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第二十四章《圆》单元检测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（3分）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64°
3．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（ ）
A．2 B． C．2 D．4
4．（3分）小明家凉台呈圆弧形，凉台的宽度AB为8m，凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m，则凉台所在圆的半径为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．7m
5．（3分）如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（ ）
A．65° B．115° C．65°和115° D．130°和50°
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．O为AB上的点．以点O为圆心作⊙O与BC相切于点D．若AD＝2，∠CAD＝30°，则弧AD的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
8．（3分）如图，AB是大半圆的直径，以点O为圆心，OE的长为半径的小半圆交AB于E，F两点，弦AC切小半圆于点D，AB＝6，∠BAC＝30°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，点P在⊙O的直径AB上，作正方形PCDE和正方形PFGH，其中点D，G在直径所在直线上，点C，E，F，H都在⊙O上，若两个正方形的面积之和为16，OP，则DG的长是（ ）
A．6 B．2 C．7 D．4
10．（3分）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线上AM上运动，连接BP，交△APC的外接圆于点D，则AD的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）半径为4的正六边形的边心距为 ，中心角等于 度，面积为 ．
12．（3分）如图，点C′与半圆上的点C关于直径AB成轴对称．若∠AOC＝40°，则∠CC′B＝ °．
13．（3分）如图，AB为⊙O直径，C、D是圆上两点，AD＝CD，∠BAC＝40°，则∠DAC＝ ．
14．（3分）将面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为 cm．
15．（3分）如图，在⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，DE＝3，∠BAC+∠EAD＝180°，BC＝5，则⊙A的半径等于 ．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）如图所示，O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，以OD为半径作⊙O，求证：⊙O与AC相切．
17．（6分）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝64°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长．
18．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD、BC相交于点E．（1）求证：；
（2）若CE＝1，BE＝3，求⊙O的半径．
19．（8分）如图，在12×9正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．B，C为格点，以线段BC为直径的⊙O交纵向格线于A点，连接AB，AC．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中作出圆心O；
（2）在图1中作AD平分∠BAC交⊙O于D点；
（3）在图1中作AB绕D点顺时针旋转90°后的线段；
（4）在图2的⊙O中作弦AM＝AB．
20．（8分）如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于D点．
（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．
21．（8分）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC＝4（点C在A的上方）；
②连接OC，交⊙O于点D；
③连接BD，与AC交于点E．
（1）求证：DB为⊙O的切线；
（2）求AE的长度．
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．
23．（11分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点I是△ABC（BC＜AC＜AB）的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连AD．
（1）求证：DA＝DI；
（2）若，，求BC的长．
24．（12分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，点E、F分别是弦AD、DC上的点．
（1）若∠ABE＝∠CBF，BE＝BF．求证：BD是⊙O的直径．
