14.3 课时1 角平分线的性质 课件（共22张PPT）2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

14.3 角的平分线
课时1 角平分线的性质
第十四章 全等三角形
1.能准确理解并完整表述角平分线的性质，明确角平分线上的点到角两边的距离相等这一核心内容，清晰区分性质定理中的条件与结论.
2.?熟练掌握运用尺规作已知角平分线的方法，规范操作步骤，理解作图依据，能独立完成不同角度的角平分线绘制.
拿出一个小三角形纸，按照如图所示的步骤，动手折叠.
问题1：折痕 BD 平分∠ABC 吗？为什么呢？
B
D
A
C
M
②
B
A
M
①
问题2：在如图所示的折叠过程中，按照先后顺序保证了哪些条件相等，使得折痕平分∠ABC ？
先 AB = BC，后 AD = DC.
角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系.
探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系.
C
A
B
O
M
N
P
知识点1 角的平分线的作法
研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN？
C
A
B
O
M
N
P
在△OPM 和△OPN 中，OP = OP，∠POM =∠PON，
如果 OM = ON，那么△OPM≌△OPN(SAS)，
就有 PM = PN.
?
反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP.
A
B
O
M
N
OP = OP，OM = ON，PM = PN，
在△OPM 和△OPN 中，
∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON.
?
P
即点 P 在∠AOB 的平分线上.
思考：由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？
1.先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点.
2.在角的内部作出与这两点距离相等的点.
3.以角的顶点为端点，作过这个点的射线.
(2) 分别以点 M，N 为圆心．大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点 C.
?
A
B
O
M
C
(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N．
(3) 画射线 OC. 射线 OC 即为所求.
作法：
N
问题：为什么以大于12MN 的长为半径作弧？
?
答：如果以小于12MN 的长为半径作弧，所作的两弧可能没有交点，就找不到角的平分线.
?
A
B
O
M
N
知识点2 角的平分线的性质
在导入折叠的基础上(在折叠状态，未展开)将BC 自身重合对折(点 B 与点 C 重合)观察折叠后的展开图，你发现了什么?
B
D
A
C
M
②
B
D
A
C
M
P
③
知识点2 角的平分线的性质
纸上又多了两条折痕，设为 PE 和 PF，两条折痕相交于点 P，并且点 P 在角平分线 BD上；
观察折痕与边的关系得到：PE⊥BC，PF⊥AB，PE = PF.
B
D
A
C
M
P
E
F
对于任意角的平分线是否都有这样的结论？
如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······.
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3······，你有什么发现？
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：
一个点在一个角的平分线上.
求证：
这个点到这个角两边的距离相等.
为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证.
问题：写出上述猜想的已知和求证.
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE.
P
A
O
B
C
D
E
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO = ∠PEO = 90°.
在 △OPD 和 △OPE 中，
∠PDO = ∠PEO，
∠DOP = ∠EOP，
OP = OP，
∴△OPD≌△OPE (AAS).
?
∴ PD = PE.
∵ OC 是∠AOB 的平分线，
∴∠AOC = ∠BOC.
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
符号语言：
∵OC 是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，
∴PD = PE
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
P
A
O
B
C
D
E
证明一个几何命题的步骤：
已知：一个点在一个角的平分线上
求证：这个点到角两边的距离相等；
第一步：明确命题中的已知和求证
第二步：根据已知和求证，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
第三步：经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
1.如图所示,是用尺规作图作已知角的角平分线的示意图,则说明OP是∠AOB的角平分线的依据是( )
A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS
2.如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PE= 6，则 PD = ______.
6
M
B
C
A
D
E
P
C
角平分线
尺规作图
性质
添加
辅助线

依据：SSS
一个点：
二距离：
两相等：
角平分线上的点
点到角两边的距离
两条垂线段相等
过角平分线上一点向两边作垂线段
1. 如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等.
解：如图所示： 作∠AOB 的平分线与 MN 交于点 P，点 P 即为所求.
A
B
O
N
M
P
2.如图，点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，则PE=________cm.
6
3.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,点P在∠NOM的平分线上.
求证△AOP≌△BOP.
?
证明:由题可得∠OAP=∠OBP ，∠AOP=∠BOP，
在△AOP和△BOP中，

∠AOP=∠BOP，
∠OAP=∠OBP，
AP=BP，
∴△AOP≌△BOP(AAS).
?
4.如图，AD 为∠BAC 的平分线，DF⊥AC 于点 F，∠B = 90°，DE = DC，试说明：BE = FC.
解：∵∠B = 90°，∴ BD⊥AB.
∵ AD 为∠BAC 的平分线，且 DF⊥AC，
∴ DB = DF.
在Rt△BDE 和 Rt△FDC 中，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC (HL).
∴BE = FC.
?
DE = DC，
DB = DF，