14.2 课时5 用“HL”判定直角三角形全等 课件（共20张PPT）2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

14.2 三角形全等的判定
课时5 用“HL”判定直角三角形全等
第十四章 全等三角形
1.能够准确理解“斜边、直角边”（HL）定理的内容，清晰阐述在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边对应相等时，这两个直角三角形全等的判定条件.
2.灵活运用“HL”定理及之前所学的全等三角形判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），准确识别并解决不同情境下有关直角三角形全等的证明问题与计算问题.
目前我们已经学习了哪些判定两个三角形全等的方法？
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A'
A
B
C
C'
B'
(SAS)
(ASA)
(AAS)
(SSS)
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
A
B
C
A'
B'
C'
①一条直角边和一锐角分别相等
②斜边和一锐角分别相等
ASA或AAS
AAS
③两直角边分别相等
SAS
如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？
C'
A'
B'
C
A
B
探究：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠C =∠C′ = 90°，A′B′ = AB，B′C′ = BC. 这两个三角形全等吗？
知识点 用“HL”判定直角三角形全等
如图，由 ∠C =∠C′ = 90°可知：
①点 C 与点 C' 重合，射线 C'A' 与射线 CA 重合，那么射线 C'B' 与射线 CB 重合.
② 由B'C' = BC ，可知点 B' 与点 B 重合.
C'
A'
B'
C
A
B
(C')
(B')
接下来讨论射线 CA 上除点 C，A 外的点与点 B 的连线和边 AB 的大小关系.
C
A
B
(C')
(B')
① 设点 M 在直角边 AC (不包括端点)上，连接 BM，则∠BMA ＞∠C，∠BMA是钝角．
② 若过点 M 且垂直于 BM 的直线与线段 AB 相交于点 M′，则有 AB ＞ BM′ ＞ BM．
M
外角的性质
M'
垂线段最短
③ 设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，同理可得 BN ＞ AB．
④ 因此，在射线 CA 上，与点 B 的连线长度等于 AB 的点只有一个.
⑤再由点 A′ 在射线 CA 上，A′B′ = AB，可知点 A′与点 A 重合．
C
A
B
(C')
(B')
M
M'
N
在点 A 下方时，长度 < AB；在点 A 上方时，长度 > AB.
(A')
△A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合.
△A'B'C' 与△ABC 能够完全重合.
△A'B'C'≌△ABC
?
C
A
B
(C')
(B')
(A')
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等
（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）
?
A′B′ = AB，
BC = B′C′，
几何语言：
C
A
B
C'
A'
B'
注意：①“H”代表斜边，“L”代表直角边.
②“HL”是判定直角三角形全等的特有方法，两个“△”前要“Rt”.
例6 如图， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC = BD. 求证 BC = AD.
AC⊥BC，BD⊥AD，公共边AB ，AC = BD
Rt△ABD≌Rt△BAC.
?
C
D
B
A
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C =∠D = 90°.
∴Rt△ACD≌Rt△ABE （HL）
?
AB = BA，
AC = BD，
∴ BC = AD .
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
C
D
B
A
如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件请说明理由．
（1） （ ）；
（2） （ ）；
（3） （ ）；
（4） （ ）．
?
AD = BC
AC = BD
∠DAB = ∠CBA
∠DBA = ∠CAB
HL
HL
AAS
AAS
A
B
C
D
梳理你所学的判定两个三角形全等的基本方法，并绘制成思维导图.
已知两边
找第三边“SSS”
找两边的夹角“SAS”
看是否是直角三角形，若是“HL”
已知两角
找两角的夹边“ASA”
找任意一角的对边“AAS”
梳理你所学的判定两个三角形全等的基本方法，并绘制成思维导图.
已知一边
一角
找这条边的另外一个邻角“ASA”
找这个角的另外一边“SAS”
找这条边的对角“AAS”
一边和它的邻角
一边和它的对角
找另外任意一个角“AAS”
看这个角是否是直角，若是，找任意一条直角边“HL”
“斜边、直角边”
内容
__________________分别相等的两个直角三角形全等
前提条件
在______三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个是一对边相等)
斜边和一条直角边
直角
1.如图，AB⊥BC 于点B，AD⊥DC于点D，若CB=CD ，且∠1=30? ，则∠ACD 的度数是( )
?
B
A. 90? B. 60? C. 30? D. 45?
?
2.如图，BF=CE，AE⊥BC，DF⊥BC ，根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF ，则还要添加的条件是( )
?
A. ∠A=∠D B. AB=DC
C. ∠B=∠C D. AE=DF
?
B
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上的一点，DE⊥AB于点E，BE＝BC，连接BD.若AC＝8 cm，则AD＋DE等于(　　)
A．6 cm　　　 　B．7 cm　　　 　C．8 cm　　　 　D．9 cm
C
4.如图，∠A=∠D=90? ，AB=DE ，AC//DF，BC=EF，求证：BC//EF .
?
证明：设BC与DF的交点为G .
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
????????=????????????????=????????
∴Rt△ABC≌Rt△DEF.∴∠C=∠F .
∵AC//DF，∴∠C=∠DGB .
∴∠DGB=∠F.∴BC//EF .