（2）若，∠D＝2∠EBF＝90°，AE＝ED＝2．求DF的长．中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章《圆》单元检测试卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B C C B C B A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【思路点拔】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．
【解答】解：过O作OC⊥AB于C，
∵OC过O，
∴AC＝BCAB＝12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC5．
故选：B．
2．（3分）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64°
【思路点拔】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB＝90°，继而求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝58°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝32°，
∴∠BCD＝∠A＝32°．
故选：B．
3．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（ ）
A．2 B． C．2 D．4
【思路点拔】由⊙O的半径为2，得OB＝OC＝2，而∠BOC＝2∠A＝90°，所以BC2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为2，
∴OB＝OC＝2，
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝90°，
∴BC2，
故选：C．
4．（3分）小明家凉台呈圆弧形，凉台的宽度AB为8m，凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m，则凉台所在圆的半径为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．7m
【思路点拔】设圆心为O点，连接OA，OD，根据题意得：OC⊥AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，求出AD的长，由OC﹣CD求出OD的长，在直角三角形AOD中，设OA＝r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．
【解答】解：设圆心为O点，连接OA，OD，
根据题意得：OC⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BDAB＝4（m），
设圆半径为r，则有OD＝OC﹣CD＝（r﹣2）m，
在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即r2＝42+（r﹣2）2，
解得：r＝5，
则凉台所在圆的半径为5m．
故选：B．
5．（3分）如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（ ）
A．65° B．115° C．65°和115° D．130°和50°
【思路点拔】连接OC，OB，当点P在优弧BC上时，由圆周角定理可求得∠P＝65°，当点P在劣弧BC上时，由圆内接四边形的对角互补可求得∠BPC＝115°．故本题有两种情况两个答案．
【解答】解：连接OC，OB，则∠ACO＝∠ABO＝90°，∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
应分为两种情况：
①当点P在优弧BC上时，∠P∠BOC＝65°；
②当点P在劣弧BC上时，∠BPC＝180°﹣65°＝115°；
故选：C．
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【思路点拔】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，再和⊙C的半径比较即可得出结果．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB5（cm），
由三角形面积公式得：3×45×CD，
解得：CD＝2.4cm，
即C到AB的距离大于⊙C的半径长，
∴⊙C和AB的位置关系是相离，
故选：C．
7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．O为AB上的点．以点O为圆心作⊙O与BC相切于点D．若AD＝2，∠CAD＝30°，则弧AD的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【思路点拔】首先设⊙O与AB的另一个交点为E，连接OD，DE，由⊙O与BC相切于点D，可得OD⊥BC，又由Rt△ABC中，∠C＝90°，可得OD∥AC，然后由∠CAD＝30°，求得∠DAE与∠AOD的度数，然后由AD＝2，在Rt△ADE中，利用余弦，求得AE的长，继而求得答案．
【解答】解：设⊙O与AB的另一个交点为E，连接OD，DE，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∵∠CAD＝30°，
∴∠ODA＝∠CAD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴∠AOD＝120
∵AE是直径，
∴∠ADE＝90°，
在Rt△ADE中，AE4，
∴⊙O的半径r＝2，
∴π．
故选：B．
