，再通过已知直线方程得到函数解析式；
②通过线段端点位置关系分析范围，根据不等式确定临界点，结合图形，即可求解．
1 / 1江苏省常州市2025年中考数学试卷
1．（2025·常州）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．
2．（2025·常州）若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·常州）下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·常州）如图，的半径为2，直径AB，CD互相垂直，则弧的长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·常州）如图，在Rt△ABC中，，，，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·常州）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=5.若∠ABD=30°，则AC的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
7．（2025·常州）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则AB与CD平行这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
8．（2025·常州）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达.现两人各自从自己家同时出发，小丽仍以是v2米/分钟的速度前往图书馆，小华先以v1米/分钟的速度
追赶小丽，与小丽相遇后，再以v2米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·常州）4的算术平方根是 ．
10．（2025·常州）计算： ＝ ．
11．（2025·常州）分解因式：x2－9y2= .
12．（2025·常州）太阳的半径约为700000千米，数据700000用科学记数法表示为 .
13．（2025·常州）若则x-y 0.（填＞、<或=）。
14．（2025·常州）若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m= .
15．（2025·常州）如图AB∥CD，AC⊥AD，∠ACD=50°，则∠α= .
16．（2025·常州）如图，在□ABCD中，E是AD上一点，DE=2AE，CE、BA的延长线相交于点F若AB=2，则AF= .
17．（2025·常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦若∠DCB=45°，AD=1，则AB= .
18．（2025·常州）如图，在△ABC中，tanC=，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F若CF=5，EF=2，则AC= .
19．（2025·常州）先化简，再求值：x（x+2）+（x-1）2，其中x=
20．（2025·常州） 解不等式组并把解集在数轴上表示出来，
21．（2025·常州）甲、乙两人在相同条件下10次射击的成绩如下：
人员 环数
甲 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7
乙 5 7 5 10 5 8 9 9 8 7
对以上数据进行分析，绘制成下表：
人员 平均数 中位数 众数 方差：
甲 7 m 1
乙 7 n 5 2.8
（1）填空：= ，m= ，n= .
（2）根据以上数据，评价甲、乙两人射击成绩的稳定性，并说明理由。
22．（2025·常州）在5张相同的小纸条上，分别写有：①-1；②0；③1；④正数；⑤负数将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀.
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 .
（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签.求抽到的数与文字描述相符合的概率.
23．（2025·常州）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍，问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？
24．（2025·常州）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，BD=CE
（1）求证：△ABD≌△ACE
（2）用直尺和圆规作∠DAE的平分线AF（保留作图痕迹，不要求写作法）
25．（2025·常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点A（1，n）、B（-3，-2），且与y轴交于点C
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA，求的面积.
26．（2025·常州）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=2，AD=1.
（1）若△ABD是等腰三角形，则BD=
（2）已知OB=OD，AC=BD.
①若OA=OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在△ACD中，CD2=AD2+AC2，求AC的长.
27．（2025·常州）如图：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像分别与x轴y抽交于点A、B，点C是线段AB上一点C与B不重合）.二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C.将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B'、C分别是B、C的对应点，且点B'落在x轴正半轴上，点C'的纵坐标为-2.
（1）OB= ；
（2）求点C的坐标；
（3）已知新抛物线与y抽交于点G（0，）点D（3，y1）、E（x2，y2）在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围.
28．（2025·常州）在平面xOy中以下种不同所得线段的关系。
方式一：向右平移1个单位长度，后绕原点O按逆时针方向旋转90°，
方式二：先原点0按逆时针方向旋转90°，然后向右平移1个单位长度。
如图1小明将线段AB按方式一方式二运动：分别得到线段A1，B1、A2，B2发现它们除长度相等外还有其他关系.
（1）【实践体验】
如图2，小明已画出线段CD按方式一运动得到的线段.请你利用网格，在图2中画出线段CD按方式二运动得到的线段；
（2）【探索发现】
在平面直角坐标系xOy中，将线段a按方式一、方式二运动，分别得到线段、，则线段、所在直线可能 （写出所有可能的序号）；①相交；②平行；③是同一条直线
（3）【综合应用】
如图3，已知点G(2，3)，H(x，y)是第一象限内两个不重合的点，将线段GH按方式一、方式二运动，分别得到线段、(、是G的对应点。、是H的对应点).
①若点与点重合，求点H的坐标；
②若线段与线段有公共点，直接写出y与x之间的函数表达式，并写出实数x的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示；求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：∵点P表示的数为2，
∴ 点P表示的数的相反数是-2，
故答案为：A.
【分析】先根据点在数轴上的位置得到表示的数，然后根据相反数的定义解答即可.
2．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式有意义，
则，
解得，
故答案为：A.
【分析】根据分式的分母不为0即可求解．
3．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：三棱柱的侧面展开图是三个矩形，
故答案为：D.
【分析】根据三棱柱，想像出侧面展开图，再作出选择．
4．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵直径、互相垂直，
∴，
∴的长是，
故答案为：C.
【分析】根据直径、互相垂直，得出，代入弧长公式计算即可．
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出，再在中根据正弦的定义即可求解．
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是菱形，
∴， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质可得， ，利用含角的直角三角形的性质求得的长，从而得到结果．
7．【答案】B
【知识点】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：由题意得，
根据内错角相等，两直线平行可得．
故答案为：B.
【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．
8．【答案】A
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：
由题意得小丽家到图书馆的距离为（米），
∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，
∴，
∴，
∴现在小华开始的速度为（米/分钟），
设小华分钟后与小丽相遇，
由题意得，
得，
则相遇时小华到图书馆的距离为（米），
剩余路程为（米），
再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，
则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间，
可知只有选项A符合题意，
故答案为：A.