8．（3分）如图，AB是大半圆的直径，以点O为圆心，OE的长为半径的小半圆交AB于E，F两点，弦AC切小半圆于点D，AB＝6，∠BAC＝30°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】连接OE、OF，如图，根据切线的性质得到OE⊥AF，再利用勾股定理计算出EF，计算出∠FOE＝60°，∠BOF＝60°，则∠DOE＝120°，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S扇形BOF+S△OEF﹣S扇形DOE进行计算．
【解答】解：连接OD、OC，如图，
∵弦AC切小半圆于点D，
∴OD⊥AC，
∵AB＝6，∠BAC＝30°，
∴OA＝OB＝OC＝3，OD，
在Rt△OCD中，CD，
∵∠BAC＝30°，OA＝OC，
∴∠OCD＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴∠BOC＝∠BAC+∠OCD＝60°，
∴∠DOF＝120°，
图中阴影部分的面积＝S扇形BOC+S△OCD﹣S扇形DOF
．
故选：C．
9．（3分）如图，点P在⊙O的直径AB上，作正方形PCDE和正方形PFGH，其中点D，G在直径所在直线上，点C，E，F，H都在⊙O上，若两个正方形的面积之和为16，OP，则DG的长是（ ）
A．6 B．2 C．7 D．4
【思路点拔】设正方形PFGH的边长是x，由条件得到x2+（x+2）2＝16，从而求出正方形PFGH的边长，得到正方形PCDE的边长，进一步求出PD，PG的长，即可求出DG的长．
【解答】解：作OK⊥PC于K，设正方形PFGH的边长是x，
∵四边形PCDE是正方形，
∴∠CPD＝45°，
∵∠OKP＝90°，
∴△KOP是等腰直角三角形，
∴PKOP＝1，
∴CK＝FK＝x+1，
∴PC＝CK+PK＝x+2，
∵两个正方形的面积之和为16，
∴x2+（x+2）2＝16，
∴x1或x1（舍），
∴PC＝x+21，PH＝x1，
∴PDPC，PGPH，
∴DG＝PD+PG＝2．
故选：B．
10．（3分）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线上AM上运动，连接BP，交△APC的外接圆于点D，则AD的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【思路点拔】连接CD，得出△BOC是等腰直角三角形，求出OB＝OC＝8，连接OA交劣弧BC于点D'，此时AD'的长即为AD长的最小值．Rt△AOC中，利用勾股定理求出OA即可．
【解答】解：如图，连接CD，
∵AM∥BC，
∴∠MAC＝∠ACB＝45°，
∴∠CDP＝∠CAP＝45°，
∴∠BDC＝135°，
∴点D在以点O为圆心，OB长为半径的劣弧BC上运动，
∵∠BDC＝135°，
∴劣弧BC所对的圆周角为45°，
∴∠BOC＝90°
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC＝8，
∴OB＝OC，
连接OA交劣弧BC于点D'，此时AD'的长即为AD长的最小值．
∵∠ACB＝∠BCO＝45°，
∴∠ACO＝∠ACB+∠BCO＝90°，
∴OA10，
∴AD'＝OA﹣OD'＝10﹣8＝2，
∴AD长的最小值为2．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）半径为4的正六边形的边心距为 2 ，中心角等于 60° 度，面积为 24 ．
【思路点拔】解答本题主要分析出正多边形的内切圆的半径就是正六边形的边心距，即为每个边长为4的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解．中心角利用360÷6即可求解；然后利用三角形的面积公式即可求解正六边形的面积．
【解答】解：边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，
而正多边形的边心距即为每个边长为a的正三角形的高，
∴正六多边形的边心距等于4×sin60°＝2，
∴中心角为：360°÷6＝60°，
∴正六边形的面积为64×224．
故答案为：2，60°，24．
12．（3分）如图，点C′与半圆上的点C关于直径AB成轴对称．若∠AOC＝40°，则∠CC′B＝ 70 °．
【思路点拔】连接BC，即有∠AOC＝2∠ABC，可得出∠ABC的度数，又AB⊥CC′，所以有∠C′CB＝90°﹣∠ABC．根据轴对称的性质即可得出∠CC′B＝∠C′CB．
【解答】解：连接BC，
所以∠ABC∠AOC＝20°；
又AB⊥CC′，
所以有∠C′CB＝90°﹣∠ABC＝70°；
即∠CC′B＝70°．
故答案为：70°．
13．（3分）如图，AB为⊙O直径，C、D是圆上两点，AD＝CD，∠BAC＝40°，则∠DAC＝ 25° ．
【思路点拔】连接OC，OD，由∠BAC＝40°，可得弧BC所对的圆心角为80o，∠AOC＝100°，由AD＝CD可知D为弧AC的中点，所以弧CD所对的圆周角为50o，则∠DAC＝25°．
【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵∠BAC＝40°，
∴∠BOC＝80°，
∴∠AOC＝100°，
又∵AD＝CD，
∴D为弧AC的中点，
∴∠DOC∠AOC100°＝50°，
∴∠DAC∠DOC50°＝25°．
故答案为：25°．
14．（3分）将面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为 1 cm．
【思路点拔】直接利用已知得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得出答案．
【解答】解：设圆锥的母线长为R cm，底面圆的半径为r cm，
∵面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，扇形的圆心角是120°，
∴3π，
解得：R＝3，
由题意可得：2πr，
解得：r＝1．
故答案为：1．
15．（3分）如图，在⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，DE＝3，∠BAC+∠EAD＝180°，BC＝5，则⊙A的半径等于 ．
【思路点拔】作直径CF，连接BF，如图，由∠BAC+∠BAF＝180°，∠BAC+∠EAD＝180°，得到∠BAF＝∠DAE，根据圆心角、弧、弦的关系得到BF＝DE＝3，再根据圆周角定理，由CF为直径得到∠CBF＝90°，然后根据勾股定理计算出CF，则可得到⊙A的半径等于．
【解答】解：作直径CF，连接BF，如图，
∵∠BAC+∠BAF＝180°，
而∠BAC+∠EAD＝180°，
∴∠BAF＝∠DAE，
∴BF＝DE＝3，
∵CF为直径，
∴∠CBF＝90°，
在Rt△CBF中，∵BC＝5，BF＝3，
∴CF，
∴⊙A的半径等于．
故答案为．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）如图所示，O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，以OD为半径作⊙O，求证：⊙O与AC相切．
【思路点拔】过O作OE⊥AC，垂足为E；根据角平分线的性质，易得OE＝OD，进而可得C是圆周上一点，故⊙O与AC相切．
【解答】证明：如图所示，过O作OE⊥AC，垂足为E；
∵O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，
∴OE＝OD，
∵OE⊥AC，
∴⊙O与AC相切．
17．（6分）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝64°，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长．
【思路点拔】（1）由垂径定理得，由圆周角定理推论可求∠DEB；
（2）由垂径定理得AC＝BC，应用勾股定理即可计算．
【解答】解：（1）∵OD⊥AB，
∴，
∴∠DEB∠AOD64°＝32°；
（2）∵OD⊥AB，
∴AC＝BC，
∵AC2＝OA2﹣OC2，
∴AC2＝102﹣62，
∴AC＝8，
∴AB＝2AC＝16．
18．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD、BC相交于点E．（1）求证：；
（2）若CE＝1，BE＝3，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）根据平行线的性质得到∠AOC＝∠ABD，根据圆周角定理得到∠ABC∠AOC，得到∠ABC＝∠DBC，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明；
（2）连接AC，证明△ACE∽△BCA，根据相似三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出AB，进而求出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵OC∥BD，
∴∠AOC＝∠ABD，
由圆周角定理得：∠ABC∠AOC，
∴∠ABC∠ABD，
∴∠ABC＝∠DBC，
∴；
（2）解：如图，连接AC，
由圆周角定理得：∠CAD＝∠CBD，
∴∠ABC＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠ECA，
∴△ACE∽△BCA，
∴，
∴，
解得：AC＝2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB2，
∴⊙O的半径为．
19．（8分）如图，在12×9正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．B，C为格点，以线段BC为直径的⊙O交纵向格线于A点，连接AB，AC．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中作出圆心O；
（2）在图1中作AD平分∠BAC交⊙O于D点；
（3）在图1中作AB绕D点顺时针旋转90°后的线段；
（4）在图2的⊙O中作弦AM＝AB．
【思路点拔】（1）利用网格特征作出BC的中点O即可；
（2）作线段BC的垂直平分线交⊙O于点D，作射线AD即可；
（3）作直径AR，连接DR，延长DR交AC的延长线于点T，线段DT即为所求；
（4）延长BA交网格线于点Q，连接CQ交⊙O于点M，连接AM即可．
【解答】解：（1）如图1中，点O即为所求；
（2）如图1中，射线AD即为所求；
（3）如图1中，线段DT即为所求；
（4）如图2中，线段AM即为所求．
20．（8分）如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于D点．
（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．
【思路点拔】（1）连接OD，由∠1＝∠3，∠1＝∠2得到∠2＝∠3，根据平行线的判定得到CE∥OD，由于CE⊥AB，则OD⊥AB，根据垂径定理得到，于是判断点P的位置不发生改变．
（2）过点A作CD的垂线，垂足为G，构造等腰直角△AGC，直角△AGD中，由勾股定理求得DG＝4，故CD＝CG+DG．
【解答】解：（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置不会变；
理由如下：连接OD．
∵CD平分∠OCE，
∴∠1＝∠3，
而OC＝OD，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴CE∥OD，
∵CE⊥AB，
∴OD⊥AB，
∴，即点D为半圆AB的中点．
（2）∵在直角△AOD中，OA＝OD＝5，
∴AD＝5．
过点A作CD的垂线，垂足为G，
∵∠ACD∠AOD＝45°，
∴△AGC是等腰直角三角形，
∵AC＝6，
∴AG＝CG＝3．
在直角△AGD中，DG4，
∴CD＝CG+DG＝347，
∴线段AD的长度为5，线段CD的长度为7．