【分析】由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟），设小华分钟后与小丽相遇后，根据题意列方程得到得，进而求出相遇时小华到图书馆的距离.
9．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
10．【答案】a6
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=a6.
故答案为：a6.
【分析】根据幂的乘方公式计算即可得出答案.
11．【答案】（x+3y）（x-3y）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=（x+3y）（x-3y）.
故答案为：（x+3y）（x-3y）
【分析】利用平方差公式直接分解因式即可.
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据700000用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可．
13．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据不等式的基本性质解答即可
14．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：1．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
15．【答案】
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质得到得出，结合，再利用平角的性质解答即可．
16．【答案】1
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】利用平行四边形的性质得，，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可．
17．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
，
∵与对应同一段弧，
，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，根军圆周角定理得到，得到，利用勾股定理求解即可．
18．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作于点，
∴，
设，则，
∴，
得，
则，，
由翻折得，
设，
则，，
在中，，
即，
解得：，
即，
故答案为：．
【分析】过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，表示AG和AF，在中，利用勾股定理求解即可．
19．【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式展开，然后合并同类项化简，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案．
20．【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
在数轴上表示如图：
∴不等式组的解集为
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可．
21．【答案】（1）7；6；7
（2）解：甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定，理由如下：
∵甲的方差1小于乙的方差，
∴甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】（1）解：，
在甲射击成绩：中，出现次数最多的是，
故甲射击成绩的众数是，即，
乙的射击成绩按从小到大排列为：，
位于中间的两个数是，
故乙射击成绩的中位数是，
故答案为：7；6；7 ；
【分析】（1）利用平均数的定义求，根据众数的定义求，根据中位数的定义求；
（2）利用方差越小越稳定解答即可，
22．【答案】（1）
（2）解：画树状图，如图：
共6种情况，其中抽到的数与文字描述相符合的有2种，
∴抽到的数与文字描述相符合的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵①；②0；③1；①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，
∴从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）利用概率公式求解；
（2）利用画树状图或列表法得到所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，利用概率公式计算解题．
23．【答案】解：设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨，
根据题意，得
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：浇水方式改进后平均每天用水1吨
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，根据“20吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可．
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴
（2）解：如图，即为所求作．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先根据等边对等角得出，再利用证明即可；
（2）根据角平分线的作图方法作图即可．
25．【答案】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，
∴将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
将代入，
得：，
∴，
将，代入，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为
（2）解：当时，，
∴，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先将B点坐标代入求出反比例函数解析式，再求出，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可．
26．【答案】（1）
（2）解：①四边形是矩形，理由如下：
∵，，
∴四边形平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
②过点作于点，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴在中，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵是等腰三角形，，，
∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意；
当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上，，
故答案为：；
【分析】（1）分别讨论：和时，根据三角形的三边关系判断是否成立即可；
（2）①根据对角线荷香平分得出四边形是平行四边形，再利用，即可判定四边形是矩形；
②过点作于点，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再证明，得出，，根据勾股定理求出，再利用勾股定理求出OD长，进而解答即可
27．【答案】（1）3
（2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上，
∴点向下平移个单位，
∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，
∵点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为；
∵点在线段上，即点在直线上，
∴当时，，
∴
（3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．
∴，把代入，得：，
∴，
∴，
∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上，
∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，
∴新的抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∴，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为，
∵对于满足的任意实数，总成立，
∴或，
∴或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴当时，，
∴，
∴；
故答案为：3；
【分析】（1）令时，求出的函数值，得到点坐标解答即可；
（2）根据点落在x轴正半轴上，得到点的平移规律，与的纵坐标相同，进而求出的纵坐标，代入函数解析式，求出点坐标即可；
（3）待定系数法求出二次函数的解析式，设平移后新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把点坐标代入，求出解析式，再根据二次函数的图象和性质解答即可．
28．【答案】（1）解：如图所示，线段即为所求作的线段；
（2）②③
（3）按方式一运动：向右平移1个单位长度，再绕原点O按逆时针方向旋转90°，坐标为；
按方式一运动：向右平移1个单位长度，再绕原点O按逆时针方向旋转90°，坐标为．
按方式二运动：先原点O按逆时针方向旋转，再向右平移1个单位，坐标为；
按方式二运动：先原点O按逆时针方向旋转，再向右平移1个单位，坐标为．
①点与点重合，
，解得，即．
②由（2）可知，若线段与线段有公共点，则点在一条直线上，
设直线的解析式为：，则，解得，
直线的解析式为：，
将点坐标为代入得，．整理得，，
，
讨论有交点情况：
．当点在线段上时，两线段有交点，
，即，
当点在线段上（不与端点重合）时，两线段无交点，
，即，
当点在线段上时，两线段有交点，
，即，
由于点在第一象限，，
．
综上所述，若线段与线段有公共点，，或
【知识点】用坐标表示平移；利用轴对称、旋转、平移设计图案；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（2）设线段的端点为和，
按方式一变换得到线段对应端点分别为，，
按方式二变换得到线段对应端点分别为：，
设直线的解析式为：，代入得，
，消去后，整理得，，
设直线的解析式为：，代入得，
消去后，整理得，，
，即和所在直线可能平行或是同一直线．
故选：②③；
【分析】（1）根据旋转和平移的性质作图即可；
（2）先求出按方式一和方式二变换后的端点坐标，然后利用待定系数法求出一次项系数，通过一次项系数来判断直线的位置关系；
（3）①先根据平行性质转化为共线问题，再通过已知直线方程得到函数解析式；
②通过线段端点位置关系分析范围，根据不等式确定临界点，结合图形，即可求解．
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