21．（8分）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC＝4（点C在A的上方）；
②连接OC，交⊙O于点D；
③连接BD，与AC交于点E．
（1）求证：DB为⊙O的切线；
（2）求AE的长度．
【思路点拔】（1）根据“经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线”，进行证明；
（2）根据三角形相似的性质求解．
【解答】解：如图：
（1）∵AC是圆的切线，
∴∠OAC＝90°，
∴OC＝5，
由题意得：OD＝AO＝3，OB＝OC＝5，∠AOC＝∠DOB，
∴△AOC≌△DOB（SAS），
∴∠ODB＝∠OAC＝90°，
∵OD是圆的半径，
∴DB为⊙O的切线；
（2）∵∠CDE＝∠CAO＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAO，
∴，
即：，
解得：CE＝2.5，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣2.5＝1.5．
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．
【思路点拔】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DCE＝∠BAD，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BAD，证明即可；
（2）证明△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ADC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴，即，
∴CD＝3．
23．（11分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点I是△ABC（BC＜AC＜AB）的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连AD．
（1）求证：DA＝DI；
（2）若，，求BC的长．
【思路点拔】（1）连接AI，运用内切圆的性质及三角形外角的性质问题即可解决．
（2）连接AI．BD，过点D作DE⊥DC交CB的延长线于点E，证明△ADB，△CDE都是等腰直角三角形，△ADC≌△BDE（SAS），得到；由勾股定理即可求得AB＝10，CE＝AC+BC＝14；再利用即可BC2+AC2＝AB2＝100即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接AI；
∵点I是△ABC（AC＜AB）的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI；
∵∠DAB＝∠BCI，
∴∠DAB＝∠ACI；
∴∠DAB+∠OAI＝∠ACI+∠CAI；
∵∠AID＝∠ACI+∠CAI，∠DAI＝∠DAB+∠OAI，
∴∠AID＝∠DAI，
∴DA＝DI；
（2）解：连接AI．BD，过点D作DE⊥DC交CB的延长线于点E，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝ADB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°，
∴△ADB，△CDE都是等腰直角三角形，
∴；，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，由勾股定理得：
；，
∵∠ADB＝∠CDE＝90°，
∴∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴AC＝BE，
∴CE＝BC+BE＝BC+AC＝14，
又∵BC2+AC2＝AB2＝100，（AC＞BC），
∴AC＝8，BC＝6．
24．（12分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，点E、F分别是弦AD、DC上的点．
（1）若∠ABE＝∠CBF，BE＝BF．求证：BD是⊙O的直径．
（2）若，∠D＝2∠EBF＝90°，AE＝ED＝2．求DF的长．
【思路点拔】（1）首先证明△ABE≌△BCF，得到∠A＝∠C，再根据圆内接四边形的性质，得到∠A+∠C＝180°，由圆周角定理即可得到结论；
（2）首先证出四边形ABCD是正方形，如图2，延长DA到G，使AG＝CF，推出△ABG≌△CBF△GBE≌△FBE，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵，
∴AB＝BC，
在△ABE与△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠A＝∠C，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠A＝∠C＝90°，
∴BD是⊙O的直径；
（2）解：∵，，
∴，AB＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵∠D＝90°，∠D+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
∵AE＝ED＝2，
∴AD＝CD＝4，
如图2，延长DA到G，使AG＝CF，连接BG，EF，
在△ABG与△CBF中，
，
∴△ABG≌△CBF，
∴BG＝BF，∠1＝∠2，
∵∠EBF＝45°，
∴∠2+∠ABE＝45°，
∴∠1+∠ABE＝45°，
∴∠GBE＝∠EBF，
在△GBE与△FBE中，
，
∴△GBE≌△FBE，
∴GE＝EF，
设DF＝x，则AG＝CF＝4﹣x，
∴EF＝GE＝4﹣x+2＝6﹣x，
在Rt△EFD中，EF2＝DE2+DF2，
∴（6﹣x）2＝22+x2
∴，
∴DF